МАТРИЦІ ЯК МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ ЗАДАЧ З ЕКОНОМІКИ

Міністерство освіти і науки України

Департамент освіти і науки

Хмельницької облдержадміністрації

Хмельницьке територіальне відділення МАН України

Наукове товариство учнів Старосинявської селищної ради

 

 

 

 

Відділення: математика Секція: математичне моделювання

МАТРИЦІ ЯК МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ ЗАДАЧ З ЕКОНОМІКИ

 

 

 

Роботу виконала:

Купчишина Алевтина Володимирівна,

здобувач освіти 11-А класу Старосинявського навчально-виховного комплексу «Загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів, гімназія» імені Олександра Романенка

 

 

Науковий керівник:

Гноянко Алла Миколаївна, вчитель математики Старосинявського навчально-виховного комплексу

«Загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів, гімназія» імені Олександра Романенка

 

 

 

 

 

 

 

Стара Синява – 2020

АНОТАЦІЯ

Матриці як математична модель при розв’язуванні задач з економіки

Купчишина Алевтина Володимирівна

Хмельницьке територіальне відділення МАН

Наукове товариство учнів Старосинявської селищної ради

Старосинявський навчально-виховний комплекс

«Загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів, гімназія» імені Олександра Романенка

11-А клас, Стара Синява

Науковий керівник: Гноянко Алла Миколаївна, вчитель математики вищої категорії, старший вчитель

 

У даній роботі розглядаються методи та моделі розв’язування задач з економіки та вирішення економічних завдань за допомогою елементів лінійної алгебри.

Лінійна алгебра – це незмінний компонент економіки для різних розрахунків на підприємствах, в економічних задачах алгебра матриць застосовується як засіб збереження інформації в табличній формі. Матриці як математичну модель зручно використовувати при математичному описі економічних процесів, бо форма їх запису зручна, наочна, доступна для введення в ЕОМ. Операції над матрицями допомагають у швидкому дотримуванні економічних результатів. Наведені задачі показують, що знання з лінійної алгебри, вміння здійснювати операції над матрицями, розв’язувати системи n алгебраїчних рівнянь з n невідомими є важливими навичками майбутніх економістів. А практичне застосування лінійних динамічних моделей в економіці досить широкі.

 

Ключові слова: застосування матриць, економіка, лінійна алгебра, матриця, модель Леонтьєва, система лінійних рівнянь.

 

 

ЗМІСТ

ВСТУП                                                                                                                           4

РОЗДІЛ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА                                                                                  6

1.1. Означення матриці                                                                                                 6

1.2. Ранг матриці                                                                                                            6

1.3. Лінійні операції над матрицями                                                                            7

1.4. Власні вектори та власні числа матриці                                                               8

РОЗДІЛ 2. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ  ПРОСТІШИХ  МАТРИЧНИХ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ  ЛІНІЙНИХ  РІВНЯНЬ В МАТРИЧНІЙ ФОРМІ                                     9

РОЗДІЛ 3. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ МЕТОДАМИ ГАУССА І ЖОРДАНА-ГАУССА ТА КРАМЕРА                                                    11           РОЗДІЛ 4. ВИКОРИСТАННЯ МАТРИЦЬ ДЛЯ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ В ЕКОНОМІЦІ                                                                           12

4.1. Застосування матриць в економіці                                                                      12

4.2. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки                                                  15

4.3. Лінійна модель міжнародної торгівлі                                                                 16

ВИСНОВКИ                                                                                                                 18

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ                                                                    19

ДОДАТКИ                                                                                                                    21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  ВСТУП

 

В даній наукові роботі розглянемо матриці в економіці і розв’язуванні економічних задач. Для цього проаналізуємо розв’язання економічних задач та зробимо певні висновки.

Вперше матриця з’явилася в Стародавньому Китаї та носила назву «магічного квадрата». Основним застосуванням матриць було розв’язування лінійних рівнянь. Також магічні квадрати були відомі трохи пізніше арабським математикам, приблизно тоді з’явився принцип додавання матриць. Термін «матриця» ввів англійський математик Джеймс Джозеф Сильвестр в 1850 році. Тому в математиці з’явився розділ, який називається матрична алгебра, а матриці як математична модель мають важливе значення в економіці.

