26 жовтня о 18:00Вебінар: Сучасні методи та засоби організації уроку фізичної культури за стандартами НУШ

Науково-дослідницька робота «Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь»

Про матеріал
Об’єкт дослідження: система трьох лінійних рівнянь з трьома змінними Предмет дослідження: розв’язування систем лінійних рівнянь з трьома невідомими. Мета дослідження: поглибити знання і вміння розв’язування систем лінійних рівнянь з трьома невідомими. Методи дослідження: аналітичний, пошуковий, синтетичний.
Перегляд файлу

1

 

 

Відділ освіти виконкому Тернівської районної в місті ради

Криворізька загальноосвітня школа

I-III ступенів №61

Дніпропетровської області

 

 

 

 

 

 

 

 

Науково – дослідницька робота

 

«Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь»

 

 

 

     

 

 

 

 

Виконала роботу учениця 9 класу

КЗШ № 61

Науковий керівник:

вчитель математики

Шаміна Лариса Станіславівна

Вища категорія

 

 

 

 

 

 

 

м. Кривий Ріг

Зміст

Вступ …………………………………………………………………….3

Розділ I Система лінійних рівнянь…………………………………...4-6

Розділ II  Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса…………………………………………………………………..7-10

Розділ III Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом…………………………………………………..11-13

Розділ IV Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера……………………………………………………14-15                                                                                                          

Розділ V Застосування методів на прикладах……………………....16-23

Розділ VI Приклади для самостійного розв’язування……………....24

Висновок……………………………………………………………….25

Список використаної літератури…………………………………...26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Об’єкт дослідження:     система трьох лінійних рівнянь з                                                                                 трьома змінними 

Предмет  дослідження:     розв’язування систем лінійних                                                                               рівнянь з трьома невідомими.

Мета дослідження:        поглибити знання і вміння                                                                                        розв’язування систем лінійних                                                                                                              рівнянь з трьома невідомими.

Методи дослідження:    аналітичний,

      пошуковий,

      синтетичний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ I Система лінійних рівнянь

Лінійним рівнянням називають рівняння виду

a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b,

де (а1, а2, ... аn) - довільні дійсні числа, які називаються коефіцієнтами при невідомих (х1, х2, ... хn);

b- вільний член, який може набувати довільного дійсного значення.

 Якщо розглядати декілька лінійних рівнянь разом і ставити завдання знайти значення невідомих, які задовольнятимуть одночасно кожне з цих рівнянь, то

матимемо систему лінійних рівнянь (СЛР):

 

      a11x1+ a12x2 +a13x3+…+ a1nxn= b1;

a21x1+ a22x2+ a23x3+…+ a2nxn= b2;                    (1)

      ………………………………

      am1x1+ am2x2+ am3x3+…+ amnxn= bn;

СЛР (1) в залежності від її елементів може мати:

  1. один розв’язок;
  2. безліч розв’язків;
  3. зовсім не мати розв’язку.

У перших двох випадках СЛР називається сумісною, в третьому випадку - несумісною.

Сумісна СЛР називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і називається невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків.

Дві системи лінійних рівнянь з однаковим числом невідомих називаються рівносильними (еквівалентними), якщо вони мають однакові розв’язки або обидві несумісні.

Від заданої СЛР до рівносильної її системи можна прийти за допомогою елементарних перетворень, до яких відносяться:

  1. перестановка (транспозиція) двох довільних рівнянь системи місцями;
  2. множення обох частин довільного рівняння на відмінне від нуля число (або ділення);
  3. додавання до довільного рівняння системи іншого рівняння, помноженого, на відмінне від нуля число.

 

Для довільної системи лінійних рівнянь виконується: система або несумісна, або система яка має єдиний розв’язок, або система яка має безліч розв’язків.

