Посібник з алгебри "Функції"

Про матеріал

Методичний посібник з теми "Функції" включає в себе розділ тригонометрія із практичною частиною

Перегляд файлу

Вступ

Функція в математиці — це правило, яке кожному елементу з першої множини — області визначення ставить у відповідність елемент з іншої множини — області значень. Часто цю другу множину називають цільовою множиною чи образом функції чи відображення.

Відображення f, яке ставить у відповідність кожному елементові множини A єдиний елемент множини B позначається як f:A→B (тобто f відображує A в B).

РИС.1

На рисунку 1 однозначна функція f відображає область визначення X в цільову множину Y; менший овал всередині Y — це область значень функції f

Функцією

називають залежність між змінними x та y, при якій кожному значенню x відповідає єдине значення змінної y.

Змінну x при цьому називають незалежною змінною.

Ще цю незалежну змінну називають аргументом функції. Залежну змінну y називають значенням функції, або просто функцією.

Графіком функції

називають лінію на координатній площині, для кожної точки (x;y) якої абсциси належать області визначення функції, а ординати дорівнюють відповідним значенням функції.

Числові функції

Функція, ії властивості та графік

Нехай X и Y деякі числові множини

Якщо кожному за деяким правилом F ставиться у відповідність єдиний елемент токажуть, що Задана функція. Позначається

Де Х – аргумент чи незалежна змінна функції; У – значення функції чи залежна змінна.

Безліч Х значень незалежної змінної називається областю визначення функції і позначається або

Безліч всіх значень залежної змінної Y називається Множиною значень функції та позначається або

Графіком функції називається безліч усіх точок площини з координатами де

Властивості функції:

1. Парність та непарність функції.

Функція называєтся парною , якщо

1) – симетрична множина щодо

2) для будь якого виконується рівність

Функція называєтся непарною, якщо :

1) – симетрична множина щодо

2) для будь якого виконується рівність

Якщо функція є парною чи непарною, то гкажуть , що вона має властивість парності.

Графік парної функції симетричний щодо осі Оу , графік непарної – щодо початку координат.

2. Періодичність функції.

Функция с областью визначення називається Періодичною, якщо існує таке число что для будь якого значення виконуються умови:

Число Т називають Періодом функції.

Числа де также будут періодами функції.

Найменший із додатних періодів, якщо він існує, називається Основним періодом.

Значення періодичної функції повторюються через період Т.

Отже, для побудови графіка даної функції достатньо побудувати частину графіка на будь-якому проміжку довжини Т (из ), а потім зробити паралельне перенесення даної частини графіка вздовж осі Ох на .

3. Монотонність функції.

Нехай Х1, Х2 – довільні значення з області функції такі, що

Якщо за даної умови виконується:

то функція називається Зростаючою;

– Спадною

– Неспадною;

– Незростаючою.

Зростаючі, спадні, неспадні, незростаючі функції називаються монотонними функціями (зростаючі та спадні – строго монотонними).

4. Проміжки знакості функції. Нулі функції

Числові проміжки, на яких функція зберігає свій знак (т. б. або ), називаються Проміжками знакопостійності.

Значення аргумента при яких функція называются Нулями функції . Нулі функції – це точки перетину графіка функції з віссю Ох.

Перетворення графіків функцій

1. Паралельне перенесення

Графік функції y=f(x)+B виходить паралельним перенесенням графіка функції y=f(x) у додатному напрямку вздовж осі Оу на відстань, якщо В>0 і в від'ємному напрямку вздовж осі Оу,якщо B<0.

Графік функції y=f(x+b) виходить паралельним перенесенням графіка функції y=f(x) у додатному напрямку вздовж осі Оx на відстань b, если b<0 і в від'ємному напрямку вздовж осі Оx, якщо b>0.

2. Відображення

Графік функції y=-f(x) виходить симетричным відображенням графіка y=f(x) відносно осі Ох.

Графік функції y=f(-x) виходить симетричным відображенням графіка y=f(x) відносно осі Оу.

3. Деформація (розтягування та стиснення) графіка

Графік функції y=Af(x), виходить розтягуванням графіка y=f(x) вздовж осі Оу від осі Ох в A раз при A>1 або стисненням вздовж осі Оу до осі Ох в раз при A<1.