Розв’язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера, матричний метод розв’язування систем лінійних рівнянь, розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса, а також методом Жордана-Гаусса дають можливість розв’язувати системи n рівнянь з n невідомими, які відіграють важливу роль у математиці, оскільки до них зводиться велика кількість задач лінійної алгебри, теорії математичної фізики, областей природничих наук, економіки.

Саме цим був зумовлений вибір теми наукової роботи «Матриці як математична модель при розв’язуванні задач з економіки».

Оскільки поняття матриці є одним із найважливіших понять не лише в алгебрі, а й в сучасній математиці та економіці, то дана тема є актуальною.

Мета наукової роботи. Висвітлити значущу роль математичного моделювання у професійній діяльності в економічній галузі. Показати, що математична модель виступає як основний інструмент при розв’язуванні прикладних задач, дослідженні і прогнозу економічних явищ, процесів, а математичні знання є необхідною умовою у моделюванні. Ознайомити з балансовою моделлю при математичному моделюванні економічних систем і процесів.

 

Основні завдання дослідження:

• ознайомитися з поняттями про матрицю;
• ознайомитися з поняттям про ранг матриці;
• ознайомитися з лінійними операціями над матрицями;
• ознайомитися з методами Гаусса, Жордана-Гаусса та Крамера;
• розв’язувати системи лінійних рівнянь методом Крамера і Гаусса та Жордана-Гаусса;
• детальніше розглянути застосування матриць в економіці;
• ознайомитися з основною математичною моделлю макроекономіки (модель Леонтьєва);
• розглянути розв’язання задач балансового аналізу методами лінійної алгебри;
• ознайомитися з лінійною моделю міжнародної торгівлі.

Об’єкт дослідження: застосування матриць при розв’язувані систем лінійних алгебраїчних рівнянь та прикладних економічних задач.

Предмет дослідження: матриці.

Дослідження виконано на матеріалах використаної літератури та матеріалах власної картотеки.

Наукова новизна роботи полягає в тому, що було удосконалено методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, а саме метод Крамера, Гаусса, Жордана-Гаусса. Також, розглянуто застосування матриць, моделі Леонтьєва в економіці та в економічних задачах, що набуватиме подальшого розвитку.

У даній науковій роботі використовуються математичні методи.

Обсяг і структура роботи. Робота складається з вступу, чотирьох основних розділів, висновків, списку використаних джерел, що налічує 15 позицій та додатки. Загальний обсяг роботи – 33 сторінок.

 

 

РОЗДІЛ 1

 ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

 

1.1. Означення матриці

 

Матрицею називається множина точок, які утворюють прямокутну таблицю, що містить m рядків  і n стовпців. Для запису матриці використовують наступне позначення:

Матриця ще має інше означення. Матрицею називають математичні об’єкти, які мають вигляд таблиць з числовими елементами, які записуються у круглих дужках, а матриці позначають великими латинськими буквами. Для будь якого елемента a_ij перший індекс i означає номер рядка, а другий індекс j – номер стовпця. Скорочено прямокутну матрицю типу m*n можна записати так : A=(a_ij), де i=1,2,…,m; j=1,2,…,n .

Детальніше про види матриць та їх властивості можна розглянути в Додатках А, Б.

 

1.2. Ранг матриці

 

Рангом матриці А називається найбільший порядок відмінного від нуля мінору матриці. Ранг матриці А позначають rang (A), rg (A), r (A).

Ранг і схема дослідження систем

1. Якщо r (A)≠ r – система несумісна.
2. Якщо r (A)= r = r -  система сумісна, причому :

при r=n (ранг дорівнює кількості невідомих) система має єдиний розв’язок;

при r˂n система має безліч розв’язків .

№1.  Знайти ранг матриці методом елементарних перетворень.

.

