Предмети та одиниці лічби

Цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Натуральні числа:  1, 2, 3,  …, 37, …

Натуральні числа – числа, що вживають при лічбі предметів.

Властивості:

•          натуральних чисел безліч;
•          найменше натуральне число 1;
•          число 0 не є натуральним;
•          найбільшого натурального числа немає;
•          кожне наступне число більше від попереднього на 1.

Розряди: сотні, десятки, одиниці

Класи: одиниць, тисяч, мільйонів, мільярдів

Цифри – знаки для запису натуральних чисел.

Нумерація  - спосіб читання або записування чисел.

Індуси – араби

1. -  І                10   -  X
2. -  ІІ               50   -  L
3. -  ІІІ             100   -  C
4. -  IV            500   -  D
5.  -  V           1000   -   M

1 000 000 000 000        - трильйон

1 000 000 000 000 000 - квадрильйон 

Шахи – винагорода – 18 446 744 073 709 551 615

18 квінтильйонів 446 квадрильйонів 744 трильйонів 73 мільярди 709 мільйонів 551 тисяча 615

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Числові вирази. Рівності. Нерівності. Порівняння натуральних чисел

 

Числовий вираз: числа, дії –  +,  -,   ·,  :, дужки.

Числова рівність – це запис, у якому два числа, або два числових вирази, або числовий вираз і число сполучено знаком рівності.

Порівняти два числа – це означає з’ясувати, яке з них більше, яке – менше, або показати, що вони рівні.

Числова нерівність – це запис, у якому два числа, або два числових вирази, або числовий вираз і число сполучено знаком нерівності.

Знаки нерівності:

> - більше;           ≥  - більше або дорівнює

< - менше;           ≤  - менше або дорівнює

Кожне натуральне число > 0.

Приклади нерівностей:

         7 > 3;    12 + 3 < 8 · 3;       2 + х > 5. 

• Більше число має більше цифр.
• Більше число має більше одиниць у вищому розряді.

Подвійна нерівність: 3 < 5 < 7.

Читають: Число 5 більше 3 і менше 8.

 

 

Додавання натуральних чисел

Доданок + доданок = сума

 

Закони додавання:

• переставний: від перестановки доданків сума не змінюється.

 

 

• сполучний: від групування доданків сума не змінюється.

 

 

 

    Додати до числа а число b  означає збільшити число а  на b одиниць.

Додавання буквених виразів

а + а + а + а = 4 · а = 4а

3с + 5d + c + 2d= 4c + 7d

Додавати можна лише такі буквені вирази, які містять ті самі букви.

 

Віднімання натуральних чисел

Зменшуване – від’ємник = різниця

 

Відняти від  одного числа означає знайти таке  третє число, яке в сумі з другим числом  дає перше.

            а – b =  с                           с + b = а

Віднімають від числа а  число b тоді, коли хочуть:

•  за відомою сумою і одним із доданків знайти інший доданок;
•  зменшити число а на b одиниць;
•  дізнатися, на скільки одиниць число а більше  за число b.

Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок.

Віднімання буквених виразів

5а – 2а =3а

3с + 5d – c – 2d = (3с – c) + (5d – 2d) = 2c + 3d

Віднімати можна лише такі буквені вирази, які містять ті самі букви.

 

Множення натуральних чисел

множник · множник = добуток

Помножити число а на натуральне число b – це означає взяти число а доданком b разів.

5 · 3 = 5 + 5 + 5

Властивості:

Яким би не було число а, завжди

 

 

Закони множення

•       переставний:  від перестановки множників їх добуток не змінюється.

 

 

•     сполучний:  від порядку групування множників добуток не змінюється.

 

 

Щоб помножити на число, записане одиницею з наступними нулями, достатньо до першого множника справа приписати стільки нулів, скільки їх є у другому множнику.

12 · 10 = 120;        123 ·  100 = 12 300.

 

Правило:

Від збільшення одного множника в кілька разів добуток збільшується в стільки ж разів.