Графік функції y=f(ax), виходить стисненням графіка y=f(x) вздовж осі Ох до осі Оу у а разів при а>1 або розтягуванням вздовж осі Ох до осі Оу у разів при а<1.

4. Відбиток

Графік функції виходить із графіка функції y=f(x) наступним чином: частина графіка функції y=f(x), що лежить над віссю Ох і осі, залишається без змін, а частина графіка, що лежить під віссю Ох, відбивається симетрично щодо осі Ох на верхню полуплоскость.

Графік функції виходить з графіка функції y=f(x) наступним чином: частина графіка функції y=f(x), що відповідає невід'ємним значенням аргументу (х≥0) залишається без змін, а негативним значенням аргументу буде відповідати графік, отриманий шляхом симетричного щодо осі Оy відображення частини графіка, залишеної без змін

Тригонометричні функції

Знаки тригонометричних функці й

Знаки чисел

sin α , cos α , tg α , ctg α

визначаються тим, у якому квадранті (чверті) координатної площини Oxy лежить промінь OM (рисунки 1, 2, 3, 4).

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Рис.1. Знак sin α


Рис.2. Знак cos α	. Знак cos α

cos α

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Рис.3. Знак tg α Рис.4. Знак сtg α

косинус – парна функція, а синус, тангенс та котангенс – непарні функції

період функції косинус, синус -2п, тангенс та котангенс-п

Графіки тригонометричних функцій

На рисунках 1, 2, 3, 4 наведено графіки тригонометричних функцій

Графики тригонометрических функций график синуса

Рис.1 Графік функції y = sin x

Графики тригонометрических функций график косинуса

Рис.2 Графік функції y = cos x

Графики тригонометрических функций график тангенса

Рис.3 Графік функції y = tg x

Графики тригонометрических функций график котангенса

Рис.4 Графік функції y = ctg x

Таблиця формул приведення

Аргумент	Формула приведення
Аргумент	синус	косинус	тангенс	котангенс
– α	– sin α	cos α
	cos α	sin α
	cos α	– sin α
π – α	sin α	– cos α
π + α	– sin α	– cos α
	– cos α	– sin α
	– cos α	sin α
2π – α	– sin α	cos α
2π + α	sin α	cos α

Таблица основних значень синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Основні тригонометричні формули

Зв'язки між тригонометричними функціями одного кута

sin²α + cos²α = 1

Основные тригонометрические формулы связи между тригонометрическими функциями одного угла

Тригонометричні функції суми та різниці двох кутів

Формула	Назва формули
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β	Синус суммы
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β	Синус разности
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β	Косинус суммы
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β	Косинус разности
	Тангенс суммы
	Тангенс разности

Тригонометричні функції подвійного кута

Формула	Назва формули
sin 2α = 2 sin α cos α	Синус подвійного кута
cos 2α = cos ²α – sin²α cos 2α = 2cos ²α – 1 cos 2α = 1 – 2sin ²α	Косинус подвійного кута
	Тангенс подвійного кута

Формули зниження ступеня для квадратів тригонометричних функцій

Формула	Назва формули
	Вираз квадрата синуса через косинус подвійного кута
	Вираз квадрата косинуса через косинус подвійного кута
	Вираз квадрата тангенсу через косинус подвійного кута

Формули зниження ступеня для кубів синуса та косинуса

Формула

Назва формули

Вираз куба синуса через

синус кута та синус потрійного кута

Вираз куба косинуса через

косинус кута та косинус потрійного кута

Вираз тангенсу через синус та косинус подвійного кута

Основные тригонометрические формулы выражение тангенса через синус и косинус двойного угла

Перетворення суми тригонометричних функцій на добуток

Формула	Назва формули
	Сума синусів
	Різниця синусів
	Сума косинусів
	Різниця косинусів
	Сума тангенсів
	Різниця тангенсів

Перетворення добутку тригонометричних функцій у суму

Формула	Назва формули
	Добуток синусів
	Добуток косинусів
	Добуток синуса и косинуса

Вираз тригонометричних функцій через тангенс половинного кута.

