ЛОГАРИФМІЧНІ ФУНКЦІЇ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ М.П.ДРАГОМАНОВА ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ, ІНФОРМАТИКИ ТА ФІЗИКИ На тему «ЛОГАРИФМІЧНІ ФУНКЦІЇ» Заочне відділення Виконала: студентка 1 курсу групи 1ммзСО Мігульова Ольга

ПЛАН 1 Експертна оцінка доцільності використання методики вивчення логарифмічної функції 2 Схема введення поняття логарифмічної функції 3.Методичні рекомендації 4 Порівняння діючих підручників з теми «Логарифмічнв функція» 5.Історичні факти та приклади з життя 6.Графік логарифмічної функції. 7.Приклади розв»язування.

МАРТИНОВА А.В. ЕКСПЕРТНА ОЦІНКА ДОЦІЛЬНОСТІ ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДИКИ ВИВЧЕННЯ ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ // ФІЗИКО- МАТЕМАТИЧНА ОСВІТА : НАУКОВИЙ ЖУРНАЛ. – 2017. – ВИПУСК 3(13). – С. 105-110. Вивченню функцій та їх властивостей присвячена значна частина шкільного курсу математики. І це не випадково. Математичні компетентності, що формуються та розвиваються у школярів у процесі вивчення функцій, мають прикладний та практичний характер. Функції слугують математичними моделями різноманітних закономірностей і явищ природи, в яких зміна одних величин приводить до зміни інших. У темі «Логарифмічна функція» вміння старшокласників досліджувати функції, які сформовані раніше, закріплюються і застосовуються до моделювання закономірностей коливального руху, процесів зростання та вирівнювання. В уявленнях учнів характер фізичного процесу має асоціюватись із відповідною функцією, її графіком, властивостями. Саме логарифмічні функції широко використовуються під час вивчення як курсу математики, так і інших шкільних предметів – фізики, хімії, географії, біології, знаходять широке використання у практичній діяльності людини. Від того, як будуть засвоєні школярами знання, навички та вміння з цієї теми, залежить успішність засвоєння багатьох інших розділів шкільного курсу математики та суміжнихї дисциплін. Відповідно доцільним є з’ясування методичних особливостей вивчення логарифмічної функції у старшій ланці загальноосвітньої школи, модернізація змісту, методів та прийомів, форм і засобів навчання.

Вивчення логарифмічної функції у старшій ланці загальноосвітньої школи представлено такими змістовими лініями: числа, вирази, рівняння і нерівності, функції [3]. У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені, корені та їх властивості, поняття показникової функції, засвоюють властивості логарифмічної функції, навички та вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, здійснювати обчислення числових виразів з логарифмами, розв’язувати логарифмічні рівняння та нерівності. Учні повинні навчитися схематично зображати графіки логарифмічних функцій за різними основами, пам’ятати основні властивості цих функцій та навчитися використовувати їх під час розв’язування логарифмічних рівнянь і нерівностей та їх систем У науковій та навчальній літературі з методики навчання математики подано загальні рекомендації щодо специфіки вивчення даної теми, проте не виокремлено чітких методичних схем вивчення даної теми. Адже не дотримання методичних вимог щодо формування математичних понять та вмінь розв’язувати завдання призводить до значних труднощів учнів під час вивчення теми «Логарифмічна функція».

СХЕМА ВВЕДЕННЯ ПОНЯТТЯ ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ Є ТАКОЮ: мотивувати введення логарифмічної функції через приклади відповідних залежностей → задати логарифмічну функцію як відповідність кожному додатному числу його логарифма за деякою основою а → показати, що ця функція є оберненою до показникової → побудувати графіки логарифмічної функції та «прочитати» властивості → довести властивості аналітично → показати приклади застосування логарифмічної функції та її властивостей до розв’язування завдань.

МЕТА І ВМОГИ ПРИ ВИВЧЕННІ

МЕТОДИЧІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Логарифмічна спіраль - крива «з твердим характером». Вона не змінює своєї природи при багатьох перетвореннях, до яких чутливі інші криві. Стиснути або розтягнути цю спіраль щодо її полюси - те ж саме, що повернути її на певний кут. Властивості логарифмічної спіралі так глибоко вразили швейцарського математика Якоба Бернуллі, що він наказав висікти її на своїй могильній плиті, супроводжуючи зображення латинської фразою «Eadem mutata resurgo» - «Измененная, я вновь воскрешаюсь». Якоб Бернуллі