 

1.3. Лінійні операції над матрицями

 

Розглянемо детальніше правило множення матриць. Знайдемо добуток матриць А і В, якщо:

;               

Розв’язання. Знайдемо кожний елемент матриці-добутку.

c₁₁=a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁+a₁₃b₃₁=3*1+1*2+1*1=6,

c₁₂=a₁₁b₁₂+a₁₂b₂₂+a₁₃b₃₂=3*1+1*(-1)+1*0=2,

c₁₃=a₁₁b₁₃+a₁₂b₂₃+a₁₃b₃₃=3*(-1)+1*1+1*1=-1,  c₂₁=a₂₁b₁₁+a₂₂b₂₁+a₂₃b₃₁=2*1+1*2+2*1=6,

c₂₂=a₂₁b₁₂+a₂₂b₂₂+a₂₃b₃₂=2*1+1*(-1)+2*0=1, 

c₂₃=a₂₁b₁₃+a₂₂b₂₃+a₂₃b₃₃=2*(-1)+1*1+2*1=1,

c₃₁=a₃₁b₁₁+a₃₂b₂₁+a₃₃b₃₁=1*1+2*2+3*1=8, 

c₃₂=a₃₁b₁₂+a₃₂b₂₂+a₃₃b₃₂=1*1+2*(-1)+3*0=-1,

c₃₃=a₃₁b₁₃+a₃₂b₂₃+a₃₃b₃₃=1*(-1)+2*1+3*1=4.

Отже,                                 

На цьому і побудована операція множення, необхідно почленно перемножити елементи рядка першої матриці на елементи стовпця другої матриці та просумувати. А тепер розглянемо практичне використання матриці у різних математичних операціях.

№2. Знайдемо добуток матриць.

Інші приклади розглянемо в Додатку В №1,2, Додатку Д №3,4,5,    Додатку Е №6,7,8,9, Додаток Ж №10,11.

 

 

1.4. Власні вектори та власні числа матриці

 

Нехай – деяка квадратна матриця розміру n*n з дійсними елементами, – деяке невідоме число. Тоді матриця , де Е – одинична матриця, називається характеристичною матрицею для матриці А:

,.

Ненульовий вектор Х називається власним вектором матриці А , якщо існує таке число   (власне число матриці), що

або

Поліном n-го степеня називається характеристичним поліномом матриці А, а його корені – власними числами матриці А.

Можна стверджувати, що подібні матриці мають однакові характеристичні поліноми і, як наслідок, однакові власні числа.

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ 2

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРОСТІШИХ  МАТРИЧНИХ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ  ЛІНІЙНИХ  РІВНЯНЬ В МАТРИЧНІЙ ФОРМІ

 

 

Щоб розв’язати матричне рівняння, необхідно:

1. Знайти обернену матрицю А^-1
2. Знайти добуток оберненої матриці А^-1 на матрицю-стовпець вільних членів В, тобто А^-1В.
3. Користуючись означенням рівних матриць, записати відповідь.

№3. Розв’язати матричним способом систему лінійних рівнянь

Розв’язання. Складемо матричне рівняння Ах=В, де

Знайдемо обернену матрицю А^-1. Для цього обчислимо визначник detA за правилом трикутника 

Так, як detA=107≠0, то обернена матриця існує. Знайдемо всі алгебраїчні доповнення:

,

,

,

  ,

,

,

,

.

Матриця доповнень виглядатиме так :          

і транспонуємо її        .

Запишемо обернену матрицю: 

Звідси:

Звідси, розв’язком системи будуть       х₁=-3, х₂=2, х₃=1.

Відповідь: (-3; 2; 1). Ще один приклад розглянемо в Додатку Ж №11.

 

РОЗДІЛ 3

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ МЕТОДАМИ ГАУССА І ЖОРДАНА-ГАУССА

 

Метод Гаусса застосовується до будь-яких систем лінійних рівнянь, він ідеально підходить для розв’язування систем, що містять більше трьох лінійних рівнянь. Він є менш трудомістким порівняно з іншими методами. Під час розв’язування СЛАР методом Гаусса виконуємо еквівалентні (рівносильні) перетворення рівнянь. Еквівалентні перетворення СЛАР:

1.        Переставлення місцями рівнянь;
2.        Множення або ділення рівнянь на відмінне від нуля число;
3.        Додавання до деякого рівняння іншого, помноженого на довільне число, що не дорівнює нулю

Метод Гаусса – це метод послідовного виключення невідомих, коли систему рівнянь зводять до еквівалентної їй системи з трикутною матрицею (нулі вище або нижче головної діагоналі). Такі дії називають прямим ходом із одержаної трикутної системи змінні знаходять за допомогою послідовних підстановок (зворотній хід методу Гаусса). При виконанні прямого ходу метода Гаусса виключають із системи рівняння, в яких коефіцієнти при невідомих і вільні члени дорівнюють нулеві.

