Матеріал до уроку.

Показникові нерівності зі змінною основою

Узагальнений метод інтервалів має перевагу перед традиційним методом розв’язування показникових нерівностей зі змінною основою. Але визначити знаки даних функцій на проміжках не завжди легко. Тому під час розв’язування означених нерівностей використаємо метод рівнозначних замін.

Твердження 1. Вирази та мають однакові знаки на їхній загальній області визначення.

Доведення. Нехай , тобто . Якщо , то і

. Якщо , то і . Аналогічно розглядається випадок, коли .

Алгоритм розв’язування показникової нерівності методом рівнозначних замін
⁾:

1.               Знаходимо ОДЗ нерівності.
2.               Переходимо до нерівності .

Отримали раціональну нерівність, яку розв’язуємо методом інтервалів

Відомо, що розв’язування нерівності виду на множині, де і мають зміст, зводиться до розгляду сукупності трьох таких систем:

1)          2)        3)

Такі нерівності розв’язуються лише за умови, коли . Знайдемо розв’язки нерівності при . Область визначення виразу при доцільно знаходити, виходячи з означення степеня.

Означення 1. Степенем числа з натуральним показником 1, називається добуток множників, кожний з яких дорівнює

Означення 2. , де , , . Із цього означення випливає, що коли і , то основа степеня не повинна дорівнювати нулю, оскільки степінь для позбавлений змісту.

Означення 3. , якщо і – довільне дробове число, подане у вигляді , де

Означення 4. , якщо і – дробове додатне.

Отже, якщо основа степеня – число від’ємне, то показником степеня може бути лише ціле число; якщо основа степеня дорівнює нулю, то показник степеня може бути натуральним або додатним дробовим числом, тобто додатним раціональним числом.

Розв’язування нерівності виду на множині, де і мають зміст у випадку зведеться до розгляду сукупності таких чотирьох систем:

1)    2)    3)    4)

Приклад . Розв’язати нерівність

Розв’язання. Розглянемо дану нерівність на множині R. маємо, що

Отже,

Якщо , задовольняє  нерівність.

Відповідь.

Приклад . Розв’язати нерівність .

Розв’язання. Розглянемо сукупність усіх семи систем, щоб показати, до чого може привести об’єднання деяких систем:

Отже,

2.                                           Отже,

4.                

Знайдемо ті значення , при яких і які належать проміжку . Нехай , де , тоді . Підставимо це значення у першу нерівність системи, дістанемо:, , , ,. При значення.

Відповідь. .