 

 

 

 

Розглянемо СЛР (1) для трьох невідомих:

     a1x+ b1y+ c1z= d1;

     a2x+ b2y+ c2z= d2;                                             (2)

     a3x+ b3y+ c3z= d3;

     де a1, b1, ... , b3, c3- задані коефіцієнти;

     d1, d2, d3- задані вільні члени;

      x, y, z- невідомі.

Множина чисел x0, y0, z0 називається розв’язком СЛР (2), якщо при   

       підстановці x=x0, y=y0, z=z0 в СЛР (2) отримаємо числові тотожності.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ II Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса.

 

Одним з широко відомих методів розв’язування СЛР є метод Гауса, який полягає в послідовному виключенні невідомих шляхом елементарних перетворень:

  1. переміна місцями рівнянь системи;
  2. почленне множення обох частин одного з рівнянь на відмінне від нуля число;
  3. додавання до обох частин одного з рівнянь відповідних частин іншого рівняння.

Почнемо розв’язання СЛР (2) з виключення невідомого х в другому, а тоді і в третьому рівняннях. Для цього помножимо обидві частини першого рівняння системи (2) на (-а2), а обидві частини другого рівняння на а1, після чого додамо відповідні частини цих рівнянь. Результат цих елементарних перетворень матиме вигляд:

1а2х- b1a2y- c1a2z= -d1a2

+

 A2a1x+ b2a1y+ c2a1z= d2a1

___________________________

0·x+ (a1b2- a2b1)y+ (a1c2-a2c1)z= a1d2+ a2d1,

або, позначивши

 

2= a1b2- a2b1,  c´2= a1c2- a2c1,  d΄2= a1d2- a2d1,

запишемо нове рівняння:

0·x+ b΄2y+ c΄2z= d΄2

Отже, в другому рівнянні ми виключили невідоме х, тобто коефіцієнт при х став рівним нулю.

Аналогічно одержуємо b΄3= a1b3- a3b1,

                                         c΄3= a1c3- a3c1,

                                         d΄3= a1d3- a3d1.

Після цього третє рівняння матиме вигляд 0·x+ b΄3y+ c΄3z= d΄3.

Запишемо нову систему, еквівалентну системі (2):

 a1x+ b1y+ c1z= d1,

         b΄2y+ c΄2z= d΄2,                  (3)

         b΄3y+ c΄3z= d΄3.

Вважаючи, що b΄2≠0, виберемо його провідним елементом і виключимо y в третьому рівнянні за відомим правилом.

Складаємо нову систему, яка еквівалентна системі (3), а значить, і СЛР (2)

 a1x+ b1y+ c1z= d1,

         b΄2y+ c΄2z= d΄2,                  (4)

         c΄΄3z= d΄΄3.

Таким чином, систему (2) ми звели до еквівалентної, що має трикутну форму, системи (4), яка вже розв’язується легко. Знаходження x, y, z  із СЛР (4) називається зворотним ходом.

На практиці розв’язання систем лінійних рівнянь зручно вести за допомогою обчислювальної таблиці:

Коефіцієнти при

Вільні члени

Суми

Контроль

х

у

z

 

 

 

 

1

2

3

4

5

6

1

а1

b1

c1

d1

S1

 

2

а2

b2

c2

d2

S2

3

а3

b3

c3

d3

S3

4

0

b2'

с2'

d2'

S2'

 

2'

5

0

b3'

с3'

d3'

S3'

 

 

 

3'

6

0

0

с3''

d3''

S3''

 

3''

 

В таблиці    S1 = a1+b1+c1+d1,

   S2 = a2+b2+c2+d2,     - це суми елементів відповідних рівнянь.