          Розв’язування методом Гаусса подані в Додатку Ж №12.

У методі Жордана-Гаусса змінна х₁ виключається з усіх рівнянь, крім 1-го, змінна х₂ виключається з усіх рівнянь, крім 2-го і т.д. У результаті в розміреній матриці одночасно обертаються в нуль елементи, розташовані над і під головною діагоналлю. Розв’язування методом Жордана-Гаусса дивитись в Додаток З №13.

Методами Гаусса і Жордана-Гаусса можна розв’язати довільні системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

         Можна розглянути спосіб розв’язування СЛАР за формулами Крамера в Додатках К, Додаток К-Л №14-15, Додаток Л №16, Додаток Л-Н №17-18.

 

РОЗДІЛ 4

ВИКОРИСТАННЯ МАТРИЦЬ ДЛЯ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ В ЕКОНОМІЦІ

 

1.           Застосування матриць в економіці

 

Матрична алгебра має дуже важливе значення в економіці. Обумовлюється це тим, що матричний метод дозволяє в достатньо простій та зрозумілій формі записувати економічні процеси та об’єкти. Одним із прикладів може слугувати таблиця розподілу ресурсів по різних галузях.

Ресурси	Галузі економіки
	Промисловість	Сільське господарство
Електроенергія	5,3	4,1
Трудові ресурси	2,8	2,1
Водні ресурси	4,8	5,1

Дана таблиця може бути записана у вигляді матриці:       .  

В цьому записі, наприклад, матричний елемент показує, скільки електроенергії споживає промисловість, а елемент – скільки трудових ресурсів споживає сільське господарство.

          Задачі, де використовуються матриці та операції над матрицями розглянемо в Додатку Н №19, Додатку О №20, Додатках О-П №21.

          №4. Підприємство випускає вироби трьох видів: I, II, III. При цьому використовується сировина трьох типів: . Норми витрат кожного з типів сировини на один виріб і обсяг витрат сировини за один день наведено в наступній таблиці:

Вид сировини	Норми витрат на один виріб, ум. од.			Витрати сировини за один день, ум. од.
	I	II	III
	5	3	4	2700
	2	1	1	900
	3	2	2	1600

          Знайти щоденний обсяг випуску кожного виробу.

Розв’язання. Позначимо через кількість одиниць щоденного випуску виробів відповідно до першого, другого і третього видів. Тоді для одиниць щоденного випуску виробів першого виду потрібно ум. од. сировини типу , для другого – ум. од., а для третього – ум. од.. Всього за один день повинно бути витрачено 2700 ум. од. сировини виду , тобто ++=2700. Аналогічно отримаємо решту рівнянь: ++=900, ++=1600 для сировини виду і відповідно.

Система                                  

буде математичною моделлю даної задачі. Якщо - матриця норм витрат сировини на один виріб, - матриця невідомих, - матриця витрат сировини за один день, то систему можна подати у матричному вигляді AX=B.

Запишемо розширену матрицю системи         

Розв’язок системи будемо шукати за методом Гаусса.

де n – кількість невідомих в системі, тобто існує єдиний розв’язок системи. Ставимо у відповідність розширеній матриці спрощену систему:

з якої находимо                    

тобто маємо                          

          Таким чином, підприємство випускає 200 одиниць виробу першого виду, 300 – другого, 200 – третього.

          По-друге, використання мови математики дає можливість точно й компактно висловлювати більшість положень економічної науки.

          По-третє, окремі поняття і факти вищої математики, що вивчаються в курсі, слугують основою при визначенні низки економічних понять (поняття надлишків споживача і виробника вводяться на базі певного інтеграла, поняття еластичності визначається за допомогою похідної тощо).