 

 

 

Властивості  множення

•     Розподільний закон множення відносно додавання:

Добуток суми і числа дорівнює сумі добутків кожного доданка і цього числа.

 

 

 

•     Розподільний закон множення відносно віднімання:

 

 

 

Розкриття дужок – перетворення добутку в суму або в різницю.

2 · (4 + а) = 2 · 4 + 2 · а = 8 + 2а

Винесення множника за дужки – обернена дія до розкриття дужок.

3х – 3у = 3 (х – у)

Множення багатоцифрового числа на одноцифрове:

124 · 5 = (100 + 20 + 4) · 5 =

= 100 · 5 + 20 · 5 + 4 · 5 = 500 + 100 + 20 = 620

 

 

Степінь числа

Степінь – це добуток однакових множників.

(чотири в п’ятому степені)

           5 множників

- степінь

4 – основа степеня, вона показує, яке число множили само на себе;

5 – показник степеня, він показує скільки рівних множників було в добутку.

Дію, за допомогою якої добуток рівних множників згортають у степінь, називають піднесенням до степеня.

Піднести число а до степеня п означає знайти добуток п множників, кожен з яких дорівнює а.

                                        п множників

 

Правило. У виразах, що містять степені, спочатку виконують піднесення до степеня, а потім множення і ділення, додавання і віднімання.

 

Другий степінь  називають квадратом числа а.

а² читається а в квадраті

а² = а · а;             3² = 3 · 3 = 9.

 

Третій степінь називають кубом числа а.

а³ читається а в кубі

а³ = а · а · а;        2³ = 2 · 2 · 2 = 8.

 

 

§ 13.  Ділення натуральних чисел

Ділене  :  Дільник = Частка

Поділити число а на число b – це означає знайти таке число с, яке в добутку з числом b дає число а.

а : b = с                  с · b = а

Властивості:

Яким би не було число а, завжди

 

 

 

 

 

УВАГА!!!

 

Число а ділять на число b, коли хочуть зменшити число у b разів або з’ясувати, у скільки разів а більше за b.

 

1. Від збільшення діленого (дільника) у кілька разів частка збільшується (зменшується) у стільки ж разів.
2. Від збільшення діленого і дільника у кілька разів частка не зміниться.
3. Якщо числа а і b діляться на с, то

 

 

 

§ 14.  Ділення з остачею

 

 

500 = 8 · 62 + 4

Щоб знайти ділене при діленні з остачею, треба неповну частку помножити на дільник і до знайденого добутку додати остачу.

 

 

 

Якщо остачею нехтують, то неповну частку називають наближеною часткою.

 

500 : 8  62

Знак      - наближено дорівнює

 

500 : 8  62  - наближення з недостачею (частка – число таке, як неповна частка, остачею нехтують);

500 : 8  63  - наближення з надлишком (частка – число на одиницю більше від неповної частки ).

 

Буквенні вирази. Формули

 

Буквений  вираз: букви, числа, дії, дужки.

Буквені  вирази:

2 · а пишуть 2а;       a · b пишуть ab.

Знак множення часто не пишуть!  

п – натуральне число

п + 1 – наступне натуральне число

Число у буквеному виразі – коефіцієнт.

 Формули  - буквений вираз позначений однією буквою.

Формули:

 для обчислення периметра квадрата:    Р = 4а

для обчислення периметра прямокутника:

Р = 2(а + b)

для обчислення довжини шляху:

S = vt.

 

 

Порядок виконання дій у виразах

Дії першого ступеня – додавання та віднімання.

Дії другого ступеня – множення і ділення.

1. У виразах, що містять тільки додавання і віднімання, дії виконують у тому порядку як вони записані.
2. У виразах, що містять тільки множення і ділення, дії виконують у тому порядку як вони записані.
3. У виразах, що місять дії обох ступенів, першими виконують множення і ділення, а потім додавання і віднімання.
4. У виразі з дужками спочатку виконують дії в дужках, а потім інші дії у встановленому порядку.
5. Якщо у дужки взято вираз, що містить дії обох ступенів, тоді і в дужках виконують дії за відомим порядком.

