Розв’язком рівняння з двома змінними називається будь-яка пара чисел (x;y) , якаперетворює рівняння на тотожність. Розв’язати рівняння з двома змінними – означає знайти всі пари чисел (x;y) , які єйого розв’язком. Множина точок, координати яких задовольняють рівняння ax + by =c ,називається його графіком. Графіком рівняння ax + by + c = 0 , де a, b, c – деякі числа, є пряма.
Завдання 2. Яка із пар чисел (1; 2) і (0; 1) є розв'язком рівняння 5x + 2y = 9 ? Розв’язання: Якщо х = 1 і у = 2, то 5 · 1 + 2 · 2 = 9, 9 = 9 – правильна рівність. Тому, для рівняння 5x + 2y = 9 пара (1; 2) є розв'язком. Якщо х = 0 і у = 1, то 5 · 0 + 2 · 1 = 9, 2 = 9 – неправильна рівність. Тому, для рівняння 5x + 2y = 9 пара (0; 1) не є розв'язком. Відповідь: (1; 2). ПРИКЛАДИ ЗАВДАНЬ
Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь з осями координат:1) х + 7у = –21; 2) 5х – 3у = 15. 1) х + 7у = –21 На Оx у=0: х + 7·0 = –21;x = –21;(–21; 0). На Оy х=0: 0 + 7y = –21 y = –3;(0; –3). 2) 5х – 3у = 15 На Оx у=0:5х – 3·0 = 15;x = 3;(3; 0). На Оy х=0:5·0 – 3у = 15y = –5;(0; –5).
Якщо треба знайти всі спільні розв’язки кількох рівнянь, то говорять, що треба розв’язати систему рівнянь. Систему рівнянь записують за допомогою фігурної дужки. На рисунку зображено графіки рівнянь –6x + 5y = 9 і 4x + 3y = 13. Вони перетинаються в точці M (1; 3). Ця точка належить кожному з графіків. Отже, пара чисел (1; 3) є спільним розв’язком даних рівнянь.
Означення. Розв’язати систему рівнянь — це означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає. Графічний метод розв’язування: побудувати на одній координатній площині графіки рівнянь, що входять до системи; знайти координати всіх точок перетину побудованих графіків; отримані пари чисел і будуть шуканими розв’язками.
Якщо графіками рівнянь, що входять до системи лінійних рівнянь, є прямі, то кількість розв’язків цієї системи залежить від взаємного розміщення двох прямих на площині: 1) якщо прямі перетинаються, то система має єдиний розв’язок; 2) якщо прямі збігаються, то система має безліч розв’язків; 3) якщо прямі паралельні, то система розв’язків не має.