Криворізький ліцей №35 «Імпульс» Криворізької міської ради

 

 

МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА НАВЧАЛЬНОГО МОДУЛЯ

«Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики»

 

Повний цикл із 12 уроків із пакетом контрольно-діагностичних матеріалів 

для 11 класу (рівень стандарту)  

 

 

                                                                                                                                                                                          Підготувала 

Федорченко Олена Олександрівна учитель математики КЛ № 35 «Імпульс» КМР кваліфікаційна категорія 

«спеціаліст вищої категорії»

педагогічне звання «учитель-методист»

 

 

 

 

Кривий Ріг – 2026

 

 

Пояснювальна записка.

 

Методична розробка з теми «Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики» укладена відповідно до чинної навчальної програми з математики для закладів загальної середньої освіти (рівень стандарту). Матеріал призначений для вивчення теми протягом 12 уроків та містить конспекти занять, самостійні роботи, тести й контрольну роботу.

Метою розробки є забезпечення якісного засвоєння учнями основ комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики, формування вмінь аналізувати дані, знаходити ймовірності подій та застосовувати набуті знання під час розв'язування практичних задач.

До матеріалів включено:

➢витяг із навчальної програми;

➢календарно-тематичне планування теми;

➢розробки 12 уроків;

➢самостійні роботи та тести для поточного контролю; ➢ контрольну роботу для тематичного оцінювання.

Матеріали можуть бути використані вчителями математики під час очного, дистанційного та змішаного навчання.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Витяг із навчальної програми НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА  З МАТЕМАТИКИ 

(АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ ТА ГЕОМЕТРІЯ)

для учнів 10-11 класів загальноосвітніх навчальних закладів Рівень стандарту

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ 11 клас

(54 год. I семестр — 16 год, 1 год на тиждень,

II семестр — 38 год, 2 год на тиждень, Резерв – 18 годин)

Очікувані результати навчально-пізнавальної діяльності учнів	Зміст навчального матеріалу
Тема 3. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ, ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНОЇ СТА- ТИСТИКИ 10 годин
Учень/учениця: розуміє що таке перестановки, розміщення, комбінації (без повторень), класичне визначення поняття ймовірності, що таке генеральна сукупність та вибірка, означення середнього значення, моди та медіани вибірки обчислює відносну частоту події; кількість перестановок, розміщень, комбінацій; ймовірність події, користуючись її означенням і комбінаторними схемами; пояснює зміст середніх показників та характеристик вибірки;  знаходить числові характеристики вибірки даних. застосовує ймовірнісні характеристики навколишніх явищ для прийняття рішень	Елементи комбінаторики. Перестановки, розміщення, комбінації (без повторень). Класичне визначення ймовірності випадкової події. Вибіркові характеристики: розмах вибірки, мода, медіана, середнє значення. Графічне подання інформації про вибірку.

 

Календарно-тематичне планування теми

(додано 2 години з резерву)

№ з/п	Тема уроку	кіл-ть годин
	Тема 3. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ, ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ	12
1	Комбінаторні правила сум та добутку.	1
2-3	Перестановки, розміщення, комбінації (без повторень).	2
4	Розв’язування вправ. Самостійна робота.	1
5-6	Класичне визначення ймовірності випадкової події.	2
7	Розв’язування вправ. Самостійна робота.	1
8	Вибіркові характеристики: розмах вибірки, мода, медіана, середнє значення.	1
9	Розв’язування вправ. Тестування.	1
10	Узагальнення і систематизація знань, умінь і навичок учнів з теми «Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики»	1
11	Контрольна робота «Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики»	1
12	Аналіз контрольної роботи.	1

Урок 1. Тема: Комбінаторика, її мета і задачі. Правила суми і добутку

Мета уроку: сформувати в учнів чітке розуміння основних правил комбінаторики — правила суми та правила добутку; навчити розрізняти, коли саме застосовується сполучник «або» (додавання), а коли — «і» (множення); виробити первинні навички розв'язування комбінаторних задач ; розвивати логічне, абстрактне та комбінаторне мислення учнів; виховувати інтерес до математики через практичне застосування комбінаторики в реальному житті; сприяти розвитку самостійності та вміння аргументувати свій вибір.

 

ХІД УРОКУ

 

1.   Організаційний етап .

 

2.   Мотивація навчальної діяльності.

 

З глибокої давнини до сучасного людства дійшли відомості про те, що вже тоді люди займалися вибором об’єктів і розташування їх у тому чи іншому порядку і захоплювалися складанням різних комбінацій. Так, наприклад, в Древньому Китаї захоплювалися складанням квадратів, в яких задані числа розташовували так, що їх сума за всіма горизонталях, вертикалях і головним діагоналях була однією і тією ж (сучасна гра – завдання “Судоку”). У Стародавній Греції подібні завдання виникали у зв’язку з такими іграми, як шашки, шахи, доміно, карти і т.д.

Представникам різних професій доводиться розв’язувати задачі, в яких з деякої множини об’єктів потрібно вибирати елементи, що мають ті або інші властивості, розміщувати ці елементи в певному порядку. Так керівнику цеху потрібно розподілити кілька видів робіт між працівниками, агроному — розмістити посіви сільськогосподарських культур на кількох полях, хіміку — розглянути можливі зв’язки між атомами і молекулами тощо. Оскільки в таких задачах йде мова про комбінування об’єктів, їх називають комбінаторними задачами, а розділ математики, в якому вивчаються питання про те, скільки різних комбінацій, що відповідають тим чи іншим умовам можна скласти із заданих об’єктів, називається комбінаторикою.

Термін “комбінаторика” походить від латинського слова “combina”, що в перекладі на українську означає – “сполучати”, “з’єднувати”.

В наш час комбінаторні задачі приходиться розв’язувати фізикам, хімікам, біологам, економістам, спеціалістам самих різних професій.

Сьогодні ми будемо розглядати перестановки, розміщення, комбінації, як сполуки, як комбінаторні конфігурації.

Але і в житті ці вміння дуже часто допомагають людині. Ось один випадок вмілого рішення комбінаторної завдання.

Безкоштовний обід. 10 молодих людей вирішили відсвяткувати закінчення середньої школи товариським обідом в ресторані. Коли всі зібралися, і перше блюдо було подано, засперечалися про те, як всістися навколо столу. Одні пропонували розміститися в алфавітному порядку, інші за віком, треті – по успішності, четверті – по зростанню і т.д. Суперечка затягнувся, суп встиг застудитися, а за стіл ніхто не сідав. Примирив всіх офіціант, який звернувся до них з такою промовою:

Молоді друзі мої, залиште ваші сперечання. Сядьте за стіл як кому доведеться й вислухайте мене. Всі сіли як попало. Офіціант продовжував:

Нехай один із вас запише, в якому порядку ви зараз сидите. Завтра ви знову з’явитеся сюди пообідати, і розміститеся вже в іншому порядку. Післязавтра сядете знову по-новому і т.д., поки не перепробуєте усіх можливих розміщень. Коли ж прийде черга знову сісти так, як сидите ви тут сьогодні, тоді, обіцяю урочисто, я почну щодня пригощати вас безкоштовно найвишуканішими обідами.

Пропозиція сподобалася. Вирішено було щодня збиратися в цьому ресторані і перепробувати всі способи розміщення за столом, щоб швидше почати користуватися безкоштовними обідами.

Однак їм не довелося дочекатися цього дня. І зовсім не тому, що офіціант не виконав обіцянки, а тому, що число всіх можливих розміщень за столом надто велике. Воно дорівнює, ні мало, ні багато, 3628800. Таке число днів становить, як неважко порахувати, майже 10000 років! Це здається на перший погляд неймовірним, але так воно і є!

 

3. Вивчення нового матеріалу.

 

 І.  Комбінаторикою називається розділ математики, в якому вивчаються питання про те, скільки різних сполук, що відповідають тим чи іншим умовам, можна скласти із заданих об'єктів (елементів множини). Часто доводиться розв'язувати задачі, в яких потрібно вибирати з даної кількості елементів такі, що мають певні властивості, або розміщувати їх у певному порядку.

     Наприклад, скільки пар чергових можна утворити з 34 учнів класу? Скількома способами можна розмістити 7 гостей за столом? Скільки існує шести цифрових телефонних номерів?

     Задачі такого виду називаються комбінаторними і розв'язуванням таких задач ми й будемо займатись.

 

ІІ.  Правило суми і правило добутку   

Багато комбінаторних задач можуть бути розв’язані за допомогою двох важливих правил, які називають відповідно правило суми і правило добутку.

Спочатку розглянемо ПРАВИЛО СУМИ: якщо деякий елемент А можна вибрати m способами, а елемент В — n способами (причому будь-який вибір елемента А відрізняється від вибору елемента В), то вибрати А або В можна m + n способами.

Приклад 1. У вазі знаходяться 4 груші і 3 яблука. Тоді вибрати один фрукт:

грушу АБО яблуко можна 4 + 3 = 7 способами.

Зрозуміло, що правило суми можна розповсюдити на три і більше елементів.

Сформулюємо ПРАВИЛО ДОБУТКУ: якщо деякий елемент А можна вибрати m способами, а після кожного такого вибору інший елемент В можна вибрати (незалежно від вибору елемента А) — n способами, то пару об’єктів А і В можна вибрати m·n способами.

Приклад 2. У вазі знаходяться 4 груші і 3 яблука. Тоді одну грушу і одне яблуко можна обрати 3 ∙ 5 = 15 способами.

Правило добутку розповсюджується на три і більше елементів.

 

4. Первинне осмислення та закріплення знань. 

 

Розв'язування типових задач усно та біля дошки з обов'язковим коментуванням («чому саме додаємо/множимо?»).

 

№1. Скільки трицифрових чисел можна скласти з цифр 1;2;3;4;5, якщо в числі: 1) цифри не повторюються; 2) цифри повторюються.  Розв'язання 

1)              Маємо 5 способів для сотень числа (рис. 1). Після того, як місце сотень заповнене (наприклад, цифрою 1), для десятків залишається 4 способи. Міркуючи далі, для одиниць - 3 способи. Отже, маємо: «5 способів, і після кожного з них — 4, і після кожного з них — 3 способи». За правилом добутку маємо 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60 чисел.

                         5   ∙   4   ∙   3                                               5   ∙   5   ∙   5

                                 Рис. 1                                                               Рис. 2

2)              Якщо цифри у числі повторюються, то на кожне з трьох місць є по 5 варіантів заповнення (рис. 2), і тоді всіх чисел буде 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125.

 

№2. Скільки парних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 6; 7; 8; 9, якщо в числі цифри не повторюються?

Розв'язання

 Парне чотирицифрове число можна отримати, якщо останньою цифрою буде 6 або 8. Чисел, у яких остання цифра 6 буде 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 (рис. 3), чисел, у яких остання цифра 8 буде також 6. За правилом суми всього парних чисел, що задовольняють умові, буде 6 + 6 = 12.

 

                                   3   ∙   2   ∙   1              +      3   ∙   2   ∙   1

                      Рис. 3

 

№3. У класі 34 учня, серед яких 16 хлопців і 18 дівчат.

1)     Скількома способами можна вибрати одного учня цього класу?

2)     Скількома способами двох учнів — хлопчика й дівчинку?

3)     Скількома способами можна вибрати дівчинку?

4)     Уже вибрано одного учня. Скількома способами можна вибрати після цього хлопчика й дівчинку?

     Розв'язання 

1)   Хлопчика можна вибрати 16 способами, а дівчинку — 18 способами, тоді за правилом суми або дівчинку, або хлопчика можна вибрати 16+18=34 (способами).

2)   За правилом добутку і дівчинку, і хлопчика можна вибрати 16∙18=288 (способами).

3)   Дівчинку можна вибрати 18 способами.

4)   Якщо один учень уже вибраний, то можливі два варіанти:

     а) якщо була обрана дівчинка, тоді дівчат залишилось 17, отже дівчинку

можна вибрати 17 способами, а хлопчика — 16, а пару можна вибрати 17∙16=272 (способами).

     б) якщо був обраний хлопчик, то їх залишилось 15, отже існує 15 способів

вибору хлопчика, для дівчинки — 18 способів, для пари —15∙18=270 (способів).

     За правилом суми маємо 272+270=542 (варіанти). Відповідь. 1) 34; 2) 288; 3) 18; 4) 542.

 

№4. Скількома способами із 5 конвертів, 4 марок і 6 листівок можна вибрати два предмети з різними назвами?