           S3 = +b3+c3+d3,

В рядках 4 і 5 елементи перетворених за правилом прямокутника другого і третього рівнянь системи (2), а

  S2' = b2'+c2'+d2',

                  S3' = b3'+c3'+d3',

В шостому рядку елементи перетвореного третього рівняння системи

                 S3'' = c3''+d3'',

У стовпчику «контроль» записані результати перетворень за правилом прямокутника значень сум S2 і S3,тобто

     2' = a1S2 - a2S1= a1 (a2+b2+c2+d2) - a2(a1+b1+c1+d1)= (a1a2 - a2a1) +

(a1b2- a2b1) + (a1c2- a2c1) + (a1d2- a2d1) = 0 + b2'+c2'+d2'= S2'

                3' = a1S3 - a3S1 = S3'

Аналогічно             3'' = b1S3' - b3S2' = S3''

 Те, що суми S і      у стовпчиках 5 і 6 збігаються свідчить про вірність поточних результатів обчислень.

 Після заповнення всіх рядків 1-6 таблиці на основі даних в рядках 1,4,6 записуємо трикутну систему, з якої тоді починається зворотній хід.

 Метод Гаусса досить зручний для розв’язування вручну систем лінійних рівнянь з невеликою кількістю невідомих. Він з успіхом може бути використаний також для розв’язування лінійних систем на ЕОМ.      

 

 

 

 

 

 

Розділ III Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

 a11x + а12y + а13z = b1                                      

 a21x + а22y + а23z = b2

 a31x + а32y + а33z = b3

Запишемо такі матриці;

 

          a11  а12  а13               

А =   a21  а22  а23

        a31  а32  а33

         х                        b1

Х =   у               В =   b2

         z                        b3

де А складена з коефіцієнтів при невідомих – матриця системи, В – матриця вільних членів, Х матриця невідомих. Знайдемо добуток

 

           a11  а12  а13       х      a11х  а12х  а13х              

А =     a21  а22  а23        у     a21у  а22у   а23у       

          a31  а32 а33       z      a31z  а32z  а33z        

 

 Користуючись означенням рівності матриць, ми бачимо, що система ЛР є не що інше, як рівність відповідних елементів матриць стовпців АХ і В. Тому початкова система набуває форму матричного рівняння АХ = В

 Для розв’язання останнього помножимо зліва рівняння на обернену матрицю  А-1 , вважаючи, що det А0, отримаємо

 А-1 АХ= А-1 В

Але А-1 А = Е, а ЕХ=Х, тоді розв’язок матричного рівняння запишеться Х = А-1 В

 Покажемо, що з формули можна отримати формули Крамера. Дійсно, підставляючи в розв’язок матричного рівняння вирази А-1 і В, маємо

 

           х         1    А11  А21  А31           b1          1       А11b1  А21b1  А31b1

А =     у   =      А12  А22   А32          b2     =       А12b2  А22b2   А32b2    

          z                 А13  А23  А33        b3                 А13b3  А23b3  А33b3

  

 За теоремою про зміщення кожний елемент останньої матриці дорівнює значенням допоміжних визначників х, у, z, які були введені при розв’язуванні систем за формулами Крамера.

 Тому далі маємо:

           х         1      х

Х =     у   =        у      x =       ;  y =        ; z =      

  z                  z                                               

 

 Звернемо увагу на те, що в формулі співмножник А-1, залежить тільки від коефіцієнтів при невідомих, а В тільки від вільних членів. Тому, коли приходиться розв’язувати системи такого вигляду, з однаковими лівими частинами і різними вільними членами, то в таких випадках матричний розв’язок стає зручнішим: обернену матрицю А-1знаходимо тільки один раз і перемножуємо на нову матрицю В.

Алгоритм розв’язання

1. Скласти матрицю А,В,Х.

2. Обчислити визначник матриці А

3. Скласти АТ  - транспоновану матрицю для матриці А.(Для цього необхідно в матриці А записати рядки стовпцями)

4. Обчислюємо алгебраїчні доповнення Аij елементів визначника матриці АТ за формулою Аij = (-1)p · Mij

де Mij – мінор, р = i + j,  ijіндекси при коефіцієнтах

5. Скласти А-1обернену матрицю, яка складається з алгебраїчних доповнень.