 

 

 

§16.  Рівняння

Рівність, яка містить невідоме число, позначене буквою, називається рівнянням.

х + 3 = 10

Корінь рівняння – значення невідомого, при якому рівняння перетворюється на правильну рівність.

Рівняння: один корінь  х + 3 = 10;     х  =  7.

                  два корені х + 15 : х = 8;    х  =  3,   х  =  5.

                  немає коренів х + 7 = 3.

Розв’язати рівняння означає знайти всі його корені або показати, що їх немає.

Правила розв’язування рівнянь:

• Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок.
• Щоб знайти невідомий від’ємник, треба від зменшуваного відняти різницю.
• Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати відомий від’ємник.
• Щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділити на відомий множник.
• Щоб знайти невідоме ділене, треба частку помножити на відомий дільник.
• Щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на відому частку.

 

Розв’язування рівнянь

а + х = с або x + b = с	Знаходження невідомого доданка: х = с – а х = с – b
a – x = c	Знаходження невідомого від’ємника: х = а – c
x – b = c	Знаходження невідомого зменшуваного: х = с  + b
a ∙ x = c або x ∙ b = c	Знаходження невідомого множника: х = с : а х = с : b
a : x = c	Знаходження невідомого дільника: х = а : с
x : b = c	Знаходження невідомого діленого: х = с ∙ b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§17. Типи задач та способи їх розв’язання

Сума	Різниця	Добуток	Частка
додавання	віднімання	множення	ділення

 

Збільшити на	Зменшити на	Збільшити у	Зменшити у
додавання	віднімання	множення	ділення

 

Відстань (шлях, S, км)	швидкість · час
Швидкість (, км/год)	відстань : час
Час (t, год)	відстань : швидкість

 

При зустрічному русі	швидкість зближення = сумі швидкостей
При русі в протилежних напрямах	швидкість віддалення = сумі швидкостей
При русі в одному напрямі	швидкість зближення або віддалення = різниці швидкостей

 

Швидкість за течією	= власна швидкість + швидкість течії
Швидкість проти течії	= власна швидкість – швидкість течії
Власна швидкість	= (швидкість за течією + швидкість проти течії) : 2
Швидкість течії	= (швидкість за течією - швидкість проти течії) : 2

 

 

 

 

Пряма. Промінь. Відрізок. Вимірювання відрізків

 

                    А          пряма        В 

            початку немає                    кінця немає

     А             промінь              О

       початок                               кінця немає

 

            А                 відрізок                В

       початок                                        кінець

Властивості:

• Через дві точки можна провести тільки одну пряму;
• Довжина відрізка дорівнює сумі довжин її частин;
• Довжину відрізка виражають за допомогою іменованого числа;
• Щоб знайти довжину відрізка, треба звести довжини його частин до однієї  одиниці вимірювання і отримані значення додати.
• Рівні відрізки мають рівні довжини.
• Із двох відрізків більший той,  довжина якого більша.

Відстанню між двома точками називається довжина відрізка з кінцями в цих точках.

 

 

Координатний промінь

 

О                 А                  В            

    0     1           3                   6                                                        

Одиничний відрізок

 

Координатний промінь  - промінь з вибраним одиничним відрізком та поділками, яким відповідають послідовні натуральні числа.

 

Координата точки – число, яке відповідає точці на координатному промені.

О(0), А(3), В(6)

              

Шкала – координатний промінь, лінійка, годинник,

               спідометр.

Шкала – scala – драбина.

 

 

 

Кути та їх вимірювання

 

                        А                   АОВ,  ВОА,  О

       О                      В

Кут – геометрична фігура, утворена  двома променями, які виходять з однієї точки.