 

4.2. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки

 

У сучасній економіці використовується математичні методи та моделі. В основу міжгалузевого балансу покладена модель американського економіста В.Леонтьєва «витрати-випуск».

Рівняння системи

називаються балансовими співвідношеннями, де – загальний об’єм продукції, виробленої в i-ій галузі (план валового виробництва продукції)  (), i = 1, 2, …, n; – об’єм продукції i-ї галузі, який використовується j-ю галуззю в процесі виробництва об’єму продукції   ;   – об’єм продукції i-ї галузі, який призначений для реалізації (кінцевий продукт) ().

Величини (i, j = 1, 2, …, n) називаються коефіцієнтами прямих витрат, які показують витрати i-ї галузі на виготовлення одиниці продукції j-ї галузі. Тоді балансові співвідношення можна записати у вигляді

або у матричному вигляді (модель Леонтьєва) , де

          Вектор X називається вектором валового виробництва; вектор Y – вектором кінцевого продукту; матриця А – матрицею прямих витрат.

          Матриця називається матрицею повних витрат, кожен елемент  якої показує об’єм виробленої продукції i-ї галузі, який необхідний для виготовлення одиниці продукції j-ю галуззю.

           Матриця C=B-A називається матрицею непрямих (посередницьких) витрат.

           Матриця A називається продуктивною, якщо для будь-якого вектора (, i = 1, 2, …, n) існує розв’язок Y (, i = 1, 2, …, n) рівняння.

           №5. Прямі витрати двох галузей виробництва, а також обсяги кінцевих продуктів (у грошових одиницях) задані у таблиці:

Продукція цехів	Прямі витрати		Кінцевий продукт
	1	2
1	0,11	0,06	154
2	0,21	0,11	157

          Знайти: а) матрицю повних витрат та перевірити її на продуктивність; б) вектор кінцевого продукту;

          Розв’язування. а) З таблиці видно, що матриця прямих витрат буде:

          Сума елементів кожного стовпця (рядка) менша одиниці, тому, згідно другого критерію продуктивності матриці, матриця А є продуктивною.

          б) є вектором кінцевого продукту.

 

3.           Лінійна модель міжнародної торгівлі

 

Розглянемо лінійну модель міжнародної торгівлі, яка приводить до поняття власного вектора і власного значення матриці.

Нехай є n країн S₁, S₂, …,S_n із національними доходами х₁, х₂, …, х_n відповідно. Частку національного доходу, що країна S_j витрачає на закупівлю товарів у країни S_i, позначимо a_ij.  Введемо структурну матрицю торгівлі А і вектор національних доходів країн х:

Вважаємо, що весь національний дохід витрачається на закупівлю товарів або всередині країни, або на імпорт з інших країн, тоді сума елементів будь-якого стовпця матриці А дорівнює 1:

Виторг від внутрішньої і зовнішньої торгівлі країни S_i  складає:

Для збалансованої торгівлі необхідно бездефіцитність торгівлі кожної країни S_i, тобто виторг від торгівлі кожної країни повинен бути не менше її національного доходу: .

При одержуємо систему нерівностей 

Склавши всі нерівності системи, одержимо:

Вирази в дужках дорівнюють одиниці, і ми маємо суперечливу нерівність: 

Таким чином, нерівність неможлива, і умова набуде вигляду .

З економічної точки зору це означає, що всі країни не можуть одночасно отримувати прибуток. У матричному вигляді одержимо рівняння :

Тобто, задача звелася до знаходження власного вектора матриці А, що відповідає власному значенню х=1.

 

ВИСНОВКИ

 

На основі проведеного дослідження можна зробити такі висновки:

• Дана наукова робота доводить, що знання елементів лінійної алгебри, вміння виконувати лінійні операції над матрицями, вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь дозволяють вирішувати реальні економічні завдання та задачі.
• З’ясовано, що більшість тем курсу економіки містять матеріал, який можна ефективно використовувати для наочної ілюстрації практичного використання математичного матеріалу, що сприятиме глибокому й більш усвідомленому вивченню абстрактної математичної теорії, а також підвищенню інтересу до вивчення математики.
• Матриці як математична модель зручно використовувати при описі економічних процесів та об’єктів.
• Операції над матрицями добре спрацьовують при отриманні економічних результатів.
• Можливості практичного застосування математичних моделей за допомогою матриць досить широкі.
• Матриці дають можливість розв’язувати складні задачі, а також обробляти великий статистичний матеріал, різноманітні дані за досить короткий термін.