Розв’язання. Марку і конверт можна вибрати 5∙4 = 20 способами, марку і листівку — 4∙6 = 24 способами, конверт і листівку — 5∙6 = 30 способами. Одну пару — або другу, або третю — за правилом суми можна вибрати 20 + 24 + 30 = 74 способами.

Відповідь. 74 способами

 

№5.  Алфавіт племені мумбо-юмбо складається з трьох літер: м, ю, б. «Словом» є будь-яка послідовність, що складається не більше ніж із 4 літер. Скільки «слів» у мові племені мумбо-юмбо?

Розв’язання. «Не більше ніж» означає, що «слово» може бути одно-, двох-, трьох- і чотирьохлітерним. «Слів», що складаються з однієї літери,— 3, із двох літер — 3-3 = 9 , із трьох — 3-3 = 27 , із чотирьох — З⁴ = 81. Кількість усіх «слів» становить 3+9+27+81=120.

Відповідь. 120 слів

 

Додаткові вправи.

1.               Скількома способами можна вибрати 1 фрукт, якщо на тарілці лежить 8 яблук і 6 груш? (14.)

2.               В їдальні є 4 перших і 6 других блюд. Скількома способами можна скласти обід?

(24.)

3.               Скільки можна утворити двоцифрових чисел із цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, якщо цифри в запису числа не повторюються?

(90.)

4.               Скільки можна утворити трицифрових чисел із цифр 1,2,3,4,5, якщо цифри в запису числа можуть повторюватись? Якою буде відповідь, якщо цифри не будуть повторюватись? (5∙5∙5=125; 5∙4∙3=60.)

5.               У продажу є 5 ручок, 4 олівці та 8 лінійок різних видів. Скількома способами учень може придбати набір з ручки, олівця та лінійки?

(160.)

6.               У країні Чудес є три міста — А, Б і В. Із міста А до міста Б веде 6 доріг, а з міста Б до міста В — 4 дороги. Скількома способами можна проїхати з міста А до міста В?

Розв’язання. З А до В можна дістатися, пройшовши 2 частини шляху: з А до Б, що можна здійснити 6 способами, і з Б до В, що можливо зробити 4 способами. Скласти пари доріг: з А до Б й із Б до В можна 6-4 = 24 способами.

7.Складають автомобільні номери, що містять чотири цифри. Скільки таких номерів можна скласти, якщо:

а) використовувати 10 цифр;

б) використовувати тільки непарні цифри?

Розв’язання

а)Першу цифру можемо вибрати 10 способами, після чого другу — так само 10 способами, потім третю і четверту — теж 10 способами. Усього маємо 101010-10 = 10⁴ способів.

б) Аналогічно маємо 5⁴ = 625 способів.

 

5. Підбиття підсумків уроку (рефлексія)

➢Яке слово-маркер є сигналом для застосування правила суми, а яке — для правила добутку?

➢Уявіть, що ви обираєте старосту класу АБО його заступника. Яке правило працює? А якщо ви обираєте пару: старосту І заступника?

➢Чи може виникнути ситуація, коли в одній задачі доведеться використати обидва правила? Наведіть приклад.

➢Якщо у нас є 5 синіх кульок і 4 червоні, у якому випадку ми отримаємо 9 варіантів вибору, а в якому — 20?

 

6. Домашнє завдання 

 

✓  Опрацювати відповідний параграф підручника.

✓  Розв'язати 2–3 задачі різних рівнів складності.

✓  Творче завдання (за бажанням): Скласти власну задачу на правило добутку, пов'язану зі своїм хобі чи повсякденним життям.

 

 

 

Урок 2. Тема: Перестановки, розміщення, комбінації (без повторень).

Мета уроку: ознайомити учнів з поняттями перестановок, розміщень і комбінацій; дати уявлення про факторіал та навчити обчислювати найпростіші вирази з ним; ознайомити учнів із формулами для обчислення кількості перестановок, розміщень і комбінацій без повторень; навчити визначати, який вид комбінаторної сполуки застосовується в конкретній ситуації; формувати вміння розв'язувати найпростіші комбінаторні задачі із застосуванням перестановок, розміщень і комбінацій; розвивати логічне мислення, навички аналізу та математичного моделювання практичних ситуацій.

ХІД УРОКУ

 

1.   Організаційний етап .

 

2.   Актуалізація опорних знань.

 На минулому уроці ми вивчили два головні правила комбінаторики. Давайте миттєво перевіримо, як вони працюють. 

    Уявіть, що у вас на столі лежать 5 ручок і 4 олівці. 

✓   Скількома способами можна вибрати один будь-який предмет (або ручку, або олівець)?

✓   Яке правило спрацювало і яке слово було ключовим? 

✓   Скількома способами можна вибрати комплект із однієї ручки і одного олівця?

✓   Яке правило спрацювало тепер? 

 

3.   Мотивація навчальної діяльності.

 

А тепер ускладнюємо задачу: що, якщо нам треба вибрати не один предмет і не пару «ручка + олівець», а, наприклад, розсадити 5 учнів на 5 стільців? Чи виставити 3 найкращі ручки в ряд на вітрині? Для цього звичайних правил суми та добутку замало, тому сьогодні ми розберемо три готові комбінаторні інструменти: перестановки, розміщення та комбінації.

 

4.   Вивчення нового матеріалу.  

  

     Факторіал.  п! (читають: ен факторіал) дорівнює добутку всіх натураль-

них чисел від 1 до п, тобто п! = 1 ∙ 2 ∙ 3  ∙ ... ∙ n..                                                                      1! = 1, 2! = 2•1 = 2, 4! = 4 •3 •2 •1 = 24, 5! = 5 •4 •3 •2 •1 = 120.  Приймають, що 0!=1. n!=1∙2∙3∙…∙n;  1!=1;   0!=1

Будь-яка ВПОРЯДКОВАНА множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів.

Таким чином, перестановки з n елементів відрізняються між собою лише порядком елементів. Кількість усіх можливих перестановок у множині з п елементів позначається Р_n.                                                                Р_n = п!

    Задача. Скількома способами можна розставити на полиці 6 книжок?

Розв’язання. Шукана кількість способів дорівнює кількості перестановок з 6 елементів (книг): Р₆ = 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720.

Будь-яка ВПОРЯДКОВАНА підмножина з т елементів даної множини, яка містить n елементів, називається розміщенням з n елементів по т елементів.

Число розміщень з n елементів по т обчислюють за формулою      𝑨𝒎𝒏 =          𝒏!             !

         Задача. Розклад на день містить 6 уроків. Визначити кількість всіх можливих розкладів при виборі з 9 предметів, при умові, що жоден предмет не стоїть у розкладі двічі.

Розв’язання. 𝐴

Будь-яка підмножина з т елементів даної множини, яка містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по т елементів.

Комбінація відрізняється від розміщення ТИМ, ЩО у цій підмножині неістотним є порядок елементів. 

Число комбінацій з n елементів по т обчислюють за формулою  

                С𝒎𝒏 = 𝒎! 𝒏!              !

Задача. У вазі 6 червоних і 4 білих троянди. Скількома способами з вази можна вибрати три троянди?

Розв’язання. Оскільки порядок вибору не має значення, то вибрати три троянди з 10 можна С³₁₀ способами.  𝐶(способів)

Вибір формули.

При розв’язуванні комбінаторних задач важливо правильно визначити, про який вид сполук іде мова в задачі. Нагадаємо основні властивості сполук:

1.Перестановки  - відрізняються одна від одної порядком розташування.

2.Розміщення– відрізняються або вибором елементів, або порядком розташування.

3.Комбінації– відрізняються тільки вибором елементів (порядок не враховується).

Тому визначення виду сполуки можна за такою схемою (рис. 4):

 

5. Розв’язування задач. Первинне осмислення та закріплення знань. 

 

№1. Іван, Андрій, Олег, Сергій i Віктор жеребкуванням призначають двох чергових у класі. Скільки існує варіантів такого вибору?                               

Розв’язання.  

Оскільки обов’язки в обох чергових однакові, а кількість хлопців менша за кількість чергових, то існує     C₅² = 5! / (2!·(5 — 2)!) = 10 варіантів призначення чергових.               

Відповідь. 10 варіантів.

№2.Скільки двозначних натуральних чисел можна скласти з цифр 4, 5, 8 i 9

           за         умови,         що         цифри         в         числі         не        повторюються?            

Розв’язання.  

Задано 4 цифри, причому місць для цифр у числі 2. Порядок розташування цифр у числі має значення, отже, кількість чисел A₄² = 4! / (4 — 2)! = 12

Відповідь.12 чисел. 

№3. Скільки телефонних семизначних номерів можна скласти  з цифр 5, 6, 1,7, 8, 2, 3 при умові, що цифри у номері не повторюються? Розв’язування.Р₇ = 7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040   Відповідь: 5040 номерів.  

 

Додаткові вправи.

 

1.            У змаганнях з баскетболу беруть участь 10 команд, з яких тільки чотири перших змагатимуться у фінальній частині. Скільки існує варіантів складу фі-

нальної четвірки?                                                                                (210 варіантів)

2.            Технічний гурток відвідують десять учнів. Скільки існує варіантів обирання учасниками гуртка старости, його заступника та відповідального за чер-

гування?                                                                                                (720 варіантів)

3.            Скласти розклад з 6- ти уроків на один  день, якщо учні вивчають 10 предметів. Скількома способами це можна зробити ?                  (151200 способами).

4.            Скількома способами можна закреслити 6 номерів із 36 в картці «Спорт

лото»?                                                                                          (1947792 способами)

5.            Скількома способами можна розкласти 5 різних листів у 5 різних конвертів, якщо у кожний конверт кладеться лише один лист?              (120 способами)  

6.            Скількома способами можна запропонувати  членам журі дегустацію 4ох  різних страв?                                                                                (24 способами.)  

7.            Учневі потрібно скласти 3 екзамени на протязі 5 днів. Скількома способа-

ми це можна зробити ?                                                                       (60 способами)

8.            Із 10 учнів треба вибрати 6 учнів для роботи у кондитерському  цеху. Скількома способами це можна зробити ?                                           (210 способами)

9.            Скількома способами можна вибрати з 20-ти членів колективу 3-ох прете-

ндентів на путівки в Крим?                                                             (1140 способами)

 

6. Підбиття підсумків уроку. Бліц-рефлексія «Яка формула?»

А тепер фінальний тест на уважність. Рахувати нічого не потрібно. Я читаю життєву ситуацію, а ви кажете, яка формула допоможе знайти відповідь і чому.

Задача про фотографію: 5 друзів прийшли у фотостудію і сіли на лаву.

Скількома способами вони можуть сісти для фото?

Очікувана відповідь: Перестановки. Беруть участь усі 5 людей, змінюється тільки їхній порядок.

Задача про олімпіаду: У класі 10 учнів взяли участь в олімпіаді з математики. Скількома способами серед них можуть розподілитися І, ІІ та ІІІ місця?

Очікувана відповідь: Розміщення. Беруть не всіх (тільки трьох із 10), і порядок (хто саме на якому місці) дуже важливий.

Задача про піцу: Ви замовляєте піцу і можете обрати 3 будь-які додатки з 8 запропонованих у меню. Скільки є варіантів вибору?

Очікувана відповідь: Комбінації. Беруть частину елементів (3 з 8), і порядок неважливий (немає значення, першою на піцу покладуть кукурудзу чи шинку, результат однаковий).

Задача про чергу: До каси за квитками підійшло 6 людей. Скільки є варіантів стати їм один за одним?

Очікувана відповідь: Перестановки. Всі 6 елементів на місці, міняємо тільки порядок.

Задача про подарунок: Оленка хоче подарувати подрузі три книги. Усього в неї є 7 різних цікавих книг. Скількома способами вона може обрати цей подарунок?

Очікувана відповідь: Комбінації. Беруть 2 книги з 7, порядок дарування (яку першою витягли з шафи) ролі не грає.

Молодці! Бачу, що головне ви схопили: якщо працюють усі елементи — це перестановки. Якщо частина і порядок важливий (є посади, місця, номери) — це розміщення. Якщо частина і порядок не має значення (просто купка, набір) — це комбінації. На наступному уроці ми потренуємося комбінувати ці формули у складніших задачах!

 

7. Домашнє завдання 

 

✓  Опрацювати відповідний параграф підручника.

✓  Розв'язати 2–3 задачі на різні види сполук без повторень.

✓  Творче завдання (за бажанням): Скласти власні задачі на кожен вид сполук, пов'язані зі своїм хобі чи повсякденним життям.

 

 

 

Урок 3. Тема: Перестановки, розміщення, комбінації (без повторень).

