Математика у медицині

Львівська міська рада

Департамент освіти та культури ЛМР

Управління освітньої інфраструктури

Міський учнівський конкурс-захист

науково-дослідницьких робіт

з математики та інформатики

МАТЕМАТИКА У МЕДИЦИНІ

Науково-дослідницька робота

з математики

учнів 7 класу

Навчально-виховного комплексу

«Інженерно-економічна школа — Львівський економічний ліцей»

Шкробут Маркіян ,

Якимів Марко, Тузяк Магдалена , Ференс Вероніка

Керівник:

вчитель математики

Петрів Наталія Володимирівна

Львів – 2026

ЗМІСТ

Вступ 3

Розділ 1. Математичне моделювання біологічних процесів 4

Розділ 2. Застосування статистики у медицині 5

Розділ 3. Визначення площі опікової поверхні 7

Розділ 4. Визначення об'єму крoвoвтрати 9

Висновок 11

Список використаних джерел 12

Тези 13

ВСТУП

Математика є невід'ємним інструментом медицини: коли лікар виписує рецепт, медсестра готує крапельницю або лаборант аналізує результати — усі вони виконують математичні розрахунки. Помилки в цих розрахунках можуть коштувати пацієнту здоров'я, тому точність є критично важливою.

Мета роботи — дослідити й систематизувати застосування математики в медицині, проілюструвати конкретними формулами та власними обчисленнями.

Об'єкт дослідження — математичні методи в медицині; предмет — конкретні формули, статистичні підходи та принципи медичної техніки.

Завдання дослідження:

1. розглянути математичні формули для обчислення основних показників здоров'я;

1. вивчити математичні основи фармакології — розрахунки доз і концентрацій;

2. з'ясувати роль статистики та ймовірностей у медичних дослідженнях;

3. дослідити математичні принципи роботи медичної техніки.

Методи: аналіз наукової літератури, збір числових даних, власні обчислення, порівняння та узагальнення. Практичне значення роботи — матеріали можна використовувати на уроках математики для ілюстрації прикладного значення відсотків, пропорцій і середніх значень.

РОЗДІЛ 1

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ БІОЛОГІЧНИХ ПРОЦЕСІВ

Математичне моделювання — один із найважливіших методів дослідження у медицині, що дозволяє прогнозувати перебіг різних біологічних процесів. Воно охоплює як прості формули, так і складні математичні моделі.

Найпростіший приклад — Індекс маси тіла (ІМТ), що відображає відповідність маси людини до її зросту. ІМТ визначається за формулою:

де m — маса тіла в кілограмах, h — зріст у метрах.

Складнішим прикладом є модель «еластичного резервуару» для кровоносної системи (запропонована у XIX ст.). Аорта та великі судини виступають резервуаром: під час систоли (скорочення) судина розтягується, під час діастоли (розслаблення) — виштовхує кров до периферії. Тиск в аорті під час діастоли описується рівнянням:

T·dP/dt + P = 0

де T — постійна часу (залежить від пружності аорти та опору судинної системи), P — тиск в аорті. Об'єм резервуару: V = V₀ + C·P. Швидкість відтоку:

Q = –dV/dt = –C·dP/dt

Оскільки відтік відбувається через периферичний опір R: Q = P/R, крива тиску є експонентою:

P = P(0) · e⁻ᵗ/ᵀ

Еластичний резервуар та крива швидкості відтоку крові через периферичний опір

РОЗДІЛ 2

ЗАСТОСУВАННЯ СТАТИСТИКИ У МЕДИЦИНІ

Статистика є ключовим інструментом медичних наук: вона дозволяє порівнювати ефективність методів лікування, визначати причинно-наслідкові зв'язки (наприклад, між палінням і раком легень) та оцінювати фактори ризику. У дослідженнях учені працюють із вибірками — підмножинами загальної популяції, — а отримані з них оцінки описують записом M ± s (вибіркове середнє ± стандартне відхилення).

Нормальний розподіл описується двома параметрами — середнім і стандартним відхиленням — і є основою більшості медичних досліджень. Приблизно 68% значень знаходяться у межах одного стандартного відхилення від середнього, а 95% — у межах двох.

При асиметричному розподілі даних використовують медіану (50-й процентиль) та інтерквартильний розмах — різницю між 75-м і 25-м процентилями, що охоплює центральні 50% даних.

Основні статистичні показники у медицині:

• вибіркове середнє — оцінює середнє значення показника у вибірці;

• вибіркове стандартне відхилення — показує, наскільки значення відрізняються від середнього;

• інтерквартильний розмах — характеризує розсіювання центральних 50% даних.

РОЗДІЛ 3

ВИЗНАЧЕННЯ ПЛОЩІ ОПІКОВОЇ ПОВЕРХНІ

Площа опіків виражається у відсотках від загальної площі шкіри (ЗППТ), яка становить 16 000–21 000 см². Перевищення 10% ЗППТ свідчить про ризик шоку. Основні методи оцінки: правило долоні та правило дев'яток.

Правило долоні

Площа шкіри, що вкриває долоню (без пальців), складає приблизно 1% ЗППТ. Прикладаючи долоню над опіком (не торкаючись рани), можна швидко оцінити площу ураження. Метод ефективний для малих опіків (1–5%) і зручний при виклику швидкої допомоги.