 

 

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

 

1.Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной агебры. –М.: Наука, 1979. - 512 с.

          2.Аршава О.О. та ін. Прикладні задачі з вищої математики для економічних спеціальностей 100. Аршава та ін.– Харків:ХДТУБА, 2011.-71с.

3.Васильченко І. П. Вища математика для економістів / І. П. Васильченко –  2-ге видання, випр. – К. : Знання, 2004. – 454 с.

4.Дубініна О. В., Махиня Т. А. 2016 НН ІМП ДВНЗ «Університет менеджменту освіти», 2016. – 204 с.

5.Дубовика В.П., Юрика І.І. Збірник задач «Вища математика». –  К.: А.С.К., 2005. – 480 с.

6.Дутка Г.Я. Формування вмінь студентів розв’язувати прикладні задачі при навчанні математики в коледжах економічного профілю: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Ганна Яківна Дутка. – К., 1998. – 187 с.

7.Кудрявцев В.А., Демидови Б.П. Краткий суре высшей математики: Учебное пособие для вузов-7-е изд., испр.-М.; Наука – Гл.ред. физ-мат. Мет., 1989. - 656 с.

8.Лисичкин В.Т., Соловейчик І.О. Математика: Учеб. Пособие для технику-мов. -М.; Высш. Шк., 1991. - 480 с.: чл.

9.Назієв Е.Х. та ін. Лінійна алгебра та аналітична геометрія: Навч. посіб./ Е.Х. Назієв та ін. – К.: Либідь, 1997. -152 с.

10.Ткач Ю.М. Професійна спрямованість навчання вищої математики у системі економічної освіти / Ю.М Ткач // Дидактика математики: проблеми і дослідження: Міжнародний збірник наукових робіт. – Вип. 35. – Донецьк: Вид-во ДонНУ, 2011. – С. 93-97.

11.Фомкіна О.Г. Удосконалення методики навчання математики в економічному вузі : шляхи, форми і засоби, перспективи [Текст]: монографія / О.Г. Фомкіна. – Полтава : РВВ ПУСКУ, 2008. – 122 с.

         12.Чарін В.С. Лінійна алгебра. -2-е вид., стер. -К.:Техніка, 2005. – 416 с.

13.http://yukhym.com/uk/matritsi-ta-viznachniki/vidi-matrits-operatsiji-dodavannnya-vidnimannya-transponuvannya-mnozhennya.html

14.http://ua.onlinemschool.com/math/library/matrix/definition/

15.http://php-functions.ho.ua/ukr/mfc/directx/dxhelp/rphp56.html

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                                           Додаток А

Види матриць. Властивості матриць

 

Якщо число рядків матриці не дорівнює числу стовпців (m≠n), то матриця називається прямокутною. Наприклад, як матриці:

;               

Якщо число рядків дорівнює числу стовпців (m=n), то матриця називається квадратною. Наприклад, квадратними є матриці:

         ;              

Число рядків або стовпців квадратної матриці називається її порядком. Так для матриці А її порядок дорівнює 2, а порядок матриці В дорівнює 4.

Діагональ, яка складається з елементів a_11, a₂₂, …, a_mn називаються головною, а діагональ, яка складається з елементів a_1n, a_2n(-1), a_n1  - бічною.

Матриця виду

                                             ,

у якої відмінні від нуля тільки елементи головної діагоналі, називається діагональною. Наприклад:

;                   –

діагональні матриці другого і четвертого порядку.

Якщо у діагональній матриці всі числа рівні між собою, тобто a₁₁=a₂₂= … = a_mn , то така діагональна матриця називається скалярною. Якщо в скалярній матриці числа головної діагоналі дорівнює одиниці, то матриця називається одиничною і позначається буквою Е.

                                                                                                                 Додаток Б

Нулева матриця, елементи якої дорівнюють нулю, позначається так:

У прямокутній матриці, типу m*n, можливі випадки, коли m=1. Тоді отримуємо матрицю – рядок.