Промені – сторони кута, точка – вершина кута

      ОА, ОВ – сторони кута, О – вершина кута

Порівняння кутів:

• з двох кутів більшим є той, міра якого більша;
• два кути будуть рівними, накладанням їх можна сумістити.

               А                             О                                В

розгорнутий кут = 180º

Транспортир – прилад для вимірювання кутів.

  Бісектриса  - промінь, який виходить з вершини

                           кута  і поділяє його пополам.  

гострий  < 90º            прямий = 90º        тупий > 90º

 

 

 

Трикутник та його види

Трикутник – окремий вид многокутника.

Має 3 вершини, 3 сторони, 3 кути.

Види трикутників (за сторонами):

•   різносторонній – всі сторони різні;
•   рівнобедрений – дві сторони рівні;
•   рівносторонній – всі сторони рівні.

                         

різносторонній               рівнобедрений               рівносторонній    

Рівнобедрений трикутник має дві рівні бічні сторони, а третя – основа.

Периметр трикутника:

Р = а + b + с, де а, b, с – сторони

Периметр рівностороннього трикутника:

Р = 3а, де а – сторона

Види трикутників (за кутами):

•   гострокутний – всі кути гострі;
•   прямокутний – один кут прямий;
•   тупокутний – один кут тупий.

                    

гострокутний              прямокутний             тупокутний   

Два трикутники рівні, якщо вони суміщаються накладанням.

Властивість рівних трикутників: у рівних трикутників рівні відповідні сторони і відповідні кути.

 

 

 

 

 

 

 

Многокутники

 

AKBLCN – многокутник

Точки A, K, B, L, C, N – вершини

Відрізки – сторони

Суміжні сторони – дві сторони, що мають спільну вершину.

Дві суміжні сторони утворюють кут многокутника.

Многокутники

трикутник        чотирикутник       п-кутник 

Периметр многокутника – сума довжин усіх сторін.

Формули для знаходження периметра:

• многокутника: Р = па, де п – кількість вершин, а – сторона;
• прямокутника: Р = 2(а + b), де а і b – сторони прямокутника;
• квадрата: Р = 4а, де а – сторона квадрата.

Дві фігури називають рівними, якщо їх можна сумістити накладанням.

 

Площа прямокутника і квадрата

 

 

 

 

 

 

 

Одиничний квадрат – квадрат, сторона якого дорівнює одиниці довжини.

Одиниці площі:   1 мм², 1 см², 1 дм², 1 м²

           1 ар = 100 м²;       1 га = 10 000 м²

Визначити площу фігури – означає дізнатися, скільки одиничних квадратів вміщується в даній фігурі.

 

Площа прямокутника   = довжину помножити на ширину.

 

 

 

Площа квадрата = квадрату його стороні

 

 

 

Властивості:

1. Рівні фігури мають рівні площі.
2. Площа фігури дорівнює сумі площ її частин.

 

 

 

 

Прямокутний паралелепіпед. Куб. Піраміда  

Прямокутний паралелепіпед – має три виміри: довжину (a), ширину (b) і висоту (c); 6 граней, 12 ребер і 8 вершин, всі грані – прямокутники.

Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда з ребрами a, b і c              

 

Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда = сумі площ його граней.

 

Куб – прямокутний паралелепіпед, у якого всі грані – квадрати. Ребра – рівні (а).

Сума довжин усіх ребер куба з ребром a

 

 

Площа поверхні куба = сумі площ його граней.

 

 

Піраміда – має основу (многокутник), вершину піраміди, бічні грані – трикутники.

Види пірамід: трикутна (основа – трикутник), чотирикутна (основа – чотирикутник), п-кутна (основа – п-кутник)

 

 

§ 21. Об’єм прямокутного паралелепіпед і куба

Одиничний куб – куб, ребро якого дорівнює одиниці довжини.

Об’єм прямокутного паралелепіпеда = дорівнює добутку його ребер.

 

 

Об’єм куба = кубу його ребер.

