Майстер- клас « ПРИЙОМИ ШВИДКИХ ОБЧИСЛЕНЬ»

Майстер- клас « ПрийомИ ШВИДКИХ ОБЧИСЛЕНЬ»

 

Токар Світлана Миколаївна

Викладач математики ПТУ №2 м.Дніпро

 

Мета заходу: формування та розвиток предметних компетентностей, а саме:  практичної компетентності (оволодіння технікою швидких усних і письмових обчислень засобами системи вправ для лічби, раціональне їх поєднання; розвиток обчислювальної культури та математичного мовлення).

Вступ. Практична компетентність є важливим показником якості математичної освіти, природничої підготовки молоді. Вона певного мірою свідчить про готовність майбутніх робітничих кадрів як до повсякденного життя і найважливіших видів суспільної діяльності, так і до якісного оволодіння професійною освітою, успішного складання ЗНО. Обчислювальна культура є фундаментом вивчення математики та інших навчальних дисциплін. Безумовно, під час виконання усних і письмових обчислень розвивається уважність, кмітливість, самостійність, витримка, цілеспрямованість.  

 

1.               Додавання і віднімання багатозначних чисел.

Наприклад, обчислимо суму чисел 36, 78, 14 і 22.

Розкладаємо кожен із доданків на розряди:

36=30+6, 78=70+8, 14=10+4, 22=20+2.

За сполучним і переставним законами додавання отримаємо:

(30+10)+(6+4)+(70+20)+(8+2)=40+10+90+10=90+10+40+10=150.

Наступні правила основані на зміні суми або різниці в залежності від зміни компонентів цих дій і застосовується в тому випадку, коли хоча б один із компонентів є числом, наближеним до круглих десятків, сотень, тисяч і т. п.

1. Якщо один із доданків збільшити на кілька одиниць, то із отриманої суми потрібно відняти  стільки ж одиниць. Наприклад,

614+593 =614+(593+7)-8=600+614-7=1214-7=1207.

2. Сума не зміниться, якщо один із доданків збільшити на  кілька  одиниць, а другий зменшити на стільки ж одиниць. Наприклад,

391+936 = (391+9)+(936-9) = 400+927 = 1327.

3. Різниця не зміниться, якщо від’ємник збільшити на кілька  одиниць, а зменшуване збільшити на стільки ж одиниць. Наприклад,

2348 -996 = (2348+4)-(996+4) = 2352-1000 =1352.

4. Якщо зменшуване зменшити на кілька одиниць, то до отриманої різниці потрібно додати стільки ж одиниць. Наприклад,

10027-8648=(10027-27)-8648+27=10000-8648+27=1352+27=1379.

 

 

2.               Множення і ділення багатозначних чисел.

МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ НА 4 І НА 8

Щоб усно помножити число на 4, його двічі подвоюють:

116·4 = 232·2 = 464.

Щоб усно помножити число на 8, його тричі подвоюють:

217·8 = 434·2·2 =868·2=1736.

Щоб усно поділити число на 4, його двічі ділять навпіл. Наприклад,

296:4=148:2=74.

Щоб усно поділити число на 8, його тричі ділять навпіл. Наприклад,

5248:8=2624:2:2=1312:2=656.

 

МНОЖЕННЯ НА 5 І 25

Щоб усно помножити число на 5, можна помножити його на 10 (приписавши справа 0) і поділити на 2. Наприклад,

483∙5=4830:2=2415.

При множенні парного числа на 5 зручніше спочатку його поділити на 2, а потім до отриманого результату приписати 0. Наприклад:

218∙5=218:2∙10=1090.

Щоб усно помножити число на 25, можна помножити його на 100 (приписавши справа 0) і поділити на 4. Наприклад,

47∙25=18∙100=1800.

 

МНОЖЕННЯ ДВОЗНАЧНОГО ЧИСЛА НА ОДНОЗНАЧНЕ

Щоб усно помножити двозначне число на однозначне, спочатку множимо на однозначне десятки, а потім одиниці двозначного і обримані добутки додаємо. Наприклад,

74·7=70·7+4·7=490+28=518.

 

МНОЖЕННЯ БАГАТОЗНАЧНИХ ЧИСЕЛ І ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

Множення методом Ферроля

Для отримання одиниць добутку множать одиниці множників, для отримання десятків множать десятки одного множника на одиниці другого множника і навпаки і результати додаються, для отримання сотень множаться десятки.

Цей спосіб множення випливає з тотожності:

Схему застосування цього способу продемонструємо на прикладі: 32·46

2·6=12 (2 пишемо, 1 запам’ятовуємо);

3·6=18, 2·4=8; 18+8+1=27 (7 пишемо, 2 запам’ятовуємо);

3·4=12, 12+2=14 (пишемо).

Відповідь: 32·46=1472.

 

Множення на число, наближене до одиниці певного розряду

За розподільним законом множення відносно додавання і віднімання:

a·

Наприклад, 405·97=405·(100-3)=405·100-405·3=40500-1215=39285;

8012·1006=8012·(1000+6)= 8012·1000+8012·6=8012000+(8000·6+12·6)=8012000+48072=8060072

 

Множення на 9, 99, 999

Щоб виконати множення на число, всі цифри якого- дев’ятки, потрібно до справа до першого множника дописати стільки нулів, скільки дев’яток в записі другого множника і від результату відняти перший множник. Цей спосіб є частковим випадком попереднього, якщо 9, 99, 999 представити у вигляді різниці: 9=10-1, 99=100-1, 999=1000-1.

Наприклад, 387·9=3870-387=3483;

74·99=7400-74=7326; 17·999=17000-17=16983.