Мета уроку: удосконалювати навички розв'язування комбінаторних задач різних типів; узагальнити знання учнів про основні види комбінаторних сполук і способи їх застосування; розвивати вміння обґрунтовувати вибір методу розв'язування та застосовувати комбінаторні знання в практичних ситуаціях; розвивати логічне мислення, навички аналізу та математичного моделювання практичних ситуацій.

 

ХІД УРОКУ

1.   Організаційний етап .

 

2.   Актуалізація опорних знань. Графічний диктант.

 

Зараз ми проведемо графічний диктант. Я читаю коротку умову задачі, а ви у зошиті будуєте графік. Номер запитання — це крок по горизонталі. Якщо в задачі треба використати перестановки  — ви малюєте пряму лінію на рівні відповіді: _ .Якщо розміщення  — малюєте гострий кут вгору (шпиль): /\. Якщо комбінації  — малюєте дугу вгору (пагорб): ⌒.

1.          Скількома способами можна розставити 4 різні вази на полиці?

2.          Тренер має обрати 3 гравців з 10 для участі в забігу, причому важливо, хто побіжить першим, другим і третім етапом.

3.          Зі шкільного двору треба делегувати 2 учнів з 15 на міську конференцію.

4.          Вчитель фізкультури обирає з 8 хлопців чотирьох для шкільної команди з естафети 4х100 (де кожен біжить свій конкретний етап).

5.          Скільки п'ятицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо цифри в числі не повторюються?

Ключ для швидкої перевірки:— /\ ⌒ /\ —

 

3. Розв’язування задач.

 

Чудово, формули в голові освіжили! Але в житті та на екзаменах задачі рідко бувають "чистими". Зазвичай вони схожі на конструктор LEGO, де в одній умові ховаються і формули, і правила суми та добутку. Зараз ми побачимо, як правила суми та добутку, які ми вчили на минулому уроці, раптово "подружаться" з нашими новими комбінаціями. 

Пригадаймо, як обираємо правило і як обираємо формулу (рис. 5):

№ 1. Дресирувальник працює з 4 тиграми і 5 левами. Для нового циркового номера потрібно обрати 4 тварини. Скількома способами він може це зробити, якщо у номері беруть участь:

1)    4 тварини;

2)    4 тварини одного виду;

3)    і леви, і тигри.

1)

 

 

 

 

  𝐶(способів)

 

 

                    𝐶4⁴ + 𝐶₅^{4 =} _! ⁺ _! = 6 (способів)

 

 

𝐶 

 

 (способів)

 

Обов'язково покажіть учням два шляхи розв'язання третього пункту. Це покаже їм красу математики: як логічне мислення економить купу часу на обчисленнях порівняно з прямим перебором. Задайте учням питання:

У першому питанні ми знайшли, що взагалі існує 126 способів набрати команду. У другому питанні ми з'ясували, що в 6 випадках команда буде абсолютно однорідною (тільки леви або тільки тигри). А які команди будуть у всіх інших випадках зі 126? (Там будуть перемішані! І леви, і тигри!)

То як нам миттєво знайти відповідь? (Від усіх варіантів відняти варіанти одного виду!)

126 - 6 = 120 способів.

 

Наступна задача має точно таку саму структуру з трьох питань, але замість комбінацій тут працюють розміщення, оскільки для умов стає важливим порядок елементів (розподіл конкретних посад/ролей). Вона показує учням, що логічна структура мислення залишається абсолютно незмінною. Сполучник "або" так само вимагає від нас додавання, а метод віднімання від загальної кількості знову зберіг нам купу часу. Зміна контексту чи поява конкретних ролей змінює лише інструмент обчислення — формулу, але стратегія аналізу умови залишається універсальною.

 

№2. У фінал ІТ- хакатону вийшли 4 програмісти і 5 веб-дизайнерів. Для презентації фінального проєкту потрібно обрати команду з 4 осіб, у якій чітко розподілені ролі: капітан, доповідач, аналітик та генератор ідей. Скількома способами можна сформувати цю команду, якщо до її складу увійдуть: 

1)       будь-які 4 учасники хакатону;

2)       4 учасники одного фаху (або тільки програмісти, або тільки дизайнери);

3)       і програмісти, і дизайнери?

 

 

                      𝑃₄ + 𝐴⁴₅ = 4! + _! = 24 + 120 = 144 (способів₎

 

 

Всього 3024 способів набрати команду

У 144 випадках група буде однорідною (учасники одного фаху )

3024 - 144 = 2880 способів створити змішану команду

 

Додаткові вправи.

№1. Пряма та коло не мають спільних точок. На колі позначено дев'ять червоних точок, а  на прямій 15 синіх точок.  Відомо, що жодна пряма, яка проходить через дві червоні точки, не містить синіх точок. Скільки існує трикутників із вершинами цих точках?

№2. Для перевезення дітей формують колону, яка складається з п'яти автобусів і двох супровідних автомобілів: одного на чолі колони, іншого – позаду неї. Скільки всього існує різних способів розташування автобусів і супровідних автомобілів у цій колоні?

№3. В Оленки є 8 різних фотографій з її зображенням та 6 різних фотографій її класу. Скільки всього в неї є способів вибрати з них 3 фотографії зі своїм зображенням для персональної сторінки в соціальній мережі та 2 фотографії свого класу для сайту школи?

№4. Із 7 гвоздик і 5 тюльпанів потрібно скласти букет, який містить 5 квіток. Скількома способами це можна зробити так, щоб до букета входив хоча б одна гвоздика?

 

4. Рефлексія. Складання спільного «Чек-листа детектива».

 

Кожна комбінаторна задача — це маленький заплутаний випадок, а ми з вами — детективи, які мають його розплутати. У нас немає універсальної відмички, яка підійде до всього одразу, але у нас є логіка. Наша робота — вивчити всі зачіпки в тексті: знайти приховані сполучники, перевірити, чи важливий порядок, і з'ясувати, скільки "учасників" задіяно в процесі.

 

Давайте прямо зараз сформулюємо чіткий протокол розслідування — наш чек-лист, за яким ми будемо розбирати будь-яку справу, від простих паролів до складних життєвих ситуацій.

Вчитель просить учнів допомогти сформулювати  головні запитання, які потрібно поставити до умови БУДЬ-ЯКОЇ комбінаторної задачі, щоб розв'язати її без помилок. Разом із класом виводиться такий алгоритм:

Мій комбінаторний чек-лист:

Крок 1. Я шукаю сполучники. Якщо бачу «АБО» — це додавання, якщо бачу «І» — це множення.

Крок 2. Головне запитання: «Чи важливий порядок елементів у вибірці?»

 НІ, порядок абсолютно неважливий (потрібна просто купка, набір, колекція елементів, де від перестановки місць нічого не змінюється). Слідство завершено, це Комбінації.

ТАК, порядок має величезне значення! (є черга, посади, цифри в числі, місця). Тоді я ставлю додаткове запитання: «Чи ВСІ наявні елементи ми беремо й розставляємо?»

ТАК, усі до одного (як автобуси в колоні, книги в ряд) - це Перестановки. НІ, тільки частину з них (як 3 призери з 10 учасників) - це Розміщення. 

 

5. Домашнє завдання.

 

✓ Опрацювати відповідний параграф підручника. ✓ Розв'язати 2–3 задачі подібні до розв’язаних.

 

Коли вдома відкриєте зошит і почнете читати умови, не намагайтеся одразу вгадати формулу. Покладіть перед собою наш Чек-лист детектива і спокійно проведіть розслідування за кроками: спочатку шукайте сполучники, потім ставте запитання про порядок, а далі рахуйте "по головах". Успіхів!

 

 

Урок 4. Тема: Самостійна робота «Елементи комбінаторики»

Мета уроку: Перевірити рівень засвоєння учнями правил суми і добутку, формул перестановок, розміщень і комбінацій; уміння розпізнавати вид комбінаторної сполуки та застосовувати відповідні формули під час розв'язування задач.

 

ХІД УРОКУ

 

1.   Організаційний етап .

2.   Актуалізація опорних знань.

 

Перед самостійною роботою давайте проведемо миттєву інтелектуальну розминку для розігріву. Згадуємо наш головний детективний орієнтир. Я швидко читаю маркерну ситуацію, а ви хором або з місця кажете мені лише ОДНЕ слово:

Комбінації, Розміщення чи Перестановки. Готові? Поїхали!  Нам треба просто обрати трьох чергових із класу для прибирання.                         

                                                                                                        (Комбінації!)

 Нам треба з цих самих трьох людей обрати старосту, його заступника та фінансового директора.                                                              (Розміщення!)

 Нам треба просто розсадити 5 гостей за столом на 5 стільців. 

(Перестановки!)

 У тексті задачі зустрілося формулювання: "Оленка купує тістечко І сік".

Що робимо з варіантами?                                                             (Множимо!)

 В умові написано: "Олег планує поїхати до Львова у суботу АБО в неді-

лю". Яку дію оберемо?                                                                  (Додавання!)

Тепер фінальна порада на мільйон: коли отримаєте варіанти, не кидайтеся одразу писати формули. Спочатку прочитайте ВСЮ задачу від початку до кінця. Знайдіть приховані сполучники ("і", "або"), запитайте себе: "Чи важливий тут порядок?" і тільки тоді робіть свій детективний хід. Бажаю успіху!

 

3. Самостійна робота «Елементи комбінаторики»

 

Самостійна робота. Сполуки без повторень. Варіант 1.

№1.(3б.)  Обчислити:  1) А²₅;   2) С³₅;   3) Р₅. 

№2.(2б.)   У змаганнях з баскетболу беруть участь 11 команд. Скількома способами можуть розподілитися перше, друге і третє місця?

№3.(4б.)  Укажіть кількість способів, якими можна вибрати з 12 осіб 4 делегатів на конференцію, якщо: 

      а) усі делегати мають однакові обов’язки; 

     б) 1 делегат – керівник, 3 мають однакові обов’язки. 

№4.(3б.) Із 7 гвоздик і 5 тюльпанів потрібно скласти букет, який містить 5 квіток. Скількома способами це можна зробити так, щоб до букета входив хоча б один тюльпан?

Самостійна робота. Сполуки без повторень. Варіант 2.

№1.(3б.) Обчислити:  1) А³₇;   2) С³₆;   3) Р₆.

№2.(2б.)  У класі 15 учнів. Скількома способами можна призначити трьох чергових у їдальню?

№3.(4б.) Укажіть кількість способів, якими можна вибрати з 10 осіб 5 делегатів на конференцію, якщо: 

      а) усі делегати мають однакові обов’язки; 

     б) 1 делегат – керівник, 4 мають однакові обов’язки. 

№4.(3б.) Із 7 гвоздик і 5 тюльпанів потрібно скласти букет, який містить 5 квіток. Скількома способами це можна зробити так, щоб до букета входив хоча б одна гвоздика?

 

4.   Рефлексія.

 

Вчитель просить подумати не про оцінку, а про сам процес мислення під час самостійної. Запитання від вчителя до класу:

 Пригадайте наш «Чек-лист детектива». На якому кроці ви відчували найбільшу впевненість, а на якому виникла заминка?

 Чи зловили ви себе під час самостійної на якійсь пастці? Наприклад, почали автоматично писати комбінації, а потім вчасно згадали, що в задачі є посади чи ролі й це насправді розміщення?

 Яке слово в умовах задач сьогодні було найпідступнішим?

 

5.   Домашнє завдання. 

 

✓ Опиши одну реальну комбінаторну ситуацію зі свого повсякденного життя за сьогоднішній вечір або завтрашній ранок і порахуй кількість варіантів.

Приклади: 

«Я збирався до школи і обирав, які кросівки та худі одягти. У мене є 3 пари кросівок і 4 худі. Скільки всього варіантів луку я міг створити?» 

«Я створював новий пароль для розблокування телефона, що складається з 4 різних цифр. Скільки варіантів мені довелося б перебрати, якби я його забув?» 

«Мама попросила купити в магазині 3 різні фрукти, а на прилавку лежало 7 видів. Скільки у мене було варіантів виконати прохання?» 

 

 

Урок 5. Тема: Класичне означення ймовірності випадкової події.

Мета уроку: сформувати поняття випадкової події, вірогідної та неможливої подій; ознайомити учнів із класичним означенням ймовірності випадкової події та формулою її обчислення; формувати вміння обчислювати ймовірності найпростіших випадкових подій; розвивати логічне мислення, математичну грамотність та навички аналізу випадкових явищ.

ХІД УРОКУ

 

1.   Організаційний етап .

 

2.   Мотивація навчальної діяльності.