 

 

Властивості:

1. Рівні прямокутні паралелепіпеди мають рівні об’єми.
2. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі об’ємів його частин.

Одиниці об’єму:     1 літр = 1 дм³

 

1

м3 дм3 см3

=

1000

дм3 см3 мм3

 

 

 

 

 

 

Дробові числа і звичайні дроби

Звичайний дріб =

Знаменник  - показує, на скільки рівних частин

                        поділено одне ціле.

Чисельник -  показує, скільки рівних частин

                        взято.

 

Правильний дріб:  чисельник < знаменник

Правильний дріб < 1

Неправильний дріб:  чисельник   знаменник

Неправильний дріб > правильний дріб

Неправильний дріб  1

Порівняння дробів:

Із двох дробів з однаковими знаменниками той дріб більший, в якого чисельник більший.

 

 

 

 

§ 24.  Дроби і ділення

 

Частку від ділення двох натуральних чисел можна подати у вигляді звичайного дробу.

7 = ;     15 : 4 =

Мішане число – ціла і дробова частина.

Правило виділення цілої частини з неправильного дробу.

Щоб виділити цілу частину з неправильного дробу, треба:

1) чисельник поділити на знаменник;

2) частку записати як цілу частину мішаного числа;

3) у чисельник дробової частини записати остачу від ділення;

4) знаменник залишити без зміни.

Правило перетворення мішаного числа в неправильний дріб.

Щоб перетворити мішане число у неправильний дріб, треба:

1) знаменник дробу помножити на цілу частину дробу і до результату додати чисельник дробу, отриману суму записати в чисельник.

2) знаменник залишити без зміни.

 

 

 

Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками

 

Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники і залишити той самий знаменник.

  

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба знайти різницю їх чисельників і залишити той самий знаменник.       

Правила:

Які б не були натуральні числа a, b i c, завжди

 

 

    i             при а > b

 

 

 

 

. Доповнення правильного дробу до одиниці. Віднімання дробу від натурального числа

 

Щоб знайти доповнення правильного дробу до одиниці, треба знайти різницю числа 1 і правильного дробу.

Наприклад: 

Щоб відняти дріб від натурального числа, треба записати натуральне число у вигляді неправильного дробу зі знаменником, як у даного дробу, виконати віднімання дробів та виділити цілу частину, якщо це потрібно.

Наприклад: 

 

 

 

 

 

§ 28.  Додавання і віднімання мішаних чисел

 

Щоб додати два мішані числа, треба спочатку додати цілі частини, а потім дробові.

  

Щоб відняти два мішані числа, треба спочатку відняти цілі частини, а потім дробові.       

Щоб відняти від цілого числа мішане, треба записати ціле число у вигляді мішаного із знаменником, як у даного мішаного числа і знайдені мішані числа відняти.

 

 

§ 29. Десяткові дроби

Звичайні дроби
Десяткові дроби	0,1	1,9	0,21	3,456

Сто двадцять три цілих чотириста п’ятдесят шість тисячних

Довідкова таблиця

 

	км	м	дм	см	мм
км		1000	10000	100000	1000000
м	0,001		10	100	1000
дм	0,0001	0,1		10	100
см	0,00001	0,01	0,1		10
мм	0,000001	0,001	0,01	0,1

 

Десятковий дріб = ціла частина , дробова частина

Дробова частина <  одиниці

Увага! У десятковому дробі після коми має стояти стільки цифр, скільки нулів у знаменнику відповідного звичайного дробу.

ПРАВИЛО 1

Із двох десяткових дробів більший той, у якого ціла частина більша. Якщо цілі частини дробів рівні, то більший той, у якого десятих більше. Якщо ж і десятих порівну, то більший той, у якого більше сотих і т. д.

3,25 > 2,16;  3,25 > 3,16;  3,25 < 3,26;

ПРАВИЛО 2

До десяткового дробу справа можна дописувати один або кілька нулів. Якщо десятковий дріб закінчується нулями, з дробової частини їх можна відкинути.