Формула	Назва формули
	Вираз синуса кута через тангенс половинного кута
	Вираз косинуса кута через тангенс половинного кута
	Вираз тангенсу кута через тангенс половинного кута

Тригонометричні функції потрійного кута

Формула	Назва формули
sin 3α = 3sin α – 4sin³α	Синус потрійного кута
cos 3α = 4cos³α –3cos α	Косинус потрійного кута
	Тангенс потрійного кута

Зворотні тригонометричні функції

Припустимо, що число a задовольняє нерівності . Число x називають арксинусом числа a та позначають x = arcsin a, якщо виконані дві умови:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

Припустимо, що число a задовольняє нерівності . Число x назиають арккосинусом числа a та позначають x = arccos a, якщо виконані дві умови

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

Розглянемо довільне число a. Число x називають арктангенсом числа a та позначають x = arctg a, якщо виконані дві умови:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

Розглянемо довільне число a. Число x називають арккотангенсом числа a и обозначают x = arcctg a, якщо виконані дві умови:

Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс

Арксинус, арккосинус, арктангенс та арккотангенс задовольняють, зокрема, наступним співвідношенням:

arcsin (– a) = – arcsin a ,

arccos (– a) = π – arccos a ,

arctg (– a) = – arctg a ,

arcctg (– a) = π – arcctg a .

Найпростіші тригонометричні рівняння

Найпростішими тригонометричними рівняннями називають рівняння виду:

sin x = a , cos x = a , tg x = a , ctgx = a .

де a - довільне число.

Розв'язання рівняння sin x = a

Звичайна форма

запису рішення

Більш зручна форма

запису рішення

Простейшие тригонометрические уравнения

Обмеження

на число a

У випадку, коли ,
рівняння рішень не має

Розв'язання рівняння cos x = a

Звичайна форма

запису рішення

Більш зручна форма

запису рішення

Простейшие тригонометрические уравнения

Обмеження

на число a

У випадку, коли ,
рівняння рішень не має

Розв'язання рівняння tg x = a

Звичайна форма

запису рішення:

Більш зручна форма

запису рішення

Простейшие тригонометрические уравнения

Обмеження

на число a

Обмежень не має

Розв'язання рівняння ctg x = a

Звичайна форма

запису рішення

Більш зручна форма

запису рішення

Простейшие тригонометрические уравнения

Обмеження

на число a

Обмежень не має

Самостійна робота

1. Знайдіть область визначення функції

2. Знайдіть нулі функції у = 9x - x2

3. Установіть відповідність між функцією (1-3) та її значенням у точці х0 = -2 (1-4)

4.Чи проходить графік функції у = f(x) через точку M, якщо:

5. Побудуйте графік функції у = x2 - 4x при x ≥ 0. Добудуйте його так, щоб утворений графік задавав парну функцію

6. Установіть відповідність між кутом (1-3) і координатною чвертю (А-Г), у якій розміщена точка Р(1;0), отримана внаслідок повороту на цей кут.

7. Укажіть два значення х, при яких:

1) sin х = 0;

2) cos х = -1;

3) sin х = 1.

8. Знайдіть значення виразу

9. Яка з наведених формул неправильна?

10. Обчисліть cos α, якщо

11. Обчисліть:

12. Користуючись графіком функції y = sin x, з’ясуйте:

1) при яких значеннях x, що належать проміжку [0;3π], функція набуває від’ємних значень;

2) зростає чи спадає функція y = sin x на проміжку

13. Обчисліть:

14. Скоротіть дріб:

15. Подайте вираз cos27α + cos17α у вигляді добутку

16. Спростіть вираз

17. Знайдіть значення виразу якщо tg α = 0,75.

18. Розв’яжіть рівняння

19. Установіть відповідність між рівнянням (1-3) та його розв’язками (А-Г).

20. Розв’яжіть рівняння:

docx

Завантажити

Зберегти на потім

Додав(-ла)

Романенко Тетяна

Пов’язані теми

Алгебра, 10 клас, Матеріали до уроків

До підручника

Алгебра і початки аналізу (академічний рівень) 10 клас (Нелін Є.П.)

До уроку

РОЗДІЛ 3. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

Додано

15 лютого

Переглядів

231

Оцінка розробки

Відгуки відсутні