Нерівності. Теорія та практика

Доведення нерівностей

1.Довести нерівність: , якщо а>0;b>0.

Доведення. Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності:

. Оскількиа>0, b>0,то ab>0.Оскільки (a–b)²≥ 0, то, отже, нерівність доведена.

Сума додатних взаємно обернених чисел не менша за 2.

Зауваження:рівність має місце при а = b.

2.Довести нерівність:, якщо а ≥ 0;b ≥ 0.

Доведення. Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності:

. Оскільки(длявсіха ≥ 0;b ≥ 0),то ,тобтонерівністьдоведена. Середнє арифметичне двох невід'ємних чиселне менше за їх середнє геометричне.

Зауваження:рівність має місце лише при а = bабо а = b = 0.

Приклад. Доведемо нерівність.

Доведення. Подамо виразу вигляді. Отже,є середнім арифметичним чисел b² + 4і 1, b²+41, тому за доведеною нерівністю 2 ця величина більша за середнєгеометричне цих чисел, тобто , тобто.

Основні властивості числових нерівностей

1.Якщо a > b, то b< a.

Доведення

a >ba–b>0b–a= -(a–b)<0b<a.

2.Якщо a<b, b<c, то a<c.

Доведення

a<ba–b<0;b <cb–c<0,тобто(a – b)+(b–c)<0.

(a–b)+(b–c) = a–b+ b–c= a–c<0a<c.

3.Якщо а<b, ас — будь-яке число, то а + с<b + с.

Доведення

a<ba – b<0; a – b= a + c – c – b= (a + c)+(b + c)<0a + c<b+c.

4.Якщо a<b, c>0, то aс <bс і.

Якщо а<b, с<0, то ас>bc;.

Доведення

a<ba–b<0;ac–bc = c(a–b),причомуякщос>0,то с(а–b)<0, а якщо с<0, то с(а–b)>0.

Отже, якщо а<bі с>0, то ас<bc; c<0, то ас>bс.

Нерівності і доводимо аналогічно.

Наслідки з властивостей числових нерівностей

1.Якщо а<b + с, то а–с<b.

Доведення

a<b + ca–(b+c) < 0,тоді а–b–с= (а–с)–b<0,тобто а–с<b.

2.Якщо а>0іb>0,іa<b,то.

Доведення

a<ba – b<0..

.

Приклад. Відомо, що а<b. Порівняємо значення виразів: 2а + 3і 2b+5.

Розв'язання

а<b | ∙2;оскільки 2>0, то 2а<2b|+3; 2а + 3<2b+3.

3<5|+2b; оскільки 2>0, то 2b + 3 < 2b+5.

Отже,2а + 3<2b + 5.

Якщо точне значення величини х не відоме, але можна визначити, між якими числами а і Ь це значення міститься на числовій прямій (тобто a< х < Ь ), то кажуть, що значення величини оцінено х.

Приклад. Відомо, що -1 <х <3. Оцінимо значення виразу 2x–5.

Розв'язання

Встановимо послідовність дій у виразі 2х–5: спочатку х помножимо на 2, а потім додамо до цього виразу -5: х2 ∙ х2 ∙ х–5.

Помножимо всі частини одержаної нерівності -1 <х <3 на 2 > 0, при цьому знак нерівності не зміниться: -2 <2х < 6.

Додамо до всіх частин нерівності число -5, при цьому знак нерівності не зміниться: -7<2х–5<1.

Теорема (властивість) про почленне додавання

числових нерівностей

Якщо а<bі c<d, то a + c<b+d.

Доведення

.

Теорема (властивість) про почленне множення

числових нерівностей

Якщо 0<а<b і 0<c<d, то ac<bd.

Доведення

.

Наслідок. Якщо 0<а<b, то aⁿ<bⁿ, де п — натуральне число.

Доведення

(за теоремою про почленне множення числових нерівностей).

Приклад 1. Відомо, що 3<а<4; 2 <b< 3. Оцінимо значення виразу:

1)а + b;2) а-b;3) аb;4).