5,20 = 5,2

 

ПРАВИЛО 3

Будь-яке натуральне число можна записати у вигляді десяткового дробу, написавши після нього кому і кілька нулів після коми.

4 = 4,0

 

 

 

§ 30. Додавання десяткових дробів

ПРАВИЛО ДОДАВАННЯ

Щоб додати два десяткових дроби, треба підписати доданки так, щоб кома була під комою, цілі – під цілими, десяті – під  десятими, соті – під сотими і т. д. і виконати додавання.

  1,23  2,50

  4,56  0,23

  5,79  2,73

Увага! Якщо доданки мають різну кількість десяткових знаків, то можна їх зрівняти, приписуючи нулі.

ЗАКОНИ ДОДАВАННЯ

Які б не були числа а, b і с, завжди:

переставний                         сполучний

 

 

 

 

 

§ 30. Віднімання десяткових дробів

ПРАВИЛО ВІДНІМАННЯ

Щоб відняти два десяткових дроби, треба підписати зменшуване і від’ємник так, щоб кома була під комою, цілі – під цілими, десяті – під  десятими, соті – під сотими і т. д. і виконати віднімання.

  5,23  2,50

  4,11  0,23

  1,12  2,27

Увага! Якщо у зменшуваному після коми цифр менш, ніж у від’ємнику, або навпаки, то справа приписують нулі.

Відняти від  числа а  число b  означає знайти таке  число с, яке в сумі з числом  b дає число а.

            а  - b =  с                           с + b = а

 

 

§ 31а. Множення  десяткових дробів

ПРАВИЛО МНОЖЕННЯ

Щоб перемножити два десяткових дроби, треба перемножити їх, не звертаючи увагу на коми, а в добутку відокремити комою справа стільки цифр, скільки їх є після коми в обох множниках разом.

Увага!  Коли в добутку менше цифр, ніж треба відокремити комою, то спереду пишуть потрібну кількість нулів.

1,5  1,5

2,4      0,024

6 0  6 0

3 0                 3 0

 3,6 0        0,0 3 6 0

Закони множення

переставний

 

сполучний

 

розподільний

§ 31б. Окремі випадки множення  десяткових дробів

 

ПРАВИЛО 1

Щоб помножити десятковий дріб на 10, 100, 1 000, 10 000, треба в цьому дробі перенести кому вправо відповідно на одну, дві, три, чотири цифри.

Увага! Якщо цифр не вистачає, то справа дописують потрібну кількість нулів.

 

0,012 · 10 = 0,12;           0,012 · 100 = 1,2;  

0,012 · 1 000 = 12;

ПРАВИЛО 2

Щоб помножити десятковий дріб на 0,1; 0,01;  0,001; 0,0001, треба в цьому дробі перенести кому вліво відповідно на одну, дві, три, чотири цифри.

1,2 · 0,1 = 0,12;           1,2 · 0,01 = 0,012;  

1,2 · 0,001 = 0,0012;

Увага!  При множенні будь-якого числа на одиницю це число не змінюється.

 

 

 

§ 32а. Ділення  десяткового дробу на натуральне число

ПРАВИЛО ДІЛЕННЯ

Щоб поділити десятковий  дріб на натуральне число, треба поділити їх, не звертаючи увагу на коми, а в частці поставити кому, коли закінчено ділення цілої частини.

 

Увага! Якщо ціла частина діленого менша від дільника, то ціла частина частки дорівнює 0.

12,5 : 5 = 2,5;           1,25 : 5 = 0,25.

 

ПРАВИЛО

Щоб поділити  десятковий дріб на 10, 100, 1 000, 10 000, треба в цьому дробі перенести кому вліво  відповідно на одну, дві, три, чотири цифри.

 

Увага! Поділити число на 10, 100, 1 000, 10 000 – це те саме, що помножити його відповідно на  0,1; 0,01;  0,001; 0,0001.

