Матеріали до уроків "Створення проблемних ситуацій на уроках математики"

Створення проблемних ситуацій на уроках математики

     Як перебороти у свідомості учнів уявлення про «сухість»  математики?      Як зацікавити їх, спрямувати думки на пошук, дискусію? Як організувати самостійну пізнавальну діяльність учнів?

     Вирішити ці питання мені допомагає проблемний підхід до навчання.      Проблемні ситуації створюю, починаючи з 5-го класу. Наприклад, необхідність введення поняття десяткового дробу у 5 класі розглядаю через розв’язання  задачі на ділення двох натуральних чисел, в результаті якого одержується остача. 

Задача. Поділити  на 5 рівних частин відрізок довжиною 12 см.

Проблема:    Що робити? Що діяти?

                     Як задачу розв’язати?

                     В ній при діленні остача.

                     Хто з вас вірний вихід бачить?

 Учні висувають свої гіпотези. Або пропоную  відгадати загадку:

                         Це число вам не знайоме :

                         Зліва цифри, справа цифри,

                           А між ними кома! Що це за число?

     Під час вивчення розподільного закону множення пропоную учневі записати на дошці добуток двох двоцифрових чисел, до цього добутку додаю добуток своїх двоцифрових чисел і відразу записую результат:          31·72 + 69 · 72=7200.

     Учні зацікавлені, починаються пошуки правильної відповіді й розглядається закон у загальному вигляді. Проблема або запитання, з яких починається вивчення нового матеріалу, викликає в учнів здивування, недовіру, суперечність або нерозуміння, і створює потребу у нових знаннях. У процесі викладання математики велику увагу приділяю формуванню в учнів навичок швидкого обчислення. Коли учні 5 класу письмово починають множити  двоцифрове або трицифрове число на 11, або підносять до квадрату двоцифрове число, яке закінчується  на 5, то я відразу називаю відповідь, що викликає в учнів здивування та інтерес до правил, які  допомагають  запам’ятати алгоритм швидкого обчислення. 

     Знайомство із звичайними дробами розпочинається із загадки – проблеми:

     Що це, діти, за записка:      вгорі число, знизу  число,      а між ними риска?

     Створення проблемних ситуацій і формулювання проблем є перехідним етапом від актуалізації знань до вивчення нового матеріалу чи розв’язування вправ. Коли вивчається у курсі геометрії  геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних точок, учням пропонується задача:

          Два села зібрались на нараду,           Як такій проблемі дати раду:

          Дорогу побудувати такою,

          Щоб відстань від будь-якої точки цієї дороги

          До обох селищ – була однаковою?  Як побудувати таку дорогу?

Починаються пошуки: за допомогою лінійки учні намагаються побудувати на аркуші паперу найбільше точок, які б задовольняли умову задачі, щоб зробити правильний висновок.

     На початку вивчення теми «Різниця квадратів»  у 7-му класі пропоную учням обчислити:

 29 · 31;  97 · 103;  998 · 1002;  16 · 24;  73 · 67.

Поки учні виконують обчислення, я  фіксую час, який вони затратили, а потім швидко обчислюю всі приклади усно і повідомляю, що секрет вони дізнаються після знайомства з формулою:  

(а – в)(а + в) = а² – в².

    Для учнів 10 класу вирішення проблемної ситуації часто пропоную для обговорення в групах. 

               Доведено вже безліч теорем,                 Усі вони однаково важливі.

                То ж починайте мислити з проблем,

                Висувайте гіпотези правдиві!

     Коли розпочинаю вивчення теми «Теорема про три перпендикуляри» у курсі геометрії 10 класу, проблема постає у такому вигляді:

                                  Ось похила мов красуня                                    І проекція її.

                                    Дружать завжди й нерозлучні                                    Мов сестриці ці прямі.                                   Для звичайної прямої ми                                    дамо завдання:

                                    Стати першій й другій також                                   Перпендикулярною...

                                  Думайте, не поспішайте.

                                  Щоб проблему розв’язати 

                                  Де ж пряма повинна стати?

     Учні моделюють за допомогою стереометричних ящиків. 

     Часто проблемні ситуації створюю тому, що учні прагнуть до розв’язання  нових, ще невідомих задач, застосувати набуті знання за аналогією. Показую, що використання аналогії      дає     можливість          сформулювати     деякі нові твердження, показати відмінність властивостей        фігур          у        просторі     від властивостей їх на площині. Під час введення нових понять або правил проблемні ситуації створюються для того, щоб виділити деякі об’єкти серед інших, знайти їх видові відмінності. 

      Наприклад, на початку вивчення теми  «Порівняння дробів» у 6 класі, учням пропоную завдання: серед вказаних пар чисел, відшукати таку пару, числа якої ми не можемо порівняти за тими правилами, які  вивчали у 5 класі:

 і;і; _і 1;і;1і;і1;і.

