Многочлени в курсі алгебри 7 класу

МНОГОЧЛЕНИ ПРИ ВИВЧЕННІ АЛГЕБРИ В ЗАГАЛЬНООСВІТНІЙ ШКОЛІ

Анотація. У даній статті вивчається питання про особливості вивчення многочленів у загальноосвітніх навчальних закладах. На основі аналізу діючих програм з математики та підручників алгебри, наголошено на окремих моментах вивчення даних тем та на важливості їх розуміння при підготовці майбутнього вчителя математики.

Ключові слова. Методика навчання математики, многочлен, формули скороченого множення, групування, схема Горнера.

З поняттям многочленів учні знайомляться при вивченні алгебри в основній школі. Зокрема, згідно програми з математики для 7 класу [1] вивчається тема «Цілі вирази», що передбачає наступний зміст навчального матеріалу:

«Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази.

Тотожність. Тотожні перетворення виразу.

Степінь з натуральним показником. Властивості степеня з натуральним показником.

Одночлен. Піднесення одночленів до степеня. Множення одночленів.

Многочлен. Подібні члени многочлена та їх зведення.

Степінь многочлена.

Додавання, віднімання і множення многочленів.

Формули квадрата двочлена, різниці квадратів, суми і різниці кубів.

Розкладання многочленів на множники.» [1, ст. 21-22]

Відповідно до [1] очікуються такі результати навчально-пізнавальної діяльності учнів:

«Учень/учениця наводить приклади: числових виразів; виразів зі змінними; одночленів; многочленів; пояснює:

·   як знайти числове значення виразу зі змінними при заданих значеннях змінних;

·   що таке: тотожні вирази, тотожне перетворення виразу, одночлен стандартного вигляду, коефіцієнт;

формулює:

·   означення: одночлена, степеня з натуральним показником; многочлена, подібних членів многочлена, степеня многочлена;

·   властивості степеня з натуральним показником;

·  правила: множення одночлена і многочлена, множення двох многочленів;

розв’язує вправи, що передбачають: обчислення значень виразів зі змінними; зведення одночлена до стандартного вигляду; перетворення добутку одночлена і многочлена, суми, різниці, добутку двох многочленів у многочлен; розкладання многочлена на множники способом винесення спільного множника за дужки, способом групування, за формулами скороченого множення та із застосуванням декількох способів; використання зазначених перетворень у процесі розв’язування рівнянь, доведення тверджень.» [1, ст. 21-22]

Аналізуючи навчальні програми з математики для 10 – 11 класів рівнів стандарту, академічного, профільного та програму для класів з поглибленим вивченням математики, приходимо до висновку, що лише у [2] зазначена тема «Комплексні числа та многочлени».

Згідно діючої програми передбачається вивчення навчального матеріалу: «Многочлен та його корені. Розклад многочлена на незвідні множники. Кратні корені. Основна теорема алгебри. Теорема Вієта. [Многочлен третього степеня. Рівняння вищих степенів. Формула Кардано.]» [2, ст. 8]

Передбачаються такі навчальні досягнення учнів: виконують ділення многочленів з остачею; формулюють означення кратного кореня та знаходять його кратність; застосовують теорему Вієта до розв’язування задач.

Маємо відмітити, що теми стосовно вивчення та застосування многочленів є важливими темами при вивчення математики як основної, так і старшої школи. Саме тому майбутньому вчителеві математики необхідно приділити особливу увагу на окремі питання щодо викладання даних тем для того, щоб попередити помилки та прогалини у знаннях учнів. Крім того, при вивченні многочленів доцільно акцентувати увагу на різних (у тому числі й нестандартних) способах розв’язання вправ і задач, адже це може зацікавити учнів не лише до вивчення математики, а й спонукає займатись науковими дослідженнями.

Як показує  досвід, найбільш складною для сприйняття та розуміння учнями є тема «Розкладання многочлена на множники». Проте, уміння, сформовані у результаті вивчення цих питань, є ключем для розв’язання багатьох задач [3].

Вивчення теми про розкладання многочлена на множники передбачає розгляд таких класичних способів: групування; винесення спільного множника за дужки; застосуванням формул скороченого множення. Проте при розв’язанні деяких задач застосування зазначених способів самостійно чи в комбінації не дозволяє отримати бажаного розв’язку.

Якщо заданий многочлен має цілі коефіцієнти, то можна застосувати теорему Вієта. Учням варто пояснити, що якщо задано вираз вигляду, де – цілі числа, то цілі корені цього многочлена слід шукати серед дільників вільного члена.

Проілюструємо ці питання на прикладах.

Приклад 1. Розкладіть многочлен на множники.

Вивчаючи цю задачу зупинимось на трьох способах: групування, теорема Вієта та застосування формул скороченого множення.

1) При застосуванні методу групування наголосимо на тому, що даний за умовою задачі вираз необхідно подати у вигляді чотирьох доданків. Для цього, один із заданих доданків додамо у вигляді суми одночленів одного степеня. Для даної задачі варто вибрати вираз . Тоді многочлен матиме запис . Погрупувавши відповідні доданки, винісши відповідні множники за дужки, отримаємо перетворення

.

Таким чином розклад на множники знайдено.

