Найпростіші тригонометричні рівняння у = tgx та y = ctg x

Тема уроку: Найпростіші тригонометричні рівняння: tg x = a, ctg x = a.

Згадай.x𝟐 = а,  | x = а, |^𝟐 tg x = а. |arctg 

Функція y = tgx неперервна і зростає на проміжку−𝛑𝟐;𝛑𝟐, отже на цьому проміжку вона маєобернену функцію, яка називається арктангенсом. {D7 AC3 CCA-C797-4891-BE02-D94 E43425 B78}                                                                                                        𝝅𝟐 xy−𝝅𝟐 1-10𝝅 −𝝅 𝒚=𝒕𝒈𝒙 

Арктангенсом числа х (arctg x) називається кутз проміжку (−𝝅𝟐;𝝅𝟐) тангенс якого дорівнює х. Наприклад. Чому дорівнює arctg 𝟑𝟑 ?За означенням маємо: arctg 𝟑𝟑 = α, tg α = 𝟑𝟑. Отже α = 𝝅𝟔 . Тому arctg 𝟑𝟑 = 𝝅𝟔 .  Означення

Згадай.x𝟐 = а,  | x = а, |^𝟐 сtg x = а. |arcсtg 

Функція y = ctgx неперервна і спадає на проміжку𝟎;𝛑, отже на цьому проміжку вона маєобернену функцію, яка називаєтьсяарккотангенсом. {D7 AC3 CCA-C797-4891-BE02-D94 E43425 B78}                                                                                                        𝝅𝟐 xy−𝝅𝟐 1-10𝝅 −𝝅 𝒚=𝒄𝒕𝒈𝒙 

Арккотангенсом числа х (arcсtg x) називаєтьсякут з проміжку (𝟎;𝝅) котангенс якогодорівнює х. Наприклад. Чому дорівнює arcсtg 𝟑?За означенням маємо: arcсtg𝟑= α, сtg α =𝟑. Отже α = 𝝅𝟑 . Тому arcсtg𝟑= 𝝅𝟑 .  Означення

arctg (-х) = - arctg х.arcctg (- х) = π - arcctg х. Властивості обернених тригонометричних функцій, які потрібні при розв'язуванні рівнянь:

{D7 AC3 CCA-C797-4891-BE02-D94 E43425 B78}                                                                                                        𝝅𝟐 xy−𝝅𝟐 1-10𝝅 −𝝅 𝒚=𝒕𝒈𝒙 tg x = b, x = arctg b + πk, k ∈𝒁. tg (-2x) = - 1, - tg (2x) = - 1, tg (2x) = 1, 2x = arctg 1 + πk, k ∈𝒁. 2x = 𝝅𝟒 + πk, k ∈𝒁, x = 𝝅𝟖 + 𝝅𝟐 k, k ∈𝒁. 𝒚=𝒃 

{D7 AC3 CCA-C797-4891-BE02-D94 E43425 B78}                                                                                                        𝝅𝟐 xy−𝝅𝟐 1-10𝝅 −𝝅 𝒚=𝒄𝒕𝒈𝒙 ctg x = b, x = arcctg b + πk, k ∈𝒁. arcсtg (-х) = π - arcсtg х.ctg (-2x) = 1, - ctg (2x) = 1, ctg (2x) = - 1,2x = arcctg (-1) + πk, k ∈𝒁,2x = π - 𝝅𝟒 + πk, k ∈𝒁, x = 𝟑𝝅𝟖 + 𝝅𝟐 k, k ∈𝒁. 𝒚=𝒃 

Розв'язання. Оскільки маємо перед х від'ємний коефіцієнт, тозапишемо рівняння у такому вигляді: tgх−𝝅4 = 𝟑. х = 𝟕𝝅12 + 𝝅𝒌,𝒌∈𝒁. Розв'язати рівняння: tg𝝅4−х = - 𝟑. Приклад.х−𝝅4 = arctg𝟑 + 𝝅𝒌,𝒌∈𝒁, х = 𝝅3 + 𝝅4 + 𝝅𝒌,𝒌∈𝒁, 

§ 4, п.29 № 29.2(1,2) № 29.4(1,2), № 29.6(1,2), № 29.8(1,2). Домашня робота:

Здобувайте знання із задоволенням!Будьте у ресурсі!Під час повітряної тривоги ідемо в укриття або дотримуємось правила двох стін!Тримаймо стрій! Все буде Україна!

4 Презентація створена вчителем математики. Ліцею №1 м. Житомира. Панським Володимиром Анатолійовичем2026