 

Характерною особливістю курсу шкільної математики, яку ви вивчали до цього часу, є визначеність невідомих. Але в житті доводиться мати справу з подіями, що залежать від обставин, які або невідомі, або не піддаються обліку. Наприклад, не можна передбачити, на який білет випаде виграш у лотереї, скільки зернин матиме колос, що виріс з висіяної зернини, як розмістяться пасажири на ескалаторі метро тощо. Явища такого характеру є випадковими.  

Людство століттями намагалося приручити цю випадковість. І, як не дивно, народилася наука про випадкове не в лабораторіях вчених, а... в гральних домах Франції XVII століття.

Один відомий кавалер, завзятий гравець у кості та карти — придворний Шевальє де Мере — почав помічати, що в деяких комбінаціях ігор він частіше виграє, а в деяких, здавалося б схожих, — постійно програє. Він запідозрив, що тут діють якісь приховані закони, і звернувся до свого друга — геніального математика Блеза Паскаля.

Паскаль об'єднав зусилля з іншим видатним вченим — П'єром Ферма. Переписуючись між собою, вони розбирали комбінації кубиків і карт, і саме з цього листування народилася наука, яку ми сьогодні починаємо вивчати, — Теорія ймовірностей.

Сьогодні теорія ймовірностей — це не про гральні кості де Мере. Вона працює в кожному вашому смартфоні: алгоритми FaceID оцінюють ймовірність того, що телефон тримає саме його власник, а не чужа людина. Страхові компанії за цими формулами розраховують, скільки має коштувати страховка на авто, оцінюючи ризики аварій. Банки вирішують, чи давати людині кредит, аналізуючи ймовірність його повернення. Навіть оцінювання результатів майбутнього НМТ базується на статистичних моделях ймовірності.

Сьогодні ми навчимося переводити наше інтуїтивне відчуття "можливо/неможливо" у чітку, сувору мову математичних чисел. Ми дізнаємося, як виміряти шанс події математично і чому цей шанс ніколи не буває більшим за одиницю.

 

3. Введення нових знань. Подія. Класичне означення ймовірності.

 

Первісним поняттям теорії ймовірності є поняття події. 

Результат спостереження, досліду, експерименту називають подією.

Випадкова подія – це результат спостереження, що може відбутися або не відбутися за певних умов.

Події позначаються великими буквами латинського алфавіту: А,В,С,… Будьяка подія відбувається внаслідок випробування. Наприклад: 

•         підкидання монети – випробування, поява герба – подія; 

•         дістаємо лампу з коробки – випробування, вона бракована – подія;

•         витягування навмання кульки – випробування, вона чорного кольору – подія.

Оскільки ми маємо справу з математикою, то потрібно мати якусь чисельну характеристику подій.

Подія

                                                                                               

                 випадкова                       вірогідна                            неможлива це подія, яка може             це подія, яка внаслідок             це подія, яка внаслідок відбуватись, або не            даного випробування                даного випробування          відбуватись під час              обов’язково відбудеться           не може відбутися   здійснення певного випробування

Приклад. Підкидаємо гральний кубик (маємо випробування). Тоді поява числа 3 – випадкова подія; поява числа меншого за 7 – вірогідна подія; поява на одній з граней числа 8 – неможлива подія.

Класичне означення ймовірності:  Ймовірність події А дорівнює відношенню  числа випадків, що сприяють появі події А, до числа всіх можливих випадків.

𝑚

𝑃(𝐴) =  

𝑛

Ймовірність  вірогідної події P(U)=1, неможливої – P(V)=0, випадкової – 0<P(A)<1.

 

Приклад. З класу, в якому навчається 22 учні, навмання вибирають одного.                    Яка ймовірність того, що це буде хлопець, якщо хлопців – 5?                                𝑚 = 5, 𝑛 = 22, 𝑃(𝐴) =  

 

 

3. Первинне осмислення та закріплення знань. Усні вправи.

 

№1. Які з подій випадкові, вірогідні, неможливі:

1)     виграти партію в теніс у рівного вам суперника;

2)     навмання вибраний слон буде літати;

3)     поява очок, сума яких більша за 12, під час підкидання двох гральних кубиків;

4)     запізнення потяга Київ–Львів;

5)     7 травня наступного року буде сонячно;

6)     наступним днем після середи буде четвер;

7)     наступним днем після четверга буде середа;

8)     день народження людини, яку зустріли, — 30 вересня;

9)     день народження людини, яку зустріли, — 31 вересня;

10)витягнути білу намистину з коробки, у якій є білі та червоні намистини.

 

№2. У коробці лежать 6 шоколадних цукерок і 4 карамельки. Навмання витягають одну цукерку. Яка ймовірність того, що вона виявиться шоколадною?

Розв’язання. 𝑚 = 6, 𝑛 = 10, 𝑃(𝐴) =  = 0,6

№3. У непрозорому мішку є 15 білих кульок. Яка ймовірність витягти з мішка чорну кульку? А білу?

Розв’язання. Чорних немає, тому 𝑚 = 0, 𝑃(𝐴) = 0 (це неможлива подія).                        Білих — усі 15, тому 𝑚 = 𝑛, 𝑃(𝐴) = 1 (це вірогідна подія).

№4. У вашому телефоні в папці «Улюблене» збережено 20 треків: 5 у стилі рок, а решта — реп. Ви вмикаєте режим перемішування. Яка ймовірність, що першим зазвучить реп-трек?

Розв’язання. 𝑚 = 20 − 5 = 15,𝑛 = 20, 𝑃(𝐴) =  = 0,75

 

4. Закріплення вивченого. Розв’язування вправ.

 

№5. Маємо новий відривний календар не високосного року. Відриваємо в ньому один листок. Знайти ймовірність подій

А – на листку число 1

В – на листку число 31

С – число на листку ділиться на 5  Розв’язання

𝑛 = 365

А: 𝑚 = 12 (бо число листків з числом 1 – 12 )  𝑃(𝐴) = ¹²

В: 𝑚 = 7 ( 7 місяців мають число 31 )                𝑃(В) =  

С: 𝑚 = 11 · 6  + 1 · 5 = 71

( 5,10,15,20,25,30 – всі місяці крім лютого;          𝑃(С) =      5,10,15,20,25 – у лютому)  

№6. У ящику лежать кульки: декілька білих, 5 червоних, 7 зелених, 8 коричневих. Ймовірність витягти з першого разу білу кульку дорівнює . Знайдіть кількість білих кульок в ящику.

  Розв’язання. 

Нехай х білих кульок лежать у ящику. Тоді всього кульок (20+х).  Подія А – вийнята кулька біла.  𝑃(𝐴) = ^𝑚. 𝑚 = 𝑥, 𝑛 = 20 + 𝑥.

𝑛

                𝑥             1

                        =      ;   3𝑥 = 20 + 𝑥;  2𝑥 = 20;  𝑥 = 10 

           20+𝑥         3

Відповідь: 10 білих кульок лежать у ящику

 

Додаткові вправи.

 

1.               У шухляді лежать 8 синіх і 12 червоних олівців. Яка ймовірність взяти на-

вмання з шухляді: ручку; олівець?                                                                   (0; 1)

2.               У шухляді лежать 12 синіх і 16 червоних олівців. Яка ймовірність взяти

навмання з шухляді синій олівець?                                                                  (0,75)

3.               У коробці було 17 карток, пронумерованих числами від 1 до 17. Із коробки навмання взяли одну картку. Яка ймовірність того, що на ній записано число: 1) 12; 2) парне; 3) кратне 3; 4) не кратне 5; 5) двоцифрове; 6) просте? (1) ¹ ; 2) ⁸ ; 3) ⁵ ; 4) ¹⁴; 5) ⁸ ; 6) ⁷ )

                                                                                                                                             17          17          17          17          17              17

4.               Подарунковий комплект містить 12 зелених і кілька червоних надувних куль. Скільки червоних куль у комплекті, якщо ймовірність того, що вибрана навмання куля: 1) виявиться зеленою, дорівнює ³; 

                       2) виявиться червоною, дорівнює ?                            (1) 16; 2) 8)

5.               В автобусному парку налічується 𝑛 автобусів, шосту частину яких було обладнано інформаційними табло. Пізніше інформаційні табло встановили ще на 4 автобуси з наявних у парку. Після проведеного переобладнання навмання вибирають один з 𝑛 автобусів парку. Ймовірність того, що це буде автобус з інформаційним табло, становить 0,25. Визначте 𝑛. Уважайте, що кожен автобус обладнується лише одним табло.                                                                         (48)

6.               У таксопарку парку 𝑛 автобусів, шосту частину яких було обладнано інформаційними табло. Після залучення коштів із міського бюджету інформаційні табло встановили ще на 14 досі не переобладнаних автобусів. Під час проведеної після переобладнання перевірки навмання вибирають один з 𝑛 автобусів таксопарку. Ймовірність того, що це буде автобус БЕЗ інформаційного

табло, становить 0,5. Обчисліть значення 𝑛.                                                       (42)

 

 

5.   Підбиття підсумків уроку (рефлексія)

 

Уявіть, що рівень вашого розуміння сьогоднішньої теми — це ймовірність події "Я зможу без проблем розв'язати задачу про кульки чи картки вдома". Оцініть цю ймовірність для себе числом від 0 до 1. Якщо ви відчуваєте себе на 0,9 або 1 — ви готові підкорювати Лас-Вегас і НМТ. Якщо ви на позначці 0,5 — формула зрозуміла, але під час підрахунку сприятливих чисел (як у задачі з простими числами чи картками) ще є невпевненість. Якщо ви ближче до 0 — ваші "сприятливі наслідки" попереду, і на початку наступного уроку ми розберемо незрозумілі моменти ще раз.

 

6.   Домашнє завдання.

✓  Опрацювати відповідний параграф підручника.

✓  Розв'язати 2–3 задачі різних рівнів складності.

 

 

Урок 6. Тема: Класичне означення ймовірності випадкової події.

Мета уроку: удосконалювати вміння застосовувати класичне означення ймовірності для розв'язування задач; формувати навички використання елементів комбінаторики під час знаходження кількості можливих результатів випробування; вчити аналізувати умову задачі та обґрунтовувати хід її розв'язання; розвивати вміння застосовувати ймовірнісні методи для моделювання реальних ситуацій; сприяти формуванню відповідального ставлення до результатів власної навчальної діяльності.

 

ХІД УРОКУ

 

1.   Організаційний етап .

 

2.   Актуалізація опорних знань. 

 

Експрес-опитування «Формульний фундамент» 

Вчитель проводить швидке фронтальне опитування (можна з використанням прийому «незакінчене речення» або м'яча, який кидає учням).

	Чому дорівнює ймовірність будь-якої події? Яка формула?
	Що означає буква n у знаменнику?
	А що ховається за буквою m у чисельнику?
	Які межі має ймовірність? Чи може вона дорівнювати 1,5 або -0,2?

 

Бліц-гра «Вибери правильну зброю» 

Формулу для обчислення ймовірності ми пам'ятаємо. Але сьогодні нам знадобиться також комбінаторний арсенал.  Я називаю коротку комбінаторну дію, а ви миттєво кажете: яка формула тут працює — перестановки, розміщення чи комбінації, і чому саме вона:

1) З класу в 20 учнів треба обрати двох, які поїдуть на олімпіаду з математики. 2)  З класу в 20 учнів треба обрати двох: один буде старостою, а другий — його заступником.

3)  На полиці треба розставити 5 різних підручників з математики.

 

3.     Мотивація навчальної діяльності.

 

Подивіться на задачі, які ми розв’язували на попередньому уроці. У коробці лежать кульки, картки чи цукерки, і ми щоразу витягаємо лише ОДИН предмет (одну картку, один кубик, один олівець). Коли об'єкт один, усе дуже просто: чисельник m і знаменник n — це були просто звичайні кількості предметів, які ми бачили в умові чи рахували на пальцях. Але від сьогодні правила гри змінюються. Що буде, якщо з купи предметів ми будемо брати не один об'єкт, а декілька? Наприклад, жменю з трьох цукерок, або пару підручників, або комбінацію з кількох цифр? Запам'ятайте цей вододіл: якщо ми обираємо ДЕКІЛЬКА об'єктів одразу, то кількості m та n уже не можна знайти простим додаванням чи підрахунком "по головах". Їх тепер потрібно рахувати виключно за формулами. Формула ймовірності залишається тією ж самою. Але і чисельник m, і знаменник n перетворюються на окремі комбінаторні задачі, які ми розв'язуємо через наш Чек-лист детектива. Давайте подивимося, як це працює на практиці.