У випадку, коли n=1 , отримуємо матрицю – стовпець.

Матрицю – рядок і матрицю – стовпець будемо називати векторами.

Властивості матриці:

1.      A+B=B+A – комутативність
2.      A+(B+C)= (A+B)+C – асоціативність
3.      A+0=A
4.      A+(-A)=0, A і (–A) – протилежні матриці
5.      (A+B)C=AC+BC

A(B+C)=AB+AC

(AB)C= A(BC)

6.      AB ≠ BA
7.      Якщо матриці А і В мають однакову розмірність m*n і їхні відповідні елементи рівні, то А=В

 

 

 

Додаток  В

№1. Знайти С, де С=АВ і

;            

Знайдемо елементи матриці С

c₁₁=0*3+(-1)*2+2*1=0,                              c₁₂=0*1+(-1)*1+2*0=-1, 

c₂₁=2*3+1*2+1*1=9,                                  c₂₂=2*1+1*1+1*0=3, 

c₃₁=3*3+0*2+1*1=10,                                c₃₂=3*1+0*1+1*0=3,

c₄₁=3*3+7*2+1*1=24,                                c₄₂=3*1+7*1+1*0=10.

Отже,                                  

№2. Знайти матрицю А, де    

a₁₁=1*3+1*0+3*2=9

a₁₂=1*(-1)+1*1+3*0=0

a₁₃=1*0+1*1+3*1=4

a₂₁=0*3+2*0+1*0=2

a₂₂=0*(-1)+2*1+1*0=2

a₂₃=0*0+2*1+1*1=3

a₃₁=-1*3+0*0+4*2=5

a₃₂=-1*(-1)+0*1+4*0=1

a₃₃=-1*0+0*1+4*1=4

 

Додаток Д

№3. Знайти АВ-ВА, де      ;                

Розв’язання.

Отже, АВ ≠ ВА.

№4. Знайти ЕА, якщо

,         

№5. Знайти АВ, де         ,               

Отже, добуток ненульових матриць може дорівнювати нулю.

 

 

Додаток Е

№6. Обчислити

Отримали матрицю одиничної розмірності.

№7. Обчислити

При множенні матриць-векторів отримаєм квадратну матрицю 5х5.

№8. Обчислити

Результатом множення є матриця, яка містить лише один елемент.

№9. Обчислити 2А+3В- С, де

,       ,      

 

 

Додаток Ж

№10. Записати матрицю В, що дорівнює матриці А.

Розв’язання.

Із множення матриць бачимо, що утворена матриця має розмірність, яка відповідає кількості рядків першої метриці на кількість стовпців другої.

№11. Знайти матрицю, протилежну матриці

Розв’язання.

-А протилежна до А. –А=-1*А, то

№12. Розв’язати методом Гаусса систему лінійних рівнянь.

Запишемо розширену матрицю (матриця, в яку включають вільні члени):

Дану матрицю зведемо до трикутної, щоб а₂₁=а₃₁=а₃₂=0.

Для того, щоб отримати рівність а₂₁=а₃₁=а₃₂=0, помножимо перший рядок спочатку на третій, а потім на другий, отримані результати віднімемо від другого і третього рядків. Отримаємо:

Поділимо другий рядок на 8, потім одержані результати помножимо на 3 і віднімемо їх від третього рядка:

Додаток З

Запишемо нову рівносильну систему, якій відповідає розширена трикутна матриця:

Виконуємо зворотній хід, за допомогою послідовних підстановок, знаходимо невідомі:

Отже, x=1, y=2, z=3.

№13.  Методом Жордана-Гаусса розв’язати систему:

 

 

 

Додаток К

Метод Крамера (правило Крамера) − спосіб розв’язування квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці, зазначимо, що розв’язок існує і є єдиним. Метод було створено Габрієлем Крамером у 1750 році. Наприклад, якщо є система лінійних рівнянь:

                                    

і її визначники:

де, ∆≠0. То розв’язком системи будуть числа

Наприклад:

№14-15. Розв’язати системи рівнянь за формулами Крамера

За правилом трикутника (правилом Сарусса) знайдемо визначник системи ∆ і визначники ∆_х, ∆_y, ∆_z:

 

Додаток Л

Звідси, .