Правило дев'яток

Площа шкірного покриву різних частин тіла кратна 9%. Розподіл:

• 9% — голова і шия (по 4,5% на передню і задню проєкції);

• 2 × 9% — руки (по 4,5% передня і задня);

• 18% — груди/спина вище діафрагми (по 9%);

• 18% — живіт/поперек і сідниці нижче діафрагми (по 9%);

• 2 × 18% — ноги (по 9% передня і задня).

Для уточнення площі частково ураженої ділянки тіла можна комбінувати обидва методи: від «дев'ятки» відняти незачеплені «долоні».

РОЗДІЛ 4

ВИЗНАЧЕННЯ ОБ'ЄМУ КРOВOВТРАТИ

Крoвoвтрата — це об'єм крові, що вийшов за межі судинного русла внаслідок порушення цілісності судини або згортальної здатності крові. Визначення її об'єму ускладнюється відсутністю єдиного швидкого методу, тому лікарі поєднують клінічні ознаки з лабораторними даними.

Методи визначення поділяють на прямі (колориметричні, вагові, об'ємні) та непрямі (клінічні, розрахункові). Перші застосовуються переважно в інтраопераційному періоді.

Колориметричний метод

Заснований на визначенні концентрації компонентів крові в операційному матеріалі. Дає змогу вимірювати об'єм крoвoвтрати в реальному часі з високим ступенем кореляції.

Клінічний метод — шоковий індекс Альговера і Бурі (1967)

Шоковий індекс = ЧСС / АТₛᴬˢᵗ (відношення частоти серцевих скорочень до систолічного артеріального тиску). Нормальне значення ≈ 0,5; при > 1 — важкий шок.

Гематокритний метод Мура (1956)

Величина крoвoвтрати (КВ) визначається за формулою:

КВ = ОЦКН × (ГТН – ГТФ) / ГТН

де ОЦКН — належний об'єм циркулюючої крові; ГТН — належна величина гематокриту (чол. — 45, жін. — 42); ГТФ — фактичний гематокрит після зупинки кровотечі.

Модифікована формула Мура (Бєлоусов, 2017):

Vкр(мл) = ОЦКф × (Hbвих – Hbп/о) / Hbвих

де ОЦКф — фактичний ОЦК; Hbвих — вихідний гемоглобін; Hbп/о — гемоглобін після операції.

Формула Нельсона

Заснована на показнику гематокриту, достовірна в 96% випадків, але інформативна лише через 24 години:

0,036 × вихідний об'єм крові / маса тіла × гематокрит

Вихідний об'єм крові (мл/кг) = 24 / 0,86 × вихідний гематокрит × 100

ВИСНОВок

Пітвреджено, що математика є невід'ємним інструментом медичної науки та практики. На підставі аналізу літератури й власних обчислень зроблено такі висновки.

По-перше, основні показники здоров'я (ІМТ) та складніші моделі (еластичний резервуар аорти) розраховуються за формулами з арифметики, дробів, пропорцій і функцій рівня 5–9 та 9-11 класу. Кожен школяр уже здатний частково оцінити стан власного здоров'я, маючи лише шкільні знання математики.

По-друге, статистичні методи (нормальний розподіл, середнє, стандартне відхилення, медіана, квантилі) є основою доказової медицини: без них неможливе жодне клінічне дослідження. Вони визначають, чи є результати лікування достовірними, а не випадковими.

По-третє, практичні розрахунки площі опіків (правило долоні, правило дев'яток) і об'єму крoвoвтрати (формула Мура, формула Нельсона) базуються на простих пропорціях і відсотках, що вивчаються у 5–7 класі, — і при цьому допомагають лікарям рятувати людей у критичних ситуаціях.

Загальний висновок: математичних знань рівня 5–9 та 9-11 класу достатньо для розуміння більшості щоденних медичних розрахунків. Математика в медицині — інструмент, що може врятувати здоров'я і навіть життя.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Еволюція методів оцінки крововтрати

Ярошенко Р. А., Панасенко С. І., Чорна І. О., Лігоненко О. В.

2. Вебсайт “wikipedia.org”

3. Застосування математичної статистики в медичних і медико-біологічних наукових дослідженнях

Філатова Г. Є., Толстанов О. К.

4. «Математичне моделювання в біології та медицині» для здобувачів вищої освіти за спеціальністю 163 – біомедична інженерія

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

ТЕЗИ

Математика у медицині: від аптечних розрахунків до медичної техніки

1. Математичне моделювання (ІМТ, модель еластичного резервуару аорти) дозволяє оцінювати стан здоров'я та прогнозувати біологічні процеси за допомогою формул шкільного курсу математики — пропорцій, степенів, показникових функцій.

2. Статистичні методи — нормальний розподіл, медіана, квантилі, стандартне відхилення — є основою доказової медицини: без них неможливе жодне клінічне дослідження та оцінка ефективності лікування.

3. Визначення площі опіків за правилом долоні та правилом дев'яток ґрунтується на простих відсотках і пропорціях, дозволяючи швидко оцінити тяжкість ураження навіть без медичного обладнання.

4. Розрахунок об'єму крoвoвтрати за формулами Мура та Нельсона надає лікарям числовий орієнтир для прийняття рішень у критичних ситуаціях, а шоковий індекс Альговера — простий та надійний клінічний інструмент невідкладної медицини.

Ключові слова: математика, медицина, ІМТ, еластичний резервуар, статистика, опікова поверхня, крoвoвтрата.