 

4.     Формування вмінь та комплексного застосування знань.

 

№1. У групі 17 студентів, з яких 8 дівчат. Принесли 7 квитків на концерт. Яка ймовірність того, що чотири квитки дістануться дівчатам.

 

                                  

 

Подія A - чотири квитки дістануться дівчатам.            𝑃(𝐴) = ^𝑚

𝑛

Оскільки порядок неважливий і ми обираємо частину студентів із загальної кількості, для підрахунку варіантів ми будемо використовувати комбінації.

Загалом у групі є 17 студентів, а квитків принесли 7. Нам потрібно порахувати, скількома способами можна навмання обрати будь-яких 7 студентів із 17:

𝑛 = 𝐶177 = 717!·10! ! =  = 11 · 13 · 17 · 8  

Подія A вимагає, щоб серед 7 обраних студентів було рівно 4 дівчини.  Якщо квитків усього 7, а дівчата заберуть 4, то решту - 3 квитки обов'язково мають отримати хлопці, яких 9. Отже, потрібно обрати 4 дівчини з 8 і 3 хлопців з 9. За правилом добутку: 

𝑚 = 𝐶₈⁴ · 𝐶₉³ =  ·  =  ·  = 5 · 7 · 7 · 8 · 3  

Отже, ймовірність події А:    𝑃(𝐴) =  =  

 

№2. У скриньці 12 білих і 8 червоних кульок.

а) Навмання взяли одну кулю. Яка ймовірність того, що вона біла? 

б) Навмання взяті дві кулі. Яка ймовірність того, що вони різних кольорів?

в) Навмання взяли 8 кульок. Яка ймовірність того, що три – червоні? (Обчис-

лювати фінальне числове значення не потрібно. Запишіть лише формули та підсумковий дріб ймовірності) 

г) Навмання взяли 8 кульок. Яка ймовірність того, що серед них не більше

трьох червоних? (Обчислювати фінальне числове значення не потрібно. Запишіть лише формули та підсумковий дріб ймовірності) 

 

 

Обираємо ОДИН предмет, тому 𝑚 = 12, 𝑛 = 20,𝑃(𝐴) =  = 0,6

 

Обираємо ДЕКІЛЬКА об'єктів одразу, тому

𝑛 = 𝐶202 = 220!·18! ! =  = 190  ,   𝑚 = 𝐶121 · 𝐶81 = 12 · 8 = 96

𝑃(𝐴) =  =   

 

Обираємо ДЕКІЛЬКА об'єктів одразу, тому

   𝑛 = 𝐶208 ,    𝑚 = 𝐶125 · 𝐶83,  𝑃(𝐴) = 𝐶125𝐶20·8𝐶83     

   𝑛 = 𝐶208 ,    𝑚 = 𝐶125 · 𝐶83 + 𝐶126 · 𝐶82 + 𝐶127 · 𝐶81 + 𝐶128 ,  

   𝑃(𝐴) = 𝐶125 ·𝐶83+𝐶126 ·𝐶𝐶8220₈+𝐶12⁷ ·𝐶8¹+𝐶12⁸    

 

№3. З 15 будівельників – 10 мулярів і 5 штукатурів. Навмання створюють бригади з 5 будівельників. Яка ймовірність того, що серед них будуть 3 муляри і 2 штукатури.

Обираємо ДЕКІЛЬКА об'єктів одразу, тому

𝑛 = 𝐶155 = 515!·10! ! =  = 3003    

𝑚 = 𝐶₁₀³ · 𝐶₅² =  ·  = 1200  

𝑃(𝐴) =  =   

Додаткові задачі. 1. У ящику лежать 15 якісних деталей та 5 бракованих.

а) Навмання виймають одну деталь. Яка ймовірність того, що вона бракована?

б) Навмання виймають три деталі. Яка ймовірність того, що всі вони браковані?

в) Навмання виймають чотири деталі. Яка ймовірність того, що серед них буде рівно дві браковані?

2.                Для чергування на вечорі соціології навмання вибирають групу з 5 студентів. Усього в потоці навчається 12 юнаків і 10 дівчат. Яка ймовірність того, що до складу цієї групи увійде рівно 3 дівчат?

3.                На екзамен з математики винесли 30 запитань. Студент знає відповіді лише на 20 із них. Білет складається з 4 випадкових запитань. Яка ймовірність того, що студент знає відповідь не більше ніж на два запитання в білеті?

4.                У методичній комісії вчителів природничо-математичного циклу навчального закладу працюють 9 вчителів математики та 6 вчителів фізики. Для участі у всеукраїнській конференції навмання обирають творчу групу з 5 осіб. Яка ймовірність того, що до складу цієї групи увійде рівно 3 вчителі математики?

5.                Для організації благодійного ярмарку на підтримку ЗСУ з-поміж студентів потоку, де навчається 15 юнаків і 12 дівчат, навмання формують команду волонтерів із 6 осіб. Яка ймовірність того, що серед обраних студентів буде рівно 4 дівчини?

6.                На склад привезли партію з 25 нових гаджетів, серед яких 4 мають прихований дефект екрана. Для перевірки технічного стану навмання вибирають 5 пристроїв. Яка ймовірність того, що серед них виявиться не більше двох дефектних гаджетів?

 

5. Підсумок уроку. Рефлексія.

 

«Правда чи міф» 

Вчитель зачитує твердження, а учні сигналізують: піднімають великий палець вгору (Правда) або вниз (Міф). 

Твердження 1: Якщо в задачі з коробки виймають три кульки одночасно, то знаменник ймовірності n — це просто загальна кількість кульок.

Твердження 2: Сума верхніх індексів у комбінаціях чисельника обов'язково має дорівнювати верхньому індексу в знаменнику

 Твердження 3: Якщо у відповіді до задачі на ймовірність у нас вийшов вираз, де чисельник більший за знаменник, ми все зробили правильно, просто числа великі.

Дякую за роботу! Сьогодні ви зробили величезний крок уперед. Ми розібралися з головним вододілом: один предмет — рахуємо легко, група предметів — дістаємо зброю комбінаторики. Ви побачили, що за великими, на перший погляд страшними математичними виразами ховається абсолютно проста й залізна логіка. Домашнє завдання складатиметься саме з таких "архітектурних" задач, де головне — побудувати правильний каркас. 

 

6. Домашнє завдання.

 

✓  Опрацювати відповідний параграф підручника.

✓  Розв'язати 1 задачу, що містить питання від найпростішого вибору одного об’єкту через комбінаторний підрахунок двох об’єктів до комплексного розрахунку з правилами добутку  і суми.

 

 

Урок 7. Тема: Самостійна робота «Початки теорії ймовірностей»

Мета уроку: перевірити  вміння застосовувати класичне означення ймовірності для розв'язування задач; оцінити вміння використовувати елементи комбінаторики під час обчислення ймовірностей; сприяти розвитку логічного мислення, уважності та відповідальності за результати власної навчальної діяльності.

 

ХІД УРОКУ

 

1.   Організаційний етап .

2.   Актуалізація опорних знань. «Створи пари»

На дошці умови 4 коротких задач і 4 формули-каркаси під ними (у випадковому порядку). Завдання учнів — знайти правильні пари.

1.                 З коробки, де 10 синіх і 5 чорних ручок, навмання беруть одну. Яка ймовірність, що вона синя? 2.                 З тієї ж коробки беруть три ручки. Яка ймовірність, що дві з них сині?  3. З коробки беруть дві ручки. Яка ймовірність, що вони різних кольорів? 4. З коробки беруть три ручки. Яка ймовірність, що серед них не більше однієї чорної?

𝑪𝟎𝟓·𝑪𝟑𝟏𝟎+𝑪𝟏𝟓·𝑪𝟐𝟏𝟎        А) 𝑷(𝑨) =            𝟑                         𝑪𝟏𝟓 Б) 𝑷(𝑨) = 𝟏𝟎           𝟏𝟓 𝑪𝟏𝟓·𝑪𝟐𝟏𝟎         В) 𝑷(𝑨) =      𝟑       𝑪𝟏𝟓 ) 𝑷(𝑨) = 𝑪𝟏𝟓·𝑪𝟐𝟏𝟏𝟎    Г 𝑪𝟏𝟓

Правильні пари для експрес-перевірки: 1–Б, 2–В, 3–Г, 4–А.

Нагадую головне правило сьогоднішньої роботи: уважно читайте, скільки саме предметів виймають. Якщо один — видихайте і рахуйте просто. Якщо декілька — будуйте комбінаторний каркас. 

3.   Самостійна робота «Початки теорії ймовірностей»

 

Самостійна робота. Початки теорії ймовірностей.  Варіант 1.

№1. (2б.) У скриньці 10 білих і три червоних кульки. Яка ймовірність того, що вийнята навмання куля – червона?                                          

№2. (3б.)  З колоди карт (36) навмання виймають дві карти. Знайти ймовірність події: вийнято два тузи ?                 

№3. (3б.)   У пеналі лежать 18 синіх олівців і кілька простих. Скільки простих олівців лежить у пеналі, якщо ймовірність того, що навмання взятий олівець виявиться простим, дорівнює 0,25?

№4. (4б.)  Дресирувальник працює з 7 тиграми і 5 левами. Для нового номера йому треба обрати чотири тварини. Знайти ймовірності наступних подій: 1) обрані 4 тварини одного виду; 2) в обраній групі є рівно два тигри; 3) в обраній групі є тварини обох видів.

 

  Самостійна робота. Початки теорії ймовірностей. Варіант 2.

№1. (2б.)  У скриньці 10 білих і три червоних кульки. Яка ймовірність того, що вийнята навмання куля – біла?

№2. (3б.)  З колоди карт (36) навмання виймають дві карти. Знайти ймовірність події: вийнято дві карти пікової масті

№3. (3б.)  У коробці лежать 12 шоколадних цукерок і кілька карамельок. Скільки карамельних цукерок лежить у коробці, якщо ймовірність того, що навмання взята цукерка виявиться шоколадною, дорівнює 0,6?

№4. (4б.)  У вазі стоять  8 білих і 5 червоних троянд. Потрібно скласти букет з п’яти квіток. Знайти ймовірності наступних подій:

1) обрані квітки одного кольору; 2) в букеті є рівно три білі троянди; 3) в букеті є квітки обох кольорів.

 

4.   Рефлексія.

 

Вчитель просить учнів сформулювати лаконічний висновок-пам'ятку для самих себе на майбутнє (наприклад, для підготовки до НМТ). Уявіть, що ви складаєте власну шпаргалку-пам'ятку для підготовки до тестування. Яке головне правило з сьогоднішньої самостійної ви б туди записали? Сформулюйте його буквально у трьох словах.

Очікувані відповіді учнів:  «Дивись на кількість!», «І — множ, АБО — додавай», «Уважно читай умову!» .

 

5.   Домашнє завдання. Творчий проєкт «Шпаргалка для НМТ»

Формат: Аркуш формату А4. Можна малювати від руки маркерами/ручками або створити в цифровому вигляді. Головна умова: Шпаргалка має бути такою, щоб твій однокласник, глянувши на неї за 1 хвилину до тесту, миттєво згадав, як розв'язувати задачі. На ній має бути мінімум тексту, але максимум логіки.

 

 

Урок 8. Тема: Вибіркові характеристики: розмах вибірки, мода, медіана, середнє значення.

Мета уроку: сформувати уявлення про основні числові характеристики вибірки: розмах, моду, медіану та середнє значення; навчити обчислювати розмах вибірки, моду, медіану та середнє арифметичне й інтерпретувати отримані результати; формувати вміння аналізувати статистичні дані та робити висновки на основі їх числових характеристик; розвивати логічне мислення, математичну грамотність, навички опрацювання та подання інформації.

 

ХІД УРОКУ

 

1.   Організаційний етап .

 

2.   Мотивація навчальної діяльності.

 

Сьогодні ми починаємо вивчати тему, яка оточує нас щодня, навіть якщо ми про це не замислюємося. Подивіться навколо: рейтинги в інтернеті, результати опитувань, середній бал у класі, статистика погоди, навіть кількість кроків у телефоні — це все дані. А тепер питання: Чи завжди ми правильно розуміємо ці дані? Чи достатньо просто мати числа, щоб зробити правильний висновок?

Уявіть ситуацію: дві школи показали результати контрольної. В одній середній бал 8,1, в іншій — 7,9. Чи означає це, що перша школа «краща»? А якщо в першій школі оцінки дуже різні, а в другій — більш стабільні? Саме тут виникає потреба не просто в числах, а в їх аналізі та інтерпретації.