Розв'язання

1)

2)а- b = а+(-b)

2<b <3| ∙ (-1)

    - 2>-b>-3

3)

4)

(0<)2<b <3

Приклад 2. Доведемо нерівність (т + п)(тп + 1)>4тп, якщо т>0, п>0.

Доведення

Використавши нерівність (де а≥ 0, b≥ 0)таодержану з неї нерівність a + b ≥ 2 (а≥ 0, b ≥ 0),для m ≥ 0 і п ≥ 0 маємо:

т + п ≥ 2,(1)

тп+1 ≥ 2.(2)

За теоремою про почленне множення нерівностей перемножимо нерівності (1) і (2) почленно. Тоді маємо:

(т + п)(тп + 1) ≥ 2∙ 2,

(т + п)(тп + 1) ≥ 4, отже,

(т + п)(тп + 1) ≥ 4тп, де m≥ 0, п ≥ 0.

Нерівності з однією змінною та їхні системи і сукупності

1.Нерівність з однією змінною

Якщо двавиразизі змінноюпоєднатиодниміззнаків > (більше); < (менше); ≥ (більше або дорівнює); ≤ (менше або дорівнює), то отримаємо нерівність з однією змінною.

Наприклад: х² + 1>х–1;3х–1 ≥ x + 2; ≤ х–3і т. д.

Розв'язком нерівності зі змінною називається значення змінної, при якому дана нерівність перетворюється на правильну числову нерівність. Наприклад, для нерівності ≤ х–3х = 4 не є розв'язком, бо 2<1 неправильно, а для нерівності 3х–1 ≥ х + 2 є розв'язком, бо 3 ∙ 4–1>4 + 2 — правильна нерівність.

2.Система нерівностей з однією змінною

Якщо треба знайти спільні розв'язки нерівностей з однією змінною, то кажуть, що треба розв'язати систему нерівностей.

Систему нерівностей записують за допомогою фігурної дужки.

Наприклад:

Розв'язком системи нерівностей з однією змінною є значення змінної, яке є розв'язком кожної з нерівностей системи.

Наприклад:х = 3є розв'язком системи бо прих = 3

3 –3<1 і 2 ∙ 3 –1>3 є правильними нерівностями (х = 3є розв'язком кожної з нерівностей).

3.Сукупність нерівностей з однією змінною

Якщо ставиться завдання знайти значення змінної, яке є розв'язком хоча б однієї з даних нерівностей, то кажуть, що слід розв'язати сукупність нерівностей.

Сукупність нерівностей записують за допомогою квадратної дужки.

Наприклад:

Розв'язком сукупності нерівностей з однією змінною називається таке значення змінної, яке є розв'язком хоча б однієї з нерівностей сукупності.

Наприклад: х = 1є розв'язком сукупностібо х = 1

є розв'язком нерівності 2х–1<3 (при х = 1ця нерівність перетворюється на правильну: 2 ∙ 1 –1< 3).

Розв'язати нерівність (систему нерівностей або сукупність нерівностей) означає знайти всі її розв'язки або довести, що їх немає.

Числовий проміжок — вид запису множин, що є розв'язками нерівностей з однією змінною.

Види числових проміжків

Проміжок

Приклад

1. а<х< b

2<x <3

2. а ≤ х ≤ b

2 ≤ х ≤ 3

3. х>а

х> -2

4. х ≥ а

х ≥ -2

5. х<а

х<3

6. х ≤ а

х ≤ 3

Переріз і об'єднання проміжків

Приклад 1. Розв'яжемосистему нерівностей (рис. 1).

Розв'язання.(3;5)—спільна частина проміжків(3; + ∞) і (-∞; 5), тому (3;5) — це переріз проміжків (3; + ∞) і (-∞; 5)(розв'язок системи ).

Відповідь: (3; + ∞)(-∞;5) = (3;5).

Приклад 2. Розв'яжемо систему нерівностей (рис. 2).

Розв'язання. Проміжок (-1;3) складається з чисел, які є розв'язком хоча б однієї з нерівностей 2 <х <3 або -1 <х <2,5, тому є об'єднанням цих проміжків (розв'язком сукупності).

Відповідь: (2; 3)(-1; 2,5) = (-1; 3).

Дві нерівності називають рівносильними, якщо вони мають ті