 

ПРАВИЛО

Ділити одне натуральне число на друге, якщо ділене менше дільника, можна так, як ділять десятковий дріб на натуральне число, записавши ділене у вигляді десяткового дробу.

2 : 5 = 0,4;         10 : 50 = 0,2

 

§ 32б. Ділення десяткових дробів

ПРАВИЛО ДІЛЕННЯ

Щоб поділити число на десятковий дріб, треба в діленому й дільнику перенести кому вправо на стільки цифр, скільки їх є після коми в дільнику, а потім виконати ділення на натуральне число.

 

Увага!  Якщо в діленому після коми менше цифр, ніж у дільнику, то до нього дописують потрібну кількість нулів.

 

ПРАВИЛО

Яким би не було число а, завжди:

а : 0,1 = а · 10;

а : 0,01 = а · 100;

                        а : 0,001 = а · 1 000.

 

ПРАВИЛО

Щоб знайти число за його десятковим дробом, треба число, що відповідає даному дробу, поділити на цей десятковий дріб.

 

 

 

§ 33. Округлення чисел

26 : 6 = 4,333…

26 : 6  4,333 – наближене значення частки,

                          округлене до тисячних;

26 : 6  4,33 – наближене значення частки,

                        округлене до сотих;

 наближено дорівнює

Увага!  Округлюючи число, припускаються якоїсь похибки. Потрібно, щоб похибка була найменшою.

ПРАВИЛО ОКРУГЛЕННЯ

Якщо перша з відкинутих цифр 0, 1, 2, 3, 4, то останню цифру, що залишається, не змінюють.

Якщо перша з відкинутих цифр 5, 6, 7, 8, 9, то останню цифру, що залишається, збільшують на 1.

16,42  16,4;               16,46  16,5;

Увага!  Якщо округлюють натуральне число, то замість відкинутих цифр ставлять нулі.

26413  26400;         26475  26500;

 

 

§ 34. Відсотки

Відсоток (процент) – це одна  сота  частина.

1 к. = грн.           1 к. – 1% грн.

1 кг = ц               1 кг – 1% ц

1 см = м              1 см – 1% м

1 а   = га               1 а – 1% га

ПРАВИЛО Щоб записати відсотки десятковим дробом або натуральним числом, потрібно число, яке стоїть перед знаком %, поділити на 100.

Наприклад:        35 % = 35 : 100 = 0,35

ПРАВИЛО  Щоб виразити число у відсотках, потрібно його помножити на 100 %.

Наприклад:        0,12 = 0,12 · 100 % = 12 %

 

Проміле  – тисячна частина числа

Проба – кількість грамів дорогоцінного металу у 1 000 г.

 

 

 

 

§ 35. Задачі на відсотки

Задачі І типу: знаходження

               відсотків від числа

ПРАВИЛО

Щоб знайти відсоток від числа, треба дане число поділити на 100 і  результат помножити на кількість відсотків.

Наприклад:  

Знайти 20% від числа 300.

300 : 100 · 20 = 60.

Задачі ІІ типу: знаходження числа

                за його відсотками

ПРАВИЛО

Щоб знайти число за його відсотком, треба дане число поділити на кількість відсотків  і  результат помножити на 100.

Наприклад:  

Знайти число, 30% якого становить 60.

60 : 30 · 100 = 200.

§ 36. Середнє арифметичне. Середнє значення величин

ПРАВИЛО

Середнє арифметичне кількох чисел дорівнює сумі цих чисел, поділеній на їх кількість.

    - середнє арифметичне трьох чисел 

- середнє арифметичне чотирьох чисел 

Увага!  Якщо сума п чисел дорівнює S, то їх середнє арифметичне дорівнює S : п.

Середні значення величин:

1. Щоб знайти, скільки у середньому долає за годину учасник руху, треба обчислити середнє арифметичне відстаней на різних ділянках шляху.
2. Щоб знайти середній відсоток, треба обчислити середнє арифметичне заданих відсотків.