І саме цим займається математична статистика — наука, яка вчить: збирати дані, впорядковувати їх, аналізувати,  і робити обґрунтовані висновки.

Статистика — це не лише про математику. Це про вміння мислити критично і не робити поспішних висновків.

 

3. Вивчення нового матеріалу. 

 

Математична статистика — розділ математики, який вивчає методи збору, обробки та аналізу даних для отримання висновків. 

Основна ідея: перетворити хаотичні дані на зрозумілу інформацію.

Генеральна сукупність — це всі об’єкти або всі значення, які нас цікавлять у дослідженні. 

Вибірка — це частина генеральної сукупності, яку реально досліджують.

Чому використовують вибірку? Бо: дослідити всіх часто неможливо; це економить час і ресурси; дозволяє отримати наближений результат.

Уявіть, що ви варите величезну 5-літрову каструлю борщу. Вам треба дізнатися, чи достатньо там солі та буряка. Ви ж не будете випивати всю каструлю, щоб це перевірити? Ні, ви берете ложку, зачерпуєте трохи, куштуєте і робите висновок про весь борщ. Так ось: Уся каструля борщу — це Генеральна сукупність (абсолютно всі об'єкти, які нас цікавлять). Одна ложка борщу — це Вибірка (маленька група об'єктів, яку ми реально досліджуємо).

Репрезентативність вибірки — це здатність вибірки правильно відображати генеральну сукупність. Якщо ви зачерпнете борщ ложкою з самого дна, де осіло м'ясо, вибірка буде нечесною — ви подумаєте, що весь суп складається з м'яса. Щоб за однією ложкою зрозуміти смак усього борщу, його треба добре перемішати. Тому об'єкти у вибірку мають потрапляти випадково.

Статистичні дані — це результати спостережень або вимірювань. Приклад: Оцінки учня з теми: 7, 9, 8, 10, 6, 8, 9.

Впорядкований ряд даних - це дані, розташовані у порядку зростання або спадання.

Приклад: Було: 7, 9, 8, 10, 6, 8, 9. Стало: 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10.

Наступним етапом  статистичних досліджень є оцінювання числових характеристик вибірки, які називаються  вибіркові  характеристики.

 Розмах вибірки R - це різниця між найбільшим і найменшим значенням випадкової величини у вибірці. Потрібен щоб зрозуміти, наскільки дані кучні чи розкидані. Чи можна довіряти цій системі, чи в ній панує хаос. Розмах відразу показує, де стабільність, а де повна непередбачуваність.

Мода  вибірки Мо - це значення випадкової величини, що трапляється  у вибірці найчастіше. Потрібна щоб дізнатися, що є найпопулярнішим або найчастішим. Бізнесу байдуже до «середнього значення», бізнес орієнтується на моду. Вибірка може мати дві моди (якщо два числа зустрічаються однаково часто) або не мати жодної (якщо всі числа різні).

Медіана вибірки Ме – це серединне значення впорядкованого ряду. Потрібна щоб розрізати вибірку строго навпіл і побачити, де є реальний центр, закриваючи очі на занадто малі або величезні числа. Якщо кількість чисел у ряді непарна, то медіана – це число, записане посередині; якщо кількість чисел у ряді парна, то медіана – це середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині.

Середнє значення вибірки – це середнє арифметичне всіх чисел ряду. Потрі- бно щоб оцінити загальний масштаб або збалансувати дані. Воно ідеально працює, лише коли всі числа у вибірці приблизно однакові.

Приклад: результати контрольної роботи з математики. Бали учнів класу: 

7, 3, 4, 7, 5, 9, 5, 6, 7, 10. 

Впорядкований ряд: 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 9, 10

Розмах R=xmax−xmin=10−3=7. Розмах дорівнює 7 (від 3 до 10), що показує досить помітну різницю між найслабшим і найсильнішим результатом. Це означає, що рівень підготовки учнів неоднорідний: є як сильні учні, так і ті, хто потребує додаткової підтримки.

Найчастіше зустрічається 7 (три рази). 𝑴о = 𝟕. Мода дорівнює 7, тобто найчастіше учні отримували саме 7 балів. Це можна вважати типовим рівнем успішності в класі. Усього 10 учнів → беремо 5-й і 6-й елементи: 6 і 7. 𝑴𝒆 = ^𝟔+𝟕 = 𝟔. 𝟓. Центра-

𝟐

льний рівень класу. Медіана дорівнює 6,5, тобто половина учнів отримала 6,5 бали або менше, а половина — 6,5 або більше. Оскільки медіана трохи вища за середнє, це свідчить про наявність кількох нижчих результатів, які дещо «тягнуть» середній бал вниз.  Середнє арифметичне ̅𝒙 = ^{𝟑+𝟒+𝟓+𝟓+𝟔+𝟕+𝟕+𝟕+𝟗+𝟏𝟎} = 𝟔, 𝟑. Середній бал стано-

𝟏𝟎

вить 6,3, тобто в середньому клас виконав роботу на рівні трохи вище середнього порогу. Це дає загальне уявлення про типовий результат, але не показує розподіл оцінок усередині класу. 

Одна характеристика не дає повної картини. Потрібно аналізувати дані комплексно. Статистика — це інтерпретація, а не просто числа.

 

4. Формування вмінь та комплексного застосування знань.

 

 №1. Лучник здійснив 11 пострілів по мішені і набрав відповідно 6, 5, 7, 9, 6, 9, 10, 8, 7, 9, 10 очок. Знайдіть моду цього ряду даних.

А	Б	В	Г	Д
5	7	8	9	10

Відповідь: мода ряду — 9, бо це значення трапляється найчастіше (3 рази).

№2. У таблиці відображено інформацію щодо кількості відвідувачів кінотеатру протягом семи днів тижня.

День тижня	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Нд
Кількість відвідувачів	124	140	140	170	163	195	168

Укажіть медіану кількості відвідувачів кінотеатру.

А	Б	В	Г	Д
140	155	163	170	195

Розв'язання: Упорядкуємо дані за зростанням: 124, 140, 140, 163, 168, 170,

195. Оскільки маємо 7 чисел, медіана — це число, яке стоїть посередині (4-те число). Медіана = 163.

№3. У групі з 20 учнів 11 класу провели анкетування, щоб з'ясувати, скільки приблизно годин на день кожен з них користується Інтернетом. Відповіді учнів відображено на діаграмі (див.  рисунок). Визначте, скільки часу на день (у годинах) у середньому учень з цієї групи користується Інтернетом.

А	Б	В	Г	Д
2,9	2,5	2	3	3,2

 

Розв'язання: Зверніть увагу: в опитуванні брали участь 20 учнів. Якщо взяти лише числа 1, 2, 3, 4, 5, то це всього 5 значень. Отже, ми врахували не всі результати опитування. Потрібно ще подивитися, скільки учнів назвали кожне з цих значень.

Знайдемо середнє арифметичне часу користування Інтернетом. За діаграмою: 1 година — 2 учні; 2 години — 5 учнів; 3 години — 7 учнів; 4 години — 5 учнів; 5 годин — 1 учень.

Тоді середній час: ̅𝒙 = ^{𝟏⋅𝟐+𝟐⋅𝟓+𝟑⋅𝟕+𝟒⋅𝟓+𝟓⋅𝟏} = 𝟐, 𝟗. Отже, у середньому один

𝟐𝟎

учень користується Інтернетом 2,9 години на день.

№4. Компанія виділила кошти на закупівлю 70 дерев: 50 каштанів по 1600 грн. кожний і 20 ялинок. Середня ціна одного дерева складає 1500 грн. Знайдіть вартість однієї ялинки.

Варіанти розв'язання (на вибір вчителя):

Спосіб 1. Арифметичний (по діях з поясненням). 

Яка загальна вартість усієї закупівлі?                     70·1500=105000 (грн)

Скільки заплатили за всі каштани?                         50·1600=80000 (грн) 

Яка вартість усіх ялинок разом?                             105000-80000=25000 (грн)

Яка вартість однієї ялинки?                                     25000:20=1250 (грн)  Спосіб 2. Алгебраїчний (складання рівняння). 

Нехай вартість однієї ялинки дорівнює x грн. Тоді загальна вартість усіх ялинок становить 20x грн, а вартість каштанів — 50·1600 грн. Оскільки всього купили 70 дерев за середньою ціною 1500 грн, складаємо рівняння:

20x+50·1600=70·1500, звідки x=1250.                               Відповідь: 1250 грн.

Додаткові задачі.

 

1.               Партія складалася з 9 кавунів середньою масою 12 кілограмів. До цієї партії додали один херсонський кавун масою 23 кг. Визначте середню масу в партії з 10 кавунів.                                                                                                      (13,1 кг)

2.               На підприємстві, що займається виробництвом дронів, є 7 українських і 3 іноземні філіали. Відомо, що середня кількість дронів, вироблених в одній українській філії, складає 26 одиниць, а середня кількість дронів, вироблених в одній іноземній філії, складає 47 одиниць. Визначте середню кількість дронів,

вироблених в одній філії компанії.                                                            (32 дрони)

3.               У будні дні щоденна плата Назара за роботу в кав'ярні становить 300 гривень, а в суботу і неділю на 200 гривень більше. Скільки в середньому за день заробляє Назар у гривнях, якщо він виходить на роботу в четвер і працює 10

днів безперервно?                                                                                         (360 грн.)

 

5.   Підсумок уроку. Рефлексія. Бліц-картки «Хто я?»

  

Учитель зачитує характеристику, а учні швидко записують у зошит або говорять уголос лише одне слово-відповідь:

«Я — значення, яке ділить упорядковану вибірку навпіл. Хто я?» (_{Медіана})

«Я — число, яке зустрічається у вибірці найчастіше. Хто я?» (_Мода)

«Я — різниця між найбільшим і найменшим значенням. Хто я?» (_{Розмах вибірки}) «Я — сума всіх значень, поділена на їхню кількість. Хто я?» (_{Середнє значення})

 

6.   Домашнє завдання.

 

✓  Опрацювати відповідний параграф підручника.

✓  Розв'язати комплексну задачу на знаходження вибіркових характеристик. Задача. На діаграмі наведено дані про кількість книжок, що їх прочитали протягом місяця 50 опитаних школярів. Обчисліть розмах, середнє значення, медіану та моду даної вибірки.

Розв'язання. Розмах: R=6−0=6

                 Середнє значення: ̅

 Медіана: Оскільки у вибірці 50 значень, медіана — це середнє арифметичне 25-го і 26-го значень упорядкованої вибірки.

0 книжок: місця 1–18; 1 книжка: місця 19–30; 2 книжки: місця 31–35; 3 книжки: місця 36–42; 4 книжки: місця 43–47; 5 книжок: місця 48–49; 6 книжок: місце

50. 25-те і 26-те значення потрапляють до групи «1 книжка». Me=1 Мода: Найбільша частота — 18, що відповідає значенню 0 книжок. Mo=0

 

 

 

Урок 9. Тема: Розв’язування вправ. Тестування.

Мета уроку: систематизувати та поглибити знання учнів про вибіркові характеристики; вдосконалити практичні навички обробки статистичних даних; провести діагностику та контроль рівня засвоєння знань за допомогою тестових завдань; розвивати аналітичне, критичне та логічне мислення учнів; розвивати навички самоконтролю, самооцінювання та концентрації уваги під час виконання тестових завдань; виховувати математичну культуру записів та обчислень.

 

ХІД УРОКУ

 

1.   Організаційний етап .

 

2.   Актуалізація опорних знань. «Знайди помилку».

 

Вчитель заздалегідь готуєте на дошці або слайді «розв'язання» домашньої задачі, але з навмисними помилками, яких часто припускаються учні.

Мода = 18 (але насправді мода — це кількість книг, яку прочитали найчастіше, а не сама частота).

Медіана = 3 (не врахували кількість однакових варіант)

Завдання класу: Знайдіть  помилки в моєму розв'язанні та поясніть, чому вони є помилками.

 

3.   Розв’язування задач.

 

№1. (усно) У черзі за морозивом стоять 7 дітей. Їхній вік (у роках) становить:8, 12, 7, 10, 8, 9, 11. Визначте моду та медіану цієї вибірки.

№2. Роботизована лінія виготовила партію з 19 тортів, середня маса яких становила 1,2 кг. Кондитер спек ще один ексклюзивний великий торт, і після того, як його додали до партії, середня маса всіх 20 тортів стала дорівнювати 1,3 кг. Яка маса цього двадцятого торта?

