Матеріали до теми "Системи лінійних рівнянь"

№

Умова

Вигляд рівняння

Розв'язки

Графічне зображення

a=0,b=0,c=0

y = - ax / b – c / b

Пряма

a=0,b=0

x = - c / a

Пряма паралельна осі ординат, що перетинає вісь

абсцис у точці x = -c / a

a=0

y = - c / b

Пряма паралельна осі абсцис, що перетинає вісь

ординат у точці

y = - c / b

a=0,b=0,c=0

0 = 0

Будь-яка                точка

координатної площини

a=0,b=0,c=0

c = 0

Немає            жодного розв'язку.

Типи систем 

Приклади

1. жодної точки жодної точки

0х + 0у = 1

0х + 0у = 2

Система не має розв'язків 

2.       

вся площина

жодної точки

0х + 0у = 0

0х + 0у = -1

Система не має розв'язків 

3. вся площина вся площина

0х + 0у = 0

0х + 0у = 0

Будь-яка пара чисел

4. жодної точки

пряма

0х + 0у = 6

2х + 3у = 5

Система не має розв'язків 

5. вся площина

пряма

0х + 0у = 0

2х + 7у = 5

Координати будь-якої точки прямої

6.

дві прямі,

що перетинаються

х + у = 0

х + 3у = 4

Єдиний розв'язок – координати точки перетину прямих 

7. дві паралельні прямі

х + у = 0 х + у = 1

Система не має розв'язків 

8. дві прямі,

які співпадають

х + у = 0

2х + 2у = 0

Координати будь-якої точки прямої

Варіант 1

Варіант 2

1⁰. Знайти п'ять будь-яких розв'язків рівняння і позначити на координатній площині

відповідні їм точки (2 бали)

х + 2у = 7

х – 2у = 1

2⁰. Які з пар чисел є розв'язком рівняння (2 бали)

5у – 2х = 26

(5; 2), (-3; 4), (8; 0)

7х – 3у = 15

(3; 2), (-3; 2), (0; -5)

3⁰. Побудуйте графік функції (2 бали)

2х – у = 6

4х – у =8

4 .Чи мають розв'язки рівняння (2 бали)

а) х² + (-у)² = - 9

б) х² + у² = 0

в) (3 – х)² + (1 - у)² = -1

а) у² + (-х)² = - 4

б) х² + у² = 8

в) (1 –  х)² + (у - 2)² = -3

5. При якому значенні а графік рівняння проходить через початок координат?   (2 бали)

3х – 7у = а

6х + 7у = а + 4

6. Знайти абсцису точки К, якщо: (2 бали)

графік рівняння 2у – 3х = 7 проходить через точку К, ордината якої дорівнює 5

графік рівняння 5х – 2у = -11 проходить через точку К, ордината якої дорівнює 3

Варіант 1

Варіант 2

1. Чи є пара чисел розв'язком системи рівнянь

(1; 1)            2х + 3у = 5 ху = 1

(1; 3)                х + у = 4

2ху = 6

2. Знайдіть розв'язок системи рівнянь графічним способом

5х – у = -3

3х – у = -5

2х – у = -1

-2х – у = -7

3. Скільки розв'язків має система рівнянь?

2х – у = 1

-6х + 3у = 2

-5х + 2у = 7

15х – 6у = -21

4. Дано перше рівняння системи. Знайдіть друге рівняння системи так, щоб вона мала єдиний розв'язок

х – у = 2

2х + у =4

5. Складіть яку-небудь систему рівнянь з двома змінними розв'язками, якої є пара значень змінних:

х = 5; у = 2

х =4; у = 3

Варіант 1

Варіант 2

ОСНОВНИЙ РІВЕНЬ

1. Розв'язати способом додавання систему рівнянь:

а)       х + у = 5                    б)     3х – у = 5

 х – у = 7 2х + 7у = 11

а)     а + б = 2                     б)     2х + у = 5

а – б = 6 3х – 5у = 1

2. З'ясувати, чи має розв'язок система)

3х + 7у = 17

-6х – 14у = 32

4х – у = 7

-8х – 2у = -14

3. Розв'язати систему рівнянь

10у – 2х =10 3х + 2у = 4

56 – (4х – 2у) = 2(2х + 5у) 5(х – у) – 2(2х – у) = - 8

ПІДВИЩЕНИЙ РІВЕНЬ

1. Розв'язати способом додавання систему рівнянь:

3х + 2у = 8

2х – у = -7

х – 2у =1

3х – 6у = 4

2. Розв'язати систему рівнянь із змінними, якщо одним із розв'язків першого рівняння є перша пара, а другого – друга пара чисел

(16; 2), (5; -1)                ах – 6у = 26

 2х + 6у = 5

(8; 1), (5; -1)                 ах – 3у = 13

2х + 6у = 5

3. Розв'язати систему

(х – у + 1) : 2 + (х + у – 1) : 5 = 7

(х – у + 1) : 3 – (х + у – 1) : 4 = -3

(2х – у) : 3 – (х – 2у) : 2 = 3/2

(2х + у) : 2 – (х + 2у) : 3 = 1/3

Варіант 1

Варіант 2

1. Розв'яжіть систему рівнянь:                                                           

а) способом підстановки                    (2 бали)

х + у = 5 3х + у = 7

б) способом додавання                       (2 бали)

2х + 3у = 7

7х – 3у = 11

а) способом підстановки                    (2 бали)

х - у = 3 2х - у = 8

б) способом додавання                       (2 бали)

4х + 5у = 2

3х – 5у = 19

2. 

За 5 кг апельсинів і 4 кг лимонів заплатили 22 грн., а за 6 кг апельсинів та 2 кг лимонів – 18 грн.

Скільки коштує один кілограм апельсинів? Скільки коштує один кілограм лимонів?

(2 бали)

2. 

За 4 зошити і 3 авторучки заплатили 13 грн., а 8 зошитів і 5 авторучок заплатили 23 грн.

Скільки коштує один зошит?

Скільки коштує одна авторучка?

(2 бали)

3. Розв'язати систему рівнянь: (2 бали)

(3х – 1) : 10 – (4у + 1) : 5 = -3

(2х + 1) : 3 – (3у – 2) : 8 = 3

(5х + 1) : 8 – (у + 16) : 5 = -1

(7х – 1) : 4 – (3у + 13) : 5 = 13

4. 

За 5 годин за течією і 3 години проти течії теплохід пройшов 230 км. Знайти власну швидкість теплохода і швидкість течії, якщо за 2 години за течією і 7 годин проти течії, теплохід проходить 278 км?

(3 бали)

4. 

За 5 годин за течією і 3 години проти течії теплохід пройшов 244 км. Знайти власну швидкість теплохода і швидкість течії, якщо за 2 години за течією і 30 хвилин проти течії, теплохід проходить 78 км?

(3 бали)

5. Розв'язати систему рівнянь з двома змінними:                                                            (1 бал)

3х – у = 7

2х - 3у = 1

4x - y = -4

4у – 10х = 3