      Знайомство з ірраціональними числами у 8 класі розпочинаю із проблемних запитань:

     Як зобразити на числовій прямій числа  2 ; 3 ; 5 ; 7 ?

     Чи можна назвати ці числа раціональними? 

Усе це сприяє розвитку мислення учнів і підводить їх до необхідності введення ірраціональних чисел. 

      У окремих випадках проблемну ситуацію створюю за допомогою запитання: «Чи знаєте ви, що...?» Під час вивчення теми «Стандартний вигляд числа» у 8 класі, після цього запитання, даю учням інформацію, що маса Землі 6 000 000 000 000 000 000 000 000кг і потім ставлю наступне запитання: «Як можна коротко записати це число?» Тоді виникає необхідність дати означення стандартного вигляду числа.

     Під час вивчення теми  «Сума членів геометричної прогресії» у 9 класі учням пропонуються задачі, під час розв’язування яких виникає необхідність у виведенні нової формули.

     Задача 1. Мешканець маленького містечка був відомий своєю скнарістю. Коли у нього були справи у повітовому місті, розташованому за 25 км від цього містечка, він звичайно шукав сусідів, які б підвезли його. 

Одного разу скнара крутився  на площі, шукаючи того, хто підвіз би його «за спасибі» додому. Але цього разу нікого не було і він змушений був шукати платного візника. Скнара обійшов їх усіх, торгуючись з ними і порівнюючи ціни. Один просив 250 крб.,  другий – 200 крб., а третій – 150 крб. Усі ці ціни здалися йому занадто високими. Нарешті він помітив візника з убогим візком і жалюгідною шкапою. Коли скнара запитав його, скільки він візьме за дорогу, той подивився на землю, почухав потилицю і відповів: «За 1-й кілометр заплатите мені 1к., за 2-й – 2, за 3-й – 4, за 4-й – 8 і так до кінця шляху.»

«От дурний, – подумав скнара, ледве стримуючи сміх, – лічить за копійки.»

Поспіхом він заліз у візок і гукнув: «Згодний! Поїхали!»

 Скільки грошей він повинен заплатити за дорогу? Хто в цій ситуації програв – скнара чи візник?

Задача 2. За легендою, індійський цар Шерам, здивований кмітливістю гри і різноманітністю можливих положень шахових фігур, покликав до себе її винахідника, вченого Сету, і сказав йому: «Я бажаю достойно нагородити тебе за чудову гру, яку ти придумав. Я достатньо багатий, щоб виконати будь-яке твоє бажання.» Сета попросив царя покласти на першу клітку шахової дошки одне пшеничне зерно, на другу – два  зерна, на третю – чотири, на четверту – вісім і т.д. Цар погодився. Скільки зерна йому слід віддати винахіднику шахів? Виникає необхідність знайти  S₆₄, де  а₁ = 1, q = 2,  n = 64. Проблемна ситуація створюється  через  інсценування легенди.

Учитель.  

З однією з таких легенд ми сьогодні й ознайомимося. 

Шахову гру було придумано в Індії, і коли індуський цар Шерам ознайомився з нею, він був у захопленні. Довідавшись, що її винайшов один з його підданих, цар наказав покликати його, щоб особисто нагородити за вдалу видумку. Винахідник, його звали Сета, з'явився перед троном повелителя. 

(Далі легенда переказується у вигляді сценки, підготовленої учнями класу. Діючі особи: цар Шерам, винахідник Сета, слуги, старшина придворних математиків.)

Цар Шерам. Я бажаю гідно нагородити тебе, Сето, за чудову гру, яку ти придумав. Не бійся, вислови своє бажання. Я не пошкодую нічого, щоб виконати його.

Сета. Велика добрість твоя, повелителю. Але дай строк обміркувати відповідь. Завтра я повідомлю тобі моє прохання.

Учитель. На другий день Сета знову з'явився в палаці.

Сета. Повелителю! Накажи видати мені за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину.

Цар (здивовано). Просте пшеничне зерно?

Сета. Так, повелителю. За другу клітинку накажи видати дві зернини, за третю — чотири, за четверту — вісім, за п'яту — шістнадцять...

Цар (роздратовано перебиває Сету). Досить. Ти одержиш свої зерна за всі 64 клітинки дошки, як бажаєш: за кожну вдвоє більше від попередньої. Але знай, що просячи таку мізерну нагороду, ти нехтуєш моєю милістю. Іди. Слуги мої винесуть тобі твій мішок з пшеницею.(Сета посміхнувся і покинув замок.)

Учитель. Після обіду цар згадав про винахідника шахів і надіслав слугу дізнатися, чи виніс нерозсудливий Сета свою мізерну нагороду.

Цар. Чи отримав Сета свій мішок з зерном?

Слуга. Повелителю! Наказ твій виконується. Придворні математики підраховують кількість належних зерен.