Розв'язання: Знаходимо початкову загальну масу: Якщо 19 тортів у середньому важать по 1,2 кг, то разом вони важать: 19·1,2 = 22,8 (кг).

Знаходимо нову загальну масу: Коли тортів стало 20, їхня середня маса піднялася до 1,3 кг. Отже, загальна вага всієї нової партії: 20·1,3 = 26 (кг).

Знаходимо масу ексклюзивного торта: Різниця між новою та старою загальною масою і є вагою доданого торта: 26 - 22,8 = 3,2 (кг). Відповідь: Маса двадцятого торта становить 3,2 кг.

 

4.   Тестування. «Елементи математичної статистики».

 

Тест. «Елементи математичної статистики». Варіант 1.

№1. (2б.) Учні 11 класу зіграли кілька партій у настільний теніс. Сергій зафіксував кількість набраних очок у 5 матчах: 11, 7, 11, 8, 13. Знайдіть моду цієї вибірки. 

                                                                         А           Б           В           Г           Д

                                                                         7          10         11         13          8

№2. (2б.) Марія протягом тижня рахувала кількість прочитаних сторінок книги щодня: 12, 15, 10, 18, 12, 20, 15. Знайдіть розмах цієї вибірки.

                                                                         А           Б           В           Г           Д

                                                                         7          10         20         12          5

№3. (2б.) Олег отримав за чверть такі оцінки з математики: 9, 10, 8, 11, 9, 7.

Обчисліть середнє значення (середнє арифметичне) його оцінок.

                                                                         А           Б           В           Г           Д

                                                                         9          54         8,5        9,5          8

№4. (2б.) Спортсмен на тренуваннях пробігав таку кількість кілометрів за день: 5, 8, 4, 7, 6, 9, 5. Знайдіть медіану цієї вибірки.

                                                                         А           Б           В           Г           Д

                                                                         7           5           6          6,5        5,5

№5. (4б.) Для комп'ютерного класу закупили 15 одиниць техніки: 10 моніторів за ціною 4500 грн кожний та 5 системних блоків. Середня ціна однієї одиниці техніки в усій закупці становить 8500 грн. Знайдіть вартість одного системного блока.

                    Тест. «Елементи математичної статистики». Варіант 2.                         

 №1. (2б.) Сім'я фіксувала свої витрати на продукти (у гривнях) протягом 5 днів: 300, 450, 350, 300, 600. Яка мода витрат цієї родини? 

                                                                         А           Б           В           Г           Д

                                                                      600       300       400       350       450

№2. (2б.) Сім'я під час автомобільної подорожі заправляла машину на різних станціях за такою ціною за літр пального (у гривнях): 52, 55, 51, 56, 51. Знайдіть розмах цін на пальне.

А	Б	В	Г	Д
11	10	12	9	8

 №4.(2б.)Учень 11 класу Андрій під час підготовки до НМТ розв'язав за 4 дні таку кількість задач з геометрії: 7, 9, 6, 10. Обчисліть середнє значення цієї вибірки.

№5.(4б.) Школа придбала 30 м'ячів для уроків фізкультури. З них — 20 волейбольних м'ячів по 600 грн кожний та 10 баскетбольних. Середня вартість одного м'яча з цієї покупки складає 700 грн. Яка ціна одного баскетбольного м'яча?

 

5.   Підсумок уроку. «Гаряче обговорення» (Самоперевірка).

 

Проведемо швидкий аналіз за «гарячими слідами». Виведіть на екран правильні відповіді та запитайте: «Яке завдання викликало найбільший розмах емоцій?» або «На якому питанні більшість із вас спіткнулася?».

Обговорюємо лише одне або два найважчих завдання. Це заспокоїть учнів, які сумнівалися, і дасть миттєвий зворотний зв'язок.

 

6.   Домашнє завдання.

 

Скласти та розв’язати три легкі сюжетні задачі:

Першу — на комбінаторику (наприклад, про вибір страв у їдальні або формування команди).

Другу — на класичну ймовірність (про кульки в коробці, картки або гральні кубики).

Третю — на статистику (на основі будь-якого життєвого міні-сюжету).

 

 

Урок 10. Тема: Узагальнення і систематизація знань, умінь і навичок учнів з теми «Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики»

Мета уроку: узагальнити та систематизувати знання учнів про основні поняття комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики; закріпити вміння застосовувати правила суми і добутку, формули перестановок, розміщень і комбінацій під час розв’язування задач; удосконалити навички обчислення ймовірностей випадкових подій; повторити способи знаходження статистичних характеристик вибірки (середнього арифметичного, медіани, моди, розмаху) та інтерпретації отриманих результатів; розвивати логічне, комбінаторне та ймовірнісне мислення; формувати вміння аналізувати дані, робити висновки та обґрунтовувати власні міркування; розвивати навички математичного моделювання реальних ситуацій; виховувати відповідальність, уважність, наполегливість у досягненні результату; формувати культуру математичних обчислень і роботи з даними;

 

ХІД УРОКУ

 

1.     Організаційний етап .

 

2.     Узагальнення і систематизація знань, умінь і навичок учнів з теми

«Елементи комбінаторики»

 

Пригадуємо комбінаторний чек-лист:

Крок 1. Я шукаю сполучники. 

  Крок 2. «Чи важливий порядок елементів у вибірці?»

               «Чи ВСІ наявні елементи ми беремо й розставляємо?»

 №1. У кафе на сніданок пропонують 10 видів сендвічів, 8 різних салатів та 6 видів напоїв. Відвідувач на сніданок в цьому кафе хоче обрати або сендвіч і напій, або салат і напій. Скільки всього є варіантів такого вибору? Розв'язання: За правилами суми і добутку 10·6+8·6=108 варіантів

 

№2. Для безпеки кабінету математики на двері встановили новий кодовий замок. Щоб його відкрити, потрібно послідовно ввести 3 різні цифри з чотирьох можливих: 1, 2, 3 або 4. Скільки всього існує різних варіантів кодів для цього замка?

Розв'язання: Порядок введення цифр має значення. Код «1-2-3» і код «3-2-1» — це два абсолютно різні коди, хоча цифри використані однакові.

𝐴34 = ! = 24  

Відповідь: 24 варіанти.

 

№3. У лаборантській кабінету математики є старий сейф. Щоб його відімкнути, потрібно одночасно затиснути 3 кнопки з чотирьох наявних: 1, 2, 3 або 4. Скільки всього існує різних комбінацій для відкриття цього сейфа?

Розв'язання: Порядок неважливий. Нам просто потрібно обрати групу з 3 кнопок. 

 С³₄ = _! = 4 

Відповідь: 4 варіанти.

Ці дві задачі ідеально розбирати на дошці в парі. Головний акцент, який варто зробити для учнів: «Подивіться, умови майже однакові, цифри ті самі. Але в першій задачі ми крутимо замок по черзі (порядок важливий - розміщення), а в другій — тиснемо разом (порядок байдужий - комбінація). Саме тому варіантів у першій задачі вийшло в 6 разів більше!

 

3. Узагальнення і систематизація знань, умінь і навичок учнів з теми

«Елементи теорії ймовірностей»

 

Пригадуємо класичне означення ймовірності та головний вододіл: один предмет — рахуємо легко, група предметів — дістаємо зброю комбінаторики.

№4. У коробці лежать 12 зелених і 18 синіх куль яка ймовірність того що вибрана навмання куля виявиться: 1) зеленою; 2) синьою; 3) червоною?

Розв'язання: Обираємо ОДИН предмет, тому

1)     𝑚 = 12, 𝑛 = 30, 𝑃(𝐴) = ¹² = 0,4

2)     𝑚 = 18, 𝑛 = 30, 𝑃(𝐴) =  = 0,6

3)     𝑚 = 0, 𝑛 = 30, 𝑃(𝐴) = 0

 

№5. У ящику 8 білих і 6 чорних кульок. Вибираємо навмання три з них. Яка ймовірність того, що дві кульки білі та одна чорна.

Розв'язання: Обираємо ДЕКІЛЬКА об'єктів одразу, тому 𝑛 = 𝐶143 = 314!·11! ! =  = 364  

 𝑚 = 𝐶₆¹ · 𝐶₈² = 6 · 28 = 168

    𝑃(𝐴) =  =   

4. Узагальнення і систематизація знань, умінь і навичок учнів з теми «Елементи математичної статистики»

Пригадуємо основні числові характеристики вибірки: розмах, моду, медіану та середнє значення. 

 

№6. На діаграмі зображено результати контрольної роботи з математики в одинадцятому класі. За даними діаграми визначте: розмах вибірки; моду вибірки; медіану вибірки; середнє значення (середній бал) контрольної роботи.

 

Розв’язання:

Для початку зчитаємо дані: оцінка 4 — 2 учні; оцінка 5 — 1 учень; оцінка 6 — 1 учень; оцінка 7 — 6 учнів; оцінка 8 — 4 учні; оцінка 9 — 3 учні; оцінка 10 — 1 учень; оцінка 11 — 5 учнів; оцінка 12 — 2 учні. Отже, роботу писали 25 учнів.

Розмах вибірки R = 12 - 4 = 8

Мода вибірки Mo = 7

Медіана вибірки - варіанта, яка стоїть рівно посередині впорядкованого ряду

— на 13-му місці. Оскільки 13-й учень потрапляє в групу тих, хто отримав 8, то: Me = 8

Середнє значення вибірки   𝑥̅   

 

№7. Для шкільної бібліотеки закупили 40 нових книг. З них — 30 підручників за ціною 120 грн за кожен та 10 художніх книг. Середня вартість однієї книги в усій закупці становить 150 грн. Яка ціна однієї художньої книги?

Розв’язання:

Знайдіть загальну вартість усієї закупівлі                       40·150=6000 (грн) Вартість підручників                                                          30·120=3600 (грн)

Вартість художніх книг                                                6000-3600=2400 (грн)  Ціна однієї художньої книги                                              2400:10=240 (грн)

 

5.   Підсумок уроку. Бліц-експрес «Шпаргалка у повітрі»

Вчитель ставить три блискавичні запитання. Учні відповідають хором або з місця підняттям рук.

Комбінаторика: «Код на сейфі: 1-2-3 та 3-2-1 — це один варіант чи різні?» 

                             «Отже, це комбінації чи розміщення?» 

Ймовірність: «Ймовірність того, що завтра настане середа, дорівнює...»  Статистика: «Що ми робимо першим кроком, коли чуємо слово "медіана"?»

 

6.   Домашнє завдання. Домашній практикум «Тегування зошита»

 

Вдома відкрийте класну роботу з сьогоднішнього уроку узагальнення. Ваша мета — не розв'язувати нові задачі, а «промаркувати» поля зошита навпроти кожного виконаного завдання. Запишіть туди коротку фразу-підказку (тег), яка пояснює суть задачі або застерігає від пастки.

 

 

Урок 11.   Тема: Контрольна робота з теми «Елементи комбінаторики,                                 теорії ймовірностей і математичної статистики»

Мета уроку: перевірити, оцінити та продіагностувати рівень засвоєння учнями теоретичних знань, сформованості практичних умінь і навичок з теми «Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики»; розвивати самостійність мислення, вміння працювати в умовах обмеженого часу; виховувати академічну доброчесність (самостійність виконання завдань, чесність), відповідальність за результати власної навчальної праці.

 

ХІД УРОКУ

 

1. Психологічне налаштування. Організаційний інструктаж .

 

Протягом останніх уроків ми з вами виконали величезну роботу: розібралися з підступними формулами комбінаторики, навчилися прораховувати шанси подій у теорії ймовірностей та аналізувати статистичні дані. Ви чудово попрацювали вдома, створюючи "хештеги успіху" на полях своїх зошитів. Тому сьогоднішня контрольна робота — це не пастка, це просто дзеркало вашої праці. Ви все це вмієте, ми все це розбирали. 

Тепер щодо організаційних моментів. Робота розрахована на весь урок. Зверніть увагу на комбінаторику: перш ніж писати формулу, запитайте себе: "Чи важливий порядок?" У задачах на ймовірність: обов'язково перевірте, щоб ваш дріб не вийшов більшим за одиницю. У статистиці: не поспішайте шукати медіану в хаотичному рядку — першим кроком обов'язково впорядкуйте числа.

Якщо ви застрягли на якомусь складному питанні — не втрачайте час. Про- пустіть його, рухайтеся далі, а в кінці уроку, якщо залишиться час, повернетеся до нього. Пам'ятайте про академічну доброчесність: я хочу бачити саме ваші думки та ваші результати, адже це важливий етап підготовки до НМТ.