 

Множення двозначного числа на 11

Щоб помножити на 11 двозначне число, сума цифр якого менша за 10, потрібно між його цифрами вписати суму його цифр.

Перевіримо суму цифр першого множника: 5+3=8<10. Тоді:

53·11=583.

Щоб помножити на 11 двозначне число, сума цифр якого більше або дорівнює 10, потрібно між цифрою його десятків, збільшеною на 1 і цифрою одиниць написати цифру, що дорівнює різниці суми цифр і 10.

Перевіримо суму цифр першого множника: 6+8=14>10. Тоді: 14-10=4

68·11=748.

 

Множення на 5, 25, 125

Щоб деяке число помножити на 5, 25, 125, достатньо його спочатку розділити на 2, 4, 8 відповідно і до отриманої частки дописати стільки нулів, скільки цифр має множник 5, 25, 125 відповідно.

Наприклад, 3876·5=19380, бо 3876:2=1938;

6448·25=161200, бо 6448:4=1612;

5248·125=656000, бо 5248:8=656.

До речі, ознаки подільності на 8 і 125: на 8 або на 125 діляться тільки числа, які закінчуються або трьома нулями або ті, три останні цифри котрих виражають число, яке ділиться відповідно на 8 або 125.

Множення на деякі десяткові дроби

Щоб усно помножити число на 1,5, додають до першого множника його половину. Наприклад,

34·1,5=34·1+17 =34+17=51;

Щоб усно помножити число на 1,25, додають до його множника його четверту частину. Наприклад,

4·1,25=48·1+12 =48+12=60;

Щоб помножити перший множник на 2,5 , до подвоєного числа додають половину множника.  Наприклад,:

18·2,5=18·2+9 =36+9=45;

Інший спосіб полягає в тому щоб множник помножити на 5 і поділити навпіл. Наприклад:

18∙ 5:2=90:2=45.

 

 

3.               Піднесення до квадрату.

Щоб піднести  до квадрату двозначне число, яке закінчується цифрою 5, достатньо число його десятків помножити на число, більше його на 1 і до отриманого добутку справа приписати 25. Наприклад,

35²; 3·4=12; тоді 35² =1225;

125²; 12·13=156; 125² =15625.

Щоб піднести до квадрату двозначне число, що має 5 десятків, достатньо до 25 додати цифру одиниць і до результату приписати справа квадрат числа одиниць так, щоб у відповіді отримати чотиризначне число. Наприклад,

54²; 25+4=29; 4²=16; тоді: 54²=2916.

Наведені правила випливають із наступних тотожностей:

=100.

Аналогічно можна підносити до квадрату десяткові дроби, які закінчуються цифрою 5, враховуючи, якою повинна бути кількість цифр після коми в добутку. Наприклад,

6,5²=42,25;

18,5²=342,25.

При усному піднесенні до квадрату зручно користуватися формулами скороченого множення.

Квадрат суми (різниці): (a ± b)²=a²±2ab+b²

Наприклад:

82²=6400+2·2·80+4=6724;

37²=1600-2·3·40+9=1369.

Різниця квадратів: (а+b)·(a—b)=a²—b².

Завдання ЗНО.

Обчислити: (1001+999)=2·2000=4000.

 

 

4.               Добування арифметичного квадратного кореня із багатоцифрового цілого числа і десяткового дробу.

Для цього уявно розбивають число справа наліво по дві цифри (після поділу на частини з крайнього лівого боку може залишитися одна цифра).

Наприклад,

=529

-       25   

    102 298

        2 204

    1049 9441

          9 9441

             0

Щоб отримати першу зліва цифру результату (5), добувають арифметичний квадратний корінь із найбільшого точного квадрата, що містить число зліва до поділки (з 27). Знаходять різницю:

27-25=2 і дописують до неї справа наступні дві цифри даного числа (98). А зліва від отриманого числа (298) записують подвоєну першу цифру результату (5·2=10), ділять на неї число всіх десятків раніше отриманого числа (29:10=2 з ост.9), досліджують частку (102·2=204, повинно бути число не більше за 298) та записують другий множник (2) після першої цифри кореня і т. д.

Аналогічно добувають арифметичні квадратні корені із десяткових дробів, пам’ятаючи, що число слід розбити по дві цифри справа і зліва, рахуючи від коми.

 Наприклад,

=0,0978

           - 81

    187   1464

        7   1309

   1948  15584

         8  15584

                        0

 

Змагання з усної лічби.

Починаючи з 2004 року, один раз на два роки проводяться чемпіонати світу з усного рахунку серед дорослих та серед дітей і юнаків. Змагання проводяться з таких завдань, як додавання десяти 10-значних чисел, множення двох 8-значних чисел, розрахунок заданої дати за календарем з 1600 по 2100 роки, корінь квадратний 6-значного числа. Також визначається переможець в категорії «Кращий універсальний феноменальний лічильник» за підсумками розв'язання шести невідомих «завдань з сюрпризом».

В країнах Балтії, Словенії, Грузії та Україні проводяться змагання з усного рахунку серед школярів під назвою Прангліміне.

Прангліміне Міксіке (Pranglimine) — онлайновий математичний тренажер, платформа для проведення тренувань і змагань з усного рахунку для всіх зареєстрованих користувачів незалежно від віку, інтелектуальна гра-змагання, яка є одним з видів діяльності, що проводяться освітнім середовищем Міксіке.

 

 

Використані джерела інформації:

•                 К. І. Швецов, Г. П. Бевз. Довідник з елементарної математики. Київ. «Наукова думка»,1972 р.
•                 https://cutt.ly/ihzWuea