Матеріал для факультативу: "Принцип Діріхле"

Принцип Діріхле. 

Вибір теми було зумовлено особливостями при вирішенні багатьох задач за допомогою логічного методу  міркування - "від противного". Цей принцип стверджує, що якщо множину з N елементів розбито на непересічних частин, які не мають спільних елементів, де N > n то, принаймні, в одній частині буде більше одного елемента. Принцип названий на честь німецького математика Діріхле (1805-1859),  який успішно застосовував його до доказу арифметичних тверджень.

                             У роботі наводяться найпопулярніші формулювання          «принципу

Діріхле»:

–        про «клітини» та «зайців»;

–        про відображення множини Р, яка складається з n + s елементів на множину

Q з n елементів;

–        узагальнений принцип, знайомить з найбільш відомими теоремами та їх доведенням за допомогою Діріхле;

–        про запис звичайного дробу , де РЄN, QЄN, p<q у вигляді десяткового

дробу (конечного чи безкінечного періодичного);

–        про значення будь-якого многочлена з цілими коефіцієнтами у вигляді складного числа при деякому натуральному значенні аргументи;

–        мала теорема Ферма;

–        Китайська теорема   залишків, вводить поняття безперервного принципу Діріхле (для задач, в яких величина може приймати будь яке значення з деякого проміжку), а також задачі, в який показаний механізм застосування принципу Діріхле (різноманітні за типами, з різних областей знань: теорія чисел (подільність чисел), геометрія (довжина та площі), комбінаційні, цікаві за змістом).

Актуальність  роботи зумовлена тим, що ця тема не вивчається в шкільній програмі, однак з її допомогою вирішується багато цікавих олімпіадних завдань.

Мета дослідження - ввести основне поняття принципу Діріхле і показати можливість використання цієї теми для вирішення різних завдань підвищеної складності.

Досягнення мети передбачає вирішення таких завдань:

1)  введення теоретичних основ принципу Діріхле;

2)  відбір завдань, які можна вирішити за допомогою даного принципу.

Цим принципом у наявному вигляді користувався, наприклад, Ферма в XVII столітті, але широко застосовуватися в доказах він став лише з минулого століття. Незважаючи на свою простоту, це міркування виявилося надзвичайно плідним.

Принцип Діріхле застосовується, зокрема, в теорії діофантових

наближень при аналізі систем лінійних нерівностей.

Підсумком даної роботи є узагальнення теорії принципу Діріхле й пояснення типових задач і деяких теорем зв’язаних з цим принципом, створення задачника. 

Практичні завдання переконливо допомагають оволодіти принципом Діріхле, розвивають гнучкість математичного мислення, логічне міркування,  визивають інтерес до процесу розв’язування задач за допомогою принципу Діріхле.

Робота може бути використана на заняттях математичного гуртка чи факультативу, при підготовці до олімпіади, на уроках математики.

                                             Список використаних джерел

1.                                                                                           Андрєєв О.А., Горєлов Г.Н., Люлев А.І., Савін О.І. "Принцип Діріхле", Самара "Піфагор", 1997 р. Бабінська  І. Л. Завдання математичних олімпіад. М.: Наука, 1975.

2.                                                                                           Болтянський  В. Г. Шість зайців у п'яти клітках. / / Ж-л «КВАНТ», 1977

3.                                                                                           Конет І. М., Паньков В. Г., Радченко В. М., Теплинський Ю. В. «Обласні математичні олімпіади», 2000

4.                                                                                           Леман  А. А. Збірник завдань московських математичних олімпіад. Під ред.

В.Г. Болтянською, 1965

5.                                                                                           Муштарі  Д. X. Підготовка до математичних олімпіад: завдання, теми, методи. Казанський ун-т, 1990.

6.                                                                                           Прасолов  В. В. Завдання з планіметрії. Ч. 2. М.: Наука, 1991.

7.                                                                                           Савін А.П. «Енциклопедичний словар юного математика», 1989

8.                                                                                           Фоміних Ю. Ф. Принцип Діріхле. / / Ж-л «Математика в школі», 1996

9.                                                                                           Ясінський В.А. «Задачі математичних олімпіад та

методи їх розв’язування», 2005

10.                                                                                      Матеріали INTERNET- сайтів

Стаття:  Принцип_Дирихле_(комбинаторика) http://ru.wikipedia.org