Учитель. Увечері, ідучи спати, цар ще раз звернувся до придворних.

Цар. Чи давно Сета зі своїм мішком пшениці покинув палац?

Слуга. Повелителю! Математики твої невтомно працюють і сподіваються ще до світанку закінчити підрахунок.

Цар. Чому зволікають з цією справою? Завтра, до того, коли я прокинуся, все до останньої зернини повинно бути видано Сеті.  

Учитель. Вранці цареві доповіли, що старшина придворних математиків просить вислухати важливе донесення. Цар наказав йому зайти.

Цар. Перед тим, як ти казатимеш про інші справи, я бажаю почути, чи видано, нарешті, Сеті ту мізерну нагороду, яку він собі сам призначив.

Старшина придворних математиків. Заради цього я і насмілився з'явитися до тебе у таку ранню годину. Ми сумлінно полічили кількість зерен, яку бажає одержати Сета. Число це таке велике...

Цар (гордовито перебиває). Яке велике воно не було б, житниці мої не збідніють. Нагороду обіцяно і її треба видати...

Старшина придворних математиків. Ти не можеш, повелителю, виконати таке бажання. У всіх коморах твоїх немає такої кількості зерен, яку зажадав Сета. Немає його і в житницях цілого царства. Не знайдеться стільки зерна і на всьому просторі Землі. 

Цар (після паузи роздумливо). Назви ж мені це дивовижне число...

Старшина придворних математиків. 18 квінтильйонів 446 квадрильйонів 844 трильйони 73 більйони 709 мільйонів 551 тисяча 615, о повелителю!

 Учитель. Така легенда. Чи справді було те, про що тут розповідалося, невідомо, але нагорода, про яку йшлося, мала бути саме такою.

Як швидше обчислити це число? Кількість зернин, про які йдеться, є сумою 64 членів геометричної прогресії, перший член якої - 1, а знаменник дорівнює  2. Далі виводиться формула суми  n членів геометричної прогресії.

     А в ході вивчення теми «Сума членів нескінченної геометричної прогресії», проблема постає тоді, коли необхідно перетворити нескінченні  періодичні дроби у звичайні? Для цього пропоную записати ці дроби у вигляді сум і так підводжу до необхідності виведення формули суми n членів нескінченної геометричної прогресії.

     Коли перед учнями постають ситуації, запитання, на які вони не можуть негайно відповісти у процесі «живого споглядання об’єктів», мислення, як правило, активізується. Відчуття і сприймання стають особливими діями: вони допомагають думати, стимулюють мислення.

     Проблемні ситуації на уроках створюю не тільки перед вивченням нового матеріалу чи в процесі його вивчення, а й після його викладу. Тоді доцільно не тільки повторити формулювання чи доведення теореми, а й  з’ясувати, як і де можна цей матеріал застосувати у практичній діяльності людей.

     У 5 класі після вивчення законів додавання учням пропонується розв’язати історичну задачу:

 Маленькому Карлові Гаусу, який згодом став відомим математиком, учитель запропонував додати 100 перших чисел натурального ряду. Карл уже через півхвилини дав правильну відповідь. Як він додавав? Спробуйте і ви знайти цю суму. Якщо в учнів виникають труднощі, то з цієї задачі виділяється простіша: обчислити найзручнішим способом суму перших 10 натуральних чисел.

Учні обмірковують, які числа ряду зручніше додавати.

                      Можна поставити проблему,                       Щоб довести важливу теорему.

Учням ставиться запитання:

Чому дорівнює сума кутів трикутника?

Учні висувають гіпотези. Потім проводжу експеримент, в ході якого вони працюють в парах. Кожна пара отримує свій трикутник. За допомогою транспортирів вимірюються всі кути трикутника і знаходиться їх сума. За результатами вимірювань заповнюється загальна таблиця на дошці. Виникає необхідність довести теорему про суму кутів довільного трикутника.

     Перед вивченням теореми Фалеса у 8 класі учням дається декілька завдань практичного характеру:

Поділіть даний відрізок АВ на 2 рівні частини; на 4 рівні частини. З цими завданнями учні справляються легко. Далі слідує наступне проблемне запитання:

Як поділити даний відрізок на 5 рівних частин?

Про необхідність вивчення теореми Фалеса говорять слова :

         Щоб алгоритм поділу відрізка пам’ятати,

         Всім теорему Фалеса потрібно добре знати!  

     Розв’язання проблеми  в ході    уроку-казки з елементами дослідження у 5

класі з теми «Трикутники. Види трикутників» організовується через дослідницьку роботу  в навчальних групах.

      Через створення проблемних ситуацій, математика для учнів стає більш цікавою, вони одержують міцніші знання й досягають кращих результатів, бо «пізнавальна діяльність учня найбільш ефективно відбувається в умовах проблемних ситуацій...» (М. І. Махмутов)