 

       х        1

6.    у   = ·А-1 ·В

      z      

 

 

 

Розділ IV Розв’язування систем лінійних рівнянь за методом Крамера

Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими має вигляд:

a1x + b1y + c1z = d1                                      

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

 

де ai , bi , ci ,d i – довільні числа (i = 1,2,3), x, y, z – шукані невідомі.

Складемо із коефіцієнтів при невідомих таблицю:

 a1  b1  c1

 a2  b2  c2

 a3  b3  c3

 

Вона називається матрицею третього порядку. Міркуючи, аналогічно, отримуємо визначник третього порядку .

 

              a1  b1  c1

 =      a2  b2  c2       = a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1 – a3b2c1 – a1b3c2 – a2b1c3.

              a3  b3  c3

 

Такі визначники третього порядку зручно обчислювати дотримуючись схеми:

 

 

 

 

            Схема 1                                               Схема 2

Відрізками з’єднані три елементи, які перемножуються. Зі знаком «+» (схема 1) беруться добутки елементів головної діагоналі і вершин трикутників, в яких сторона паралельна головній діагоналі.

Зі знаком « – » (схема 2) беруться добутки елементів допоміжної діагоналі і вершин трикутників, в яких сторона паралельна допоміжній діагоналі.

Якщо тепер по черзі кожен стовпець замінити вільними членами, то дістанемо три нові визначники:

 

      d1  b1  c1

x  =     d2  b2  c2       = d1b2c3 + b1c2d3 + d2b3c1– d3d2c1– b3c2d1– d2b1c3

      d3  b3  c3

 

              a1  d1  c1

y  =     a2  d2  c2      = a1d2c3 +a3d1c2+ a2d3c1– a3d2c1 –а1d3c2 – a2d1c3,

                     a3  d3  c3 

 

              a1  b1  d1

z =      a2  b2  d2       = a1d2d3 + a3b1d2 + a2b3d1 – a3b2d1 – a1b3d2 – a2b1d3,

              a3  b3  d3 

 

Тоді, якщо ≠ 0, дістанемо формули Крамера x =       ;  y =        ; z =       .

Якщо ж  = 0, то можливі такі випадки:

а) х  ≠ 0, або у  ≠ 0 або z  ≠ 0. Тоді система розв’язків не має.

б) х  = у  = z  = 0 – система має безліч розв’язків.

 

 

 

Розділ V Застосування методів на прикладах

1. Метод Гаусса.

№ 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь.

x - 4y + 3z = 5;

2x - 7y + 2z = 3;

3x - 8y + 4z = 9;                                     

 

      

 1  -4   3   5

 2  -7   2   3

 3  -8   4   9

 

Помножимо перше рівняння на (-2) і додамо його до другого. Помножимо перше рівняння на (-3) і додамо його до третього. Отримаємо:  

 

 1  -4   3   5

 0   1   -4  -7

 0   4   -5  -6

 

Помножимо друге рівняння на (-4) і додамо його до третього.

Отримаємо:

 

 1  -4   3   5

 0   1   -4  -7

 0   0   11  22

 

 

 x - 4y + 3z = 5;              x = 3;

     7y - 4z = -7;               y = 1;

          11z = 22;               z = 2.

                   

Відповідь: ( 3; 1; 2).        

№2 Розв’язати систему лінійних рівнянь (за допомогою обчислювальної таблиці).

 

 

 

п/п

Коефіцієнти при

Вільні

члени

Суми

Контроль

x

y

z

 

1

2

3

4

5

6

1

1

-4

3

5

5

 

2

2

-7

2

3

0

 

3

3

-8

4

9

8

 

4

 

1

-4

-7

-10

-10

5

 

4

-5

-6

-7

-7

6

 

 

11

22

33

33

 

 

 

Рядок 4

(4, 2):  – 2 · (– 4) – 7 = 1;

(4, 3):  – 2 · 3 + 2 = 4;

(4, 4):  5 · (– 2) + 3 = – 7;

(4, 5):  1 – 4 – 7 = – 10;

(4, 6):  5 · (– 2) + 0 = – 10.