Логарифм – з грецької означає “логос”- відношення і “аритмос”- число. Його винахід пов’язаний з двома постатями: швейцарцем І. Бюргі (1552-1632), (знаним годинникарем і майстром астрономічних інструментів) і шотландцем Дж. Непером (1550-1617), який теж не був математиком за професією. Вони склали таблиці так званих натуральних логарифмів. Бюргі працював над таблицями 8 років і видав їх у 1620 році під назвою «Арифметична і геометрична таблиця прогресії». Проте його таблиці не отримали широкого поширення, бо Непер видав свій «Опис дивовижної таблиці логарифмів» на 6 років раніше. Тому і визнали число e неперовим числом.Ідея десяткових логарифмів виникла у професора лондонського коледжу Г. Брігса (1561-1630) після ознайомлення з таблицями Непера. Брігс взявся розробити велику таблицю десяткових логарифмів. Уже в 1617 р. він опублікував восьмизначні таблиці логарифмів від 1 до 103, а в 1624 році спромігся видати «Логарифмічну арифметику», що містила чотирнадцятизначні таблиці логарифмів для чисел 1-20000 і 90000-100000.Понад три з половиною сторіччя вони вірою і правдою служили астрономам і геодезистам, інженерам і морякам, скорочуючи час на обчислення. Ще донедавна важко було уявити собі інженера без логарифмічної лінійки в кишені. Винайдена в 1624 році англійським математиком Е. Гунтером (1581-1626), вона дозволяла швидко одержувати відповідь з достатньою для інженера точністю до трьох значущих цифр. І хоч тепер її витіснили калькулятори і комп’ютери, проте можна сміливо сказати, що без логарифмічної лінійки не було б і перших комп’ютерів

Зірки, шум і логарифми – що об’єднує? Аналогічно оцінюється і гучність шуму. Шкідливий вплив промислових шумів на здоров'я робітників і на продуктивність праці спонукало виробити прийоми точної числової оцінки гучності шуму. Одиницею гучності служить «бел», але практично використовуються одиниці гучності, рівні його десяті частки, - так звані «децибели». Послідовність ступеня гучності 1 бел, 2 белу і т. д. складають арифметичну прогресію. Астрономи ділять зірки за ступенем яскравості на видимі і абсолютні зоряні величини - зірки першої величини, другий, третій і т. д. Послідовність видимих зоряних величин, що сприймаються оком, являє собою арифметичну прогресію. Але фізична їх яскравість змінюється по іншому закону: яскравості зірок складають геометричну прогресію зі знаменником 2,5. Легко зрозуміти, що «величина» зірки являє собою логарифм її фізичної яскравості. Оцінюючи яскравість зірок, астрономи оперують таблицею логарифмів, складеної при підставі 2,5. Фізичні ж величини, що характеризують шуми (енергія, інтенсивність звуку та ін), складають геометричну прогресію зі знаменником 10. Гучність, виражена в белах, дорівнює десятковому логарифму відповідної фізичної величини. Розглянемо кілька прикладів: тихий шелест листя оцінюється в 1 бел, гучна розмовна мова - в 6,5 бел, гарчання лева - в 8,7 бел, шум Ніагарського водоспаду - 9 бел. Звідси випливає, що за силою звуку розмовна мова перевищує шелест листя в 106,5 - 1 = 105,5 = 316000 раз,, гарчання лева сильніше гучної мови в 108,7-6,5 = 102,2 = 158 разів.

ЛОГАРИФМІЧНА СПІРАЛЬ Звичайна воронка, яка утворюється водою під час витікання з раковини; лютий смерч, який спустошує все на своєму шляху; величний кругообіг гігантського космічного вихору туманностей і галактик - всі вони мають форму спіралей. Вперше про логарифмічної спіралі говориться в одному з листів французького математика Рене Декарта в 1638г. Побачити її можна, наприклад, в витках раковини слимака. Насіння в квітки соняшнику, також розміщується по кривих, близьким до дуг логарифмічної спіралі. Одна з чудових властивостей логарифмічної спіралі полягає в тому, що довільний промінь, що виходить із її полюса, перетинає будь-виток спіралі під одним і тим же кутом. Ця властивість застосовується в ріжучих машинах. Шлях обертання ножів соломорізки утворює логарифмічну спіраль. Кут різання такого механізму сталий вздовж всієї кромки рухомого ножа. Виявляється, що трубу, яка підводе воду до лопастей турбінного колеса на гідроелектростанції, також слід загортати по логарифмічної спіралі. Тоді втрати енергії рухомої води будуть мінімальними.

Вправа «Закінчи речення»

Опорний конспект

Опорний конспект

Логарифмічною функцією називається функція виду y=logax , де a > 0, a ≠ 1. Логарифм – з грецької означає “логос”- відношення і “аритмос”- число. Десятковий логарифм – це логарифм з основою 10, позначається lg b. Натуральний логарифм – це логарифм за основою e e – іррацілнальне число, наближене значення якого ≈ 2,7, позначається ln b.

1 x y 1 0 y=logax y = x y = ax Функції y=ax та y=logax (a > 0, a ≠ 0) – взаємно обернені функції, тому їх графіки симетричні відносно прямої y = x. x y 1 1 0 y = x y = ax y=logax a>1 0 < a < 1

1 x y 1 0 y=logax, a > 1 y=logax 0 < a < 1 1 x y 1 0 1. Область визначення: 2. Область значень: 3. Функція: ні парна, ні непарна 4. Точки перетину з осями координат: з віссю Oy: немає з віссю Ox:

1 x y 1 0 y=logax, a > 1 1 x y 1 0 y=logax 0 < a < 1 5. Проміжки зростання і спадання: Функція logax зростає при a > 1 на всій області визначення Функція logax спадає при 0 < a < 1 на всій області визначення 6. Проміжки знакосталості:

1 x y 1 0 y=logax, a > 1 1 x y 1 0 y=logax 0 < a < 1 7. Найбільшого й найменшого значень функція не має