Матеріал до уроку "Задача на побудову рівнобедреного прямокутного трикутника"

Сахненко А.І., учитель математики

Білоцерківської ЗОШ І-ІІІ ступенів №3 ім. Т.Г. Шевченка

Білоцерківської міської ради

Київської області

Пропоную свою задачу, яку можна розв’язувати з учнями при підготовці їх до олімпіад, а також розв’язувати на факультативних заняттях.

Задача. Маємо дві прямі, які перетинаються і точку, яка не лежить на них. Побудувати рівнобедрений прямокутний трикутник (рівносторонній трикутник) з вершиною в цій точці, якщо дві інші його вершини лежать на даних прямих.

Розв’язання. Нехай маємо прямі a і b, які перетинаються в точці O і точку M, яка належить (наприклад) гострому куту (див. Рис.1)

Виконаємо поворот прямої a на кут 90^° проти годинникової стрілки. Для цього на прямій a візьмемо дві довільні точки А і В. При цьому повороті вони перейдуть у відповідні точки А₁ і В₁. Пряма А₁В₁ (пряма a₁) перетне пряму b у точці F. При повороті точки F на кут 90^° за стрілкою годинника вона перейде у точку E, яка буде належати прямій a. – рівнобедрений і прямокутний.

Якщо пряму а повертати на кут 90^° за стрілкою годинника, то вона перейде в пряму А₂В₂ (пряму а₂), яка перетне пряму b у точці Р. Виконавши поворот точки Р на кут 90^° проти годинникової стрілки ми одержимо точку К, яка буде лежати на прямій a. – прямокутний і рівнобедрений.

Задача має два розв’язки.

Якщо точка M належить тупому , то виконавши аналогічні побудови одержимо два рівнобедрених трикутники (див. Рис.2)

Якщо точка M буде лежати на бісектрисі цих кутів, то трикутники будуть розміщуватись так, як показано на рис.3 та рис.4. Тут поворот можна і не використовувати. Досить побудувати . І в цих випадках задача буде мати два розв’язки.

Якщо і точка M лежить на бісектрисі кута, то задача має один розв’язок (див. Рис.5). Якщо точка M не лежить на бісектрисі, то побудову треба виконувати точно так само, як описано на початку.

Виконайте самостійно таку побудову і ви побачите несподівані результати при певних положенням точки M.

Якщо трикутник рівносторонній, то повороти треба виконувати на + 60^°  і  - 60^°.