Зазначимо, якщо система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) має хоч один розв’язок, то вона називається сумісною, в іншому випадку – несумісною.

Якщо розв’язок системи єдиний, то система лінійних рівнянь називається визначеною. У випадку, коли розв’язок сумісної системи не єдиний, систему рівнянь називають невизначеною.

Якщо ∆=0, а хоча б один з ∆_х1, ∆_х2, ∆_{х3, …,} ∆_хn відмінний від нуля, то СЛАР розв’язків немає. Якщо ∆=0, і ∆_хі=0, то СЛАР має безліч розв’язків.

Наприклад:

Розв’язати системи рівнянь за формулами Крамера:

№16.

Розв’язання. Знайдемо детермінант системи ∆ і детермінант ∆_х і ∆_у:

,

Отже, система розв’язку не має.

№17.

Знайдемо визначник системи

Знаходимо визначники ∆_х1, ∆_х2, ∆_х3.

 

 

Додаток М

Для знаходження визначника ∆_х1 винесли спільний множник 10 для всіх елементів першого стовпця, за знак визначника і розклали його за елементами першого стовпця.

Для знаходження визначника ∆_х2 винесли спільний множник 10 для всіх елементів другого стовпця за знак визначника і розклали його за елементами другого стовпця.

Для знаходження визначника ∆_х3 винесли спільний множник 10 для всіх елементів третього стовпця за знак визначника і розклали його за елементами третього стовпця.

Додаток Н

Звідси,

№18.

 

Розв’язання. Обчислимо

, так як елементи двох рядків визначників ∆_х1, ∆_х2, ∆_х3 пропорційні.

Отже, система має безліч розв’язків.

№19.  Галузь з трьох заводів виготовляє два види продукції. Матрицею А подано об’єми виготовленої продукції на кожному заводі за перший місяць, матрицею В – за другий місяць:

.

          Знайти: а) об’єм продукції за два місяці; б) приріст об’ємів виробництва за другий місяць у порівнянні з першим за видами продукції і заводами; в) вартісне вираження виробленої продукції за два місяці (у доларах), якщо   27 – курс долара по відношенню до гривні.

Розв’язування. а) Об’єм продукції за два місяці визначається сумою матриць А та В:

, де c_ij = a_ij + b_ij  -  об’єм продукції j-го виду, який виготовлений i-м заводом за два місяці.

          б) Приріст об’ємів виробництва за другий місяць у порівнянні з першим визначається різницею матриць:

.

          Додатні елементи d_ij показують, що на заводі i об’єм виробництва j-ї продукції збільшився; від’ємні d_ij – зменшився; нульові d_ij – не змінився.

          в) Для знаходження вартісного вираження виробленої продукції за два місяці потрібно знайти добуток C .

 

Додаток О

№20. Нехай підприємство випускає продукцію трьох видів: P1, P2, P3 та використовує сировину двох типів: S1 і S2. Норми витрати сировини характеризуються матрицею:

,

де кожен елемент аij (i = 1,2,3; j = 1,2) показує, скільки одиниць сировини j-го типу витрачається на виробництво одиниці продукції i-го виду. План випуску продукції задається матрицею-рядком С = (100 80 130), вартість одиниці кожного типу сировини (грош. од.) – матрицею-стовпчиком:

Спочатку обчислимо матрицю вартостей витрат сировини на одиницю продукції, т.б. матрицю:

а потім загальну вартість сировини:

Отже, матимемо відповідь 70900 грош. од.

№21.  Підприємство випускає 4 вида виробів з використанням 4-х видів сировини. Норми витрат сировини подамо як елементи наступної матриці А:

Вид сировини:         ↑Вид виробу

Необхідно визначити витрати сировини на кожен вид виробу при заданому плані їх випуску: відповідно 60, 50, 35 і 40 од.

Розв’язування. Складемо вектор-план випуску продукції:

Тоді розв’язком задачі буде векто-матриця витрат, координати якої будуть величинами витрат сировини по кожному її виду, отже необхідно знайти наступний добуток:

 

Додаток П