Бажаю кожному з вас продемонструвати свій найкращий результат. Час пішов, успіхів вам! Працюємо.

 

2. Контрольна робота.

 

Контрольна робота з теми «Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики».

Варіант 1.

№1.(1б.) Студентка на першому курсі має вибрати один з чотирьох семінарів, який відвідуватиме та одну з шести спортивних секцій, у якій займатиметься.

Скільки всього існує варіантів вибору студенткою семінару та секції?

                                                                         А           Б           В           Г           Д

                                                                        24         10         12         18         30

№2.(1б.) Сейфовий замок має десять кнопок, на кожній з яких написано одну букву, причому всі букви різні. Для відкриття сейфу потрібно натиснути п'ять різних кнопок у певній послідовності. Скільки існує різних кодів для цього замка, які складаються із п'яти букв?

                                                                         А           Б           В           Г           Д

                                                                     1008      30240 15120       252       504

№3.(1б.) У фінал музичного конкурсу вийшли 5 скрипалів і 3 альтисти. Послідовність виступу визначають жеребкуванням, причому журі спочатку прослуховує всіх скрипалів, а потім - усіх альтистів. Скільки всього є варіантів послідовностей виступів фіналістів, якщо кожен із них гратиме у фіналі лише один раз?

                                                                         А           Б           В           Г           Д

                                                                      5+3       3!∙5!       5∙3       3!+5!       5!

№4.(1б.) У шухляді лежать 48 карток які пронумеровані числами від 1 до 48.

Яка ймовірність того, що номер навмання взятої картки буде кратним числу 6?

                                                                         А           Б           В           Г           Д

                                                                       1/3        1/8        1/6        1/4       1/12

№5.(1б.) У таблиці відображено інформацію щодо кількості телевізорів, проданих інтернет-магазином протягом шести перших місяців року. 

                                            Місяць        січень     лютий        березень квітень травень червень

Кількість

проданих 48      60      81      72      93      48 телевізорів

Укажіть медіану даної вибірки.

                                                                         А           Б           В           Г           Д

                                                                        68         48         91         66         81

№6.(1б.) Учнів 11 класу опитали: яку спортивну секцію вони відвідують. Було отримано такі дані:

Назва  секції	футбол	баскетбол	волейбол	легка атлетика	важка атлетика
Кількість учнів	12	14	12	10	4

Укажіть моду отриманих даних.

А	Б	В	Г	Д
12	14	важка атлетика	баскетбол	футбол

№7.(1б.) У таблиці відображено інформацію щодо кількості телевізорів, проданих інтернет-магазином протягом шести перших місяців року. 

№8.(3б.) З семи чоловіків та чотирьох жінок треба вибрати 6 делегатів так, щоб серед них було не більше, ніж 2 жінки. Скількома способами це можна зробити?

№9.(2б.) Серед учнів і учениць 11 класу провели опитування: скільки часу вони витрачають на виконання домашнього завдання з математики. Результати опитування подано у вигляді діаграми, зображеної на рисунку. Знайдіть середнє значення даної вибірки.

 

Контрольна робота з теми «Елементи комбінаторики,  теорії ймовірностей і математичної статистики».   

Варіант 2.

№1.(1б.) Студент на першому курсі повинен вибрати одну з трьох іноземних мов, яку вивчатиме, та один з п’яти гуртків, який відвідуватиме. Скільки існує варіантів вибору студентом іноземної мови і гуртка?

№2.(1б.) Кнопковий кодовий замок для вхідних дверей має 9 кнопок, пронумерованих цифрами 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9. Для відкриття дверей потрібно натиснути 4 різні кнопки в певній послідовності. Скільки існує різних кодів для цього замка які складаються із чотирьох цифр?

                                                                         А           Б           В           Г           Д

                                                                      256      2034     15120     3024      126

№3.(1б.) Для перевезення школярів формують колону, яка складається з шести автобусів і двох автомобілів супроводу: одного на чолі колони, а другого - позаду неї. Скільки всього існує різних способів розташування автобусів і супровідних автомобілів у цій колоні?

                                                                         А           Б           В           Г           Д

                                                                      2+6       2∙6!      2!+6!       2∙6         8!

№4.(1б.) У шухляді лежать 40 карток які пронумеровано числами від 1 до 40.

Яка ймовірність того, що номер навмання взятої картки буде кратним числу 8?

                                                                         А           Б           В           Г           Д

                                                                       0,1      0,0625      0,2        0,25     0,125

№5.(1б.) У таблиці відображено інформацію щодо кількості відвідувачів кінотеатру протягом семи днів тижня

                           День тижня         Пн           Вт             Ср             Чт            Пт            Сб            Нд 

Кількість          ³⁷² _{відвідувачів}      324    340    340    370    365    395

Укажіть медіану даної вибірки.

                                                                         А           Б           В           Г           Д

                                                                      365       340       350       358       370

№6.(1б.) Учнів 11 класу опитали, який предметний гурток вони відвідують. Було отримано такі дані:

Назва  гуртка	фізичний	хімічний	математичний	історичний	географічний
Кількість учнів	10	8	16	14	10

Укажіть моду отриманих даних.

А	Б	В	Г	Д
математичний	16	хімічний	історичний	10

№7.(1б.) У таблиці відображено інформацію щодо кількості відвідувачів кінотеатру протягом семи днів тижня

День тижня	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Нд
Кількість відвідувачів	324	340	340	370	365	395	372

Укажіть медіану даної вибірки.

А	Б	В	Г	Д
358	340	48	71	64

 

№8.(3б.) З 8 чоловіків та 4 жінок потрібно вибрати команду по біатлону з 4 спортсменів. Скількома способами це можна зробити, щоб серед них були не більше, ніж 2 жінки?

№9.(2б.) Серед учнів і учениць 11 класу провели опитування: скільки часу вони проводять щодня за комп'ютером. Результати опитування подано у вигляді діаграми, зображеної на рисунку. Знайдіть середнє значення даної вибірки.

 

3. Підсумок уроку. 

Ви великі молодці, витримали цей інтенсивний темп. Я бачив, як зосереджено кожен із вас працював. Навіть якщо зараз вам здається, що десь припустилися помилки чи щось не встигли — не сваріть себе. Це досвід, і ми обов'язково розберемо всі складні моменти на уроці аналізу контрольної роботи.

А тепер давайте зробимо маленьку "статистичну оцінку" нашого випробування. Підніміть, будь ласка, руку ті:

...для кого найскладнішим блоком виявилася комбінаторика та вибір формул? 

...хто заплутався на підрахунках у ймовірності?

...і хто відчув полегшення, коли дійшов до завдань зі статистики?

Дякую за ваш зворотний зв'язок! Тепер я точно знаю, на що звернути увагу під час перевірки ваших зошитів».

 

6. Домашнє завдання.

Оскільки ви сьогодні виклалися на всі 100%, ваше домашнє завдання на наступний урок — відпочити від математики і перезавантажити мозок. Оцінки та детальний розбір завдань будуть на нашому наступному занятті.  

 

 

Урок 12.   Тема: Аналіз контрольної роботи з теми «Елементи комбінаторики,  теорії ймовірностей і математичної статистики»

Мета уроку: проаналізувати результати контрольної роботи, виявити рівень засвоєння учнями навчального матеріалу; провести корекцію виявлених помилок і вдосконалити навички розв'язування типових завдань; формувати вміння аналізувати власні помилки та знаходити шляхи їх виправлення; розвивати навички співпраці, аргументованого висловлення думок і роботи в парах; виховувати відповідальність за результати власної навчальної діяльності; формувати культуру спілкування, взаємоповагу та вміння працювати в команді.

 

ХІД УРОКУ

 

1.   Організаційний момент.

 

2.   Мотивація навчальної діяльності.

Вчитель виводить на екран знеособлену гістограму результатів класу з контрольної роботи.

Сьогодні ми аналізуємо не просто контрольну, ми аналізуємо нашу власну статистику. Подивіться на екран: мода нашого класу за цю роботу — 9 балів, медіана — 8, а розмах, на жаль, великий — від 4 до 12 балів. Це означає, що комусь тема далася дуже легко, а комусь потрібна допомога. Сьогодні ми працюємо так, щоб зменшити цей розмах і підтягнути кожного.

 

3.   Робота в парах змінного складу «наставник – учень»

Учні об'єднуються в пари диференційованого типу. Учень із вищим результатом отримує статус «Консультанта», учень, який потребує корекції знань, — статус «Аналітика». Об'єднуємо учнів так, щоб у них не було величезного розриву в балах (наприклад, учня з 11 балами краще посадити з учнем, у якого 7-8 балів, а учня з 9 балами — з тим, у кого 5-6). Якщо посадити «12» і «2», їм буде важко знайти спільну мову, і «сильний» просто розв'яже все сам.

 «Аналітик» локалізує проблемне завдання у своїй контрольній роботі. «Консультант» не надає готового розв'язання, а формулює навідні запитання (наприклад: «Чи має значення порядок елементів у цій сполуці?», «Який перший крок алгоритму пошуку медіани?»). «Аналітик» самостійно реконструює хід розв'язання, фіксує оновлений алгоритм у зошиті та усно захищає свій результат перед партнером.

Пара, яка достроково завершила аудит помилок, переходить до вищого рівня спільної діяльності — розв'язання задачі підвищеної складності (комбіновані завдання у форматі НМТ).

Задача. Молода ІТ-компанія створює команду для розробки нового мобільного додатка. Усього в резерві є 8 розробників та 5 дизайнерів. 

1)              Скількома способами можна сформувати робочу групу, яка складатиметься рівно з 3 розробників та 2 дизайнерів?

2)              На першу зустріч керівник компанії навмання викликає 3 людей із загального списку (усіх 13 фахівців). Яка ймовірність того, що серед викликаних виявиться хоча б один дизайнер?

3)              За перший тиждень роботи учасники вже сформованої команди (з 5 людей) зафіксували таку кількість закритих завдань: 12, 7, 15, 7, x. Знайдіть x, якщо відомо, що середнє значення цієї вибірки збігається з її медіаною та за умови, що 𝑥 ≥ 12.

Розв’язання:

1)              Оскільки порядок вибору людей у команду не має значення (усі розробники між собою рівноправні, як і дизайнери), ми використовуємо комбінації. За правилом добутку:

С38 · С25 = 83··72··61 ·  = 560 (способів)

2)              Тут найпростіше розв'язати через протилежну подію (серед 3 викликаних людей немає жодного дизайнера, тобто викликали тільки розробників).

Загальна кількість способів викликати 3 людей з 13:

                 𝑛 = С₁₃³ =  = 286 

 Кількість способів викликати 3 людей лише серед 8 розробників (0 дизайне-

рів): С38 = 83··72··61 = 56

Кількість способів викликати 3 людей так, щоб серед викликаних виявиться хоча б один дизайнер: 𝑚 = 286 − 56 = 230

Ймовірність події (серед викликаних виявиться хоча б один дизайнер):

𝑃 

3)              Маємо вибірку з 5 чисел: 7, 7, 12, 15 та невідоме x. Середнє арифметичне:

𝑥̅ . За умовою 𝑥̅ = 𝑀𝑒.

Якщо 𝑥 ≥ 12, то впорядкований ряд: 7, 7, 12, 15, x (або 7, 7, 12, x, 15). Тоді 𝑀𝑒 = 12. Маємо рівняння  ^41+𝑥 = 12, звідки 𝑥 = 19.

5

4.   Підсумок уроку.

 

Наприкінці уроку важливо підкреслити успіх роботи в парах:

Підніміть руки пари, де "Аналітику" вдалося розібратися і самостійно виправити бодай дві складні помилки завдяки підказкам свого партнера? Прекрасно! А тепер підніміть руки ті "Консультанти", які відчули, що самі краще зрозуміли логіку комбінаторики, поки пояснювали її сусіду?

Оцінювання за урок можна зробити диференційованим: «Аналітик» отримує шанс підвищити свій бал за контрольну (або отримати хорошу оцінку в журнал за роботу на уроці), а «Консультант» отримує додатковий бонус за наставництво.

 

5.   Домашнє завдання. Інтерактивне завдання «Мій НМТ-тренажер»

 

Зайти на будь-який відкритий ресурс із тестами ЗНО/НМТ минулих років (наприклад, «ЗНО-ОНЛАЙН» від Освіта.ua) у розділ «Теми з алгебри та початків аналізу», блок «Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей та математичної статистики». Виконати 5 будь-яких тестових завдань із цього блоку.

Звітність: Скріншот екрана з виконаними завданнями або виписані у зошит номери задач та короткі схеми їх розв'язання.