 

Рядок 5

(5, 2):  – 4 · (– 3) – 8 = 4;

(5, 3):  – 3 · 3 + 4 = – 5;

(5, 4):  5 · (– 3) + 9 = – 6;

(5, 5):  4 – 5 – 6 = – 7;

(5, 6):  5 · (– 3) + 8 = – 7.

 

Рядок 6

(6, 3):  – 4 · (– 4) – 5 = 11;

(6, 4):  – 7 · (– 4) – 6 = 22;

(6, 5):  11 + 22 = 33;

(6, 6):  – 4 · (– 10) – 7 = 33.

 

За даними рядків 1, 4, 6 записуємо трикутну систему

    x – 4y + 3z = 5;

            y – 4z = – 7;

                11z = 22;

 

 

Зворотний хід.

z = 22  11 = 2;

y = – 7 + 4 · 2 = 1;

x = 4 · 1 – 3 · 2 + 5 = 3.

Відповідь: ( 3; 1; 2 ).

 

 

 

 

 

 

2. Матричний метод

 

x - 4y + 3z = 5;

2x - 7y + 2z = 3;

3x - 8y + 4z = 9;                                     

 

       1  -4   3  

А =   2  -7   2  

       3  -8   4  

 

          х                          8

Х =    у               В =     6

          z                          2

 

 

       1  -4   3  

|А| =   2  -7   2   = 11;

       3  -8   4  

 

 

       1   2   3  

АТ =  -4  -7 -8  ;

       3   2   4  

 

        

А11 =  -7 -8    = -12;

         2   4  

 

        

А12 = -  -4 -8    = -8;

           3   4  

 

       

А13 =   -4 -7    = 13;

         3   2  

 

       

А21 = -   2  3    = -2;

           2  4  

 

 

А22 =   1   3    = -5;

         3   4  

 

 

А23 = -   1   2    = 4;

           3   2  

 

 

А31 =   2   3    = 5;

        -7  -8  

 

 

А32 = -   1   3    = -4;

           -4  -8  

 

 

А33 =   1   2    = 1;

        -4  -7

 

 

       -12  -8   13  

А-1 =  -2   -5    4    

        5   -4    1  

 

 

 

         х                    -12  -8   13     5                  -60  -24  +117                 33       3

         у    =  1/11    -2   -5    4    ·   3 = 1/11   -10  -15  +36     = 1/11   11  =   1

         z                     5   -4    1        9                   25  -12  +9                     22       2   

       

х = 3

у = 1

z = 2         

       

 

Відповідь: ( 3; 1; 2).         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Метод Крамера

 

 

№ 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь.

x - 4y + 3z = 5;

2x - 7y + 2z = 3;

3x - 8y + 4z = 9

 

           1   -4    3                                

=    2   -7    2   = -28 -48 -24 + 63 +32 +16 =11;

           3   -8    4

     

 

             5   -4    3                                

  x=   3   -7    2   = -140 – 72 – 72 + 189 +48 + 80= 33;

             9   -8    4

     

 

             1    5    3                                

  y =  2    3    2   = 12 + 30 + 54 – 27 – 40 – 18 = 11;

             3    9    4

     

 

             1    -4    5                                

  z =  2    -7    3    = - 63 – 36 – 80 + 105 + 24 + 72 =22;

             3    -8    9

     

  

   x =       ;  y =        ; z =          

            

   x = 3; у =1; z = 2                  

  Відповідь: ( 3; 1; 2).         

 

           

 

 

 

 

 

 

№2. Розв’язати систему лінійних рівнянь.