2) Щоб застосувати теорему Вієта, слід наголосити на можливості відшукання коренів заданого многочлена. Для даного тричлена відомо, що для коренів  мають місце рівності

, .

Отже, . Тому .

3) Застосуємо формули скороченого множення. Виділимо повний квадрат відносно змінної . Впізнавши в отриманому виразі різницю квадратів, можна записати розклад

.

Провівши розв’язання даної задачі трьома способами, маємо відмітити що кожен з них може бути застосовний до відповідного рівня сформованості знань та вмінь учнів. Що стосується перспективи підготовки до Зовнішнього незалежного оцінювання та підготовки до Державної підсумкової атестації, то, як доводить практика, найбільш раціональним є метод з використанням теореми Вієта.

Приклад 2. Доведіть, що многочлен набуває додатних значень.

Для розв’язання даної задачі варто застосувати перетворення виразів та порівняти отриманий вираз з нулем.

  Виділивши квадрат двочлена, матимемо:

.

 Таким чином, даний многочлен вдалося подати у вигляді суми двох доданків та 14. Перший доданок завжди додатній, а другий це число 14, яке більше нуля. Отже, даний многочлен завжди набуває додатних значень.

Для успішного розв’язання такого типу задач, учні уміти застосовувати формули скороченого множення для виділення повного квадрату заданого виразу

Можна також запропонувати учням додатково проаналізувати отриманий результат, а саме, знайти найбільше і найменше значення даного виразу.

Виходячи з отриманої рівності, можна зробити висновок, що найменше значення виразу дорівнює 14. Цього найменшого значення многочлен набуває, при  . Проте знаходження найбільшого значення є більш складним завданням. Для його обґрунтування варто зупинитися на темах, що стосуються побудови графіків функцій. Що стосується даної задачі, то графіком функції є парабола з вершиною в точці з координатами (2; 14). Область значень . Відповідно найбільше значення заданого виразу можна знайти у випадку обмеженості області зміни незалежної змінної.

Приклад 3. Розкладіть даний многочлен на множники.

Для виконання даної задачі використаємо теорему Вієта та схему Горнера. Дільниками вільного члена є числа ±1; ±2; ±3, ±6. Необхідно підкреслити, що потрібно перевіряти дільники як із знаком «+» так із знаком «-». Інакше можна втратити корінь. Далі потрібно підставити знайдені числа у вираз по черзі починаючи з ±1 і далі по черзі. Як тільки при підстановці числа вираз буде дорівнювати 0, це число є корінь рівняння. Легко помітити, що коренем цього многочлена є число .

Для подальшого розв’язання необхідно поділити даний многочлен на двочлен . Для цього можна застосувати методи запропоновані у підручнику [4], зокрема метод поділу «кутом» многочлена на двочлен.

У даній роботі запропоновано застосування схеми Горнера [5].

Тоді даний многочлен матиме запис

.

Розглянемо многочлен третього степеня .  Легко помітити, що коренем цього многочлена є . Поділимо отриманий многочлен на двочлен , застосувавши схему Горнера.

Таким чином, отримаємо розклад на множники

.

Застосовуючи метод виділення повного, квадратичний тричлен запишеться у вигляді . Легко помітити, що такий вираз на множники над полем дійсних чисел не розкладається.

Отже, враховуючи проведений аналіз та розв’язання, даний за умовою задачі многочлен має наступний розклад на множники

.

Маємо наголосити, що схема Горнера не наведена у підручнику [4], проте її висвітлення на факультативних заняттях, гуртках, чи навіть уроках алгебри дозволить розширити кругозір учнів та спонукає до додаткового вивчення складніших тем з математики.

Таким чином, у даній роботі висвітлено окремі моменти щодо вивчення многочленів у загальноосвітніх навчальних закладах. Зокрема, основна увага надається питанню про розклад многочленів на множники. Вивчаючи дану проблему, легко помітити, що майбутній вчитель математики повинен не лише вміти розв’язувати задачі даного типу,  бачити різні способи отримання розв’язку, а й зуміти зацікавити учнів, сприяти формуванню їх основних навчальних досягнень.

Список використаної літератури

1. Математика 5 – 9 класи : навчальна програма для загальноосвітніх навчальних закладів.   Програма затверджена Наказом Міністерства освіти і науки України від 07.06.2017 № 804

URL:https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-serednya-osvita/navchalni-programi/

2. Навчальна програма з математики для учнів 10-11 класів загальноосвітніх навчальних закладів (для класів з поглибленим вивченням математики)

URL: https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-serednya-osvita/navchalni-programi

3.Бевз Г.П. Алгебра : підруч.для 7 кл.загальноосвіт.навч.закл. К. : Видавництво «Відродження», 2015. 288 с.

4. Мерзляк А. Г., Номіровський Д. А., Полонський В. Б., Якір М. С. Алгебра і початки аналізу. Профільний рівень : підруч. для 10 кл. загальноосвітніх навчальних закладів. Харків : Гімназія, 2010. 416 с.

5. Завало  С.Т., Костарчук В.Н., Хацет І.Б. Алгебра і теорія чисел: підручник   – Ч.2. К., Вища школа, 1980. 408 с.