    

      9x + 3y + 6z = 18;

     6x - 3y - 3z = 6;

     12x - 6y - 6z = 18;                                     

      

            9    3    6                                

=    6   -3   -3   = 0;

           12  -6   -6

     

 

            18    3    6                                

  x=   6   -3   -3   ≠ 0;

            18  -6   -6

            

 

             9   18  6

y =    6   6   -3    ≠ 0;

            12  18  -6 

 

   9    3   18

z =   6   -3   6    ≠ 0;

           12  -6  18

 

= 0; х  ≠ 0, або у  ≠ 0 або z  ≠ 0 - система розв’язків не має

Відповідь: Система розв’язків не має.

 

 

 

 

 

 

 

 

№ 3. Розв’язати систему лінійних рівнянь.

      2x - 5y + z = -2;

     4x + 3y - 6z = 1;

     2x + 21y - 15z =8;                                     

      

            2   5   1

=    4   3  - 6   = 0;

           2  21 - 15                                   

 

           -2   -5   1                                

x=   1    3   -6   = 0;

           8   21 -15

            

            2  -2   1

y =   4   3   -6    = 0;

            2  21 -15 

 

    2   5  -2

z =    4   3    1    = 0;

             2  21   8

 

= х  = у  = z  = 0 – система має безліч розв’язків

 

Відповідь: Система має безліч розв’язків.

 

 

 

 

 

 

 

Розділ VI Приклади для самостійного розв’язування.

          2x - 2у – z =3;

1.       3х + 4у - 5z = 1;

         -5х – 4у + 3z = -15;

 

    

          4x + 4у + z = -27;

2.       -5х + 5у + 4z = -1;

          2х – у - 3z = -5;

 

 

          -4x - 4у + 2z = -12;

3.       -5х + 4у + 5z = -22;

          -2х + 3у - z = -9;

 

 

          2x - у + 5z = -2;

4.       4х + у + 5z = 12;

          4х - 4у - 5z = 22;

 

  

          4x + у - 3z = -34;

5.       -5х - 2у + 2z = 41;

          2х - 4у - 3z = 1.

 

 

 

 

 

 

 

Висновок

 Отже можна зробити такий висновок, що системи лінійних рівнянь з трьома невідомими  можна розв’язувати такими методами: Крамера, Гаусса, матричним методом.

 Всі ці методи єднає одна схожа система розв’язку. Наприклад при матричному способі розв’язку за теоремою про зміщення кожний елемент останньої матриці дорівнює значенням допоміжних визначників х, у, z, які були введені при розв’язуванні систем за формулами Крамера.

 Метод Гаусса досить зручний для розв’язування вручну систем лінійних рівнянь з невеликою кількістю невідомих. Він з успіхом може бути використаний також для розв’язування лінійних систем на ЕОМ.  

 Матричний метод зручний тим, що у нього досить зрозумілий та простий алгоритм розв’язання.

Метод Крамера найбільш простий при застосуванні схем, за якими можна обчислювати визначники третього порядку.

 Всі ці методи досить зручні та цікаві, користуючись ними, я навчилась, розв’язувати системи лінійних рівнянь з трьома невідомими іншими способами, а не традиційними, які ми вивчаємо в школі.

 

 

 

 

Список використаної літератури

1. Гудименко Ф. С., Борищенко Д. М., Волкова В. О., Ющенко О. А.  Збірник задач з вищої математики. К., 1967.

2. Горделадзе Ш. Г., Кухарчук М. М., Яремчук Ф. П. Збірник конкурсних задач з математики. – К., 1998.

3. Дубовик В. П., Юрик І. І., Вища математика: Навчальний посібник – К.: Видавництво А. С. К., 2003. – 684 с.

4. Курош А. Г. Курс вищої алгебри. – К., 1990.

5. Барановська Г. Г., Ясінський В. В. Практикум з математики. Алгебра: На допомогу абітурієнту. – К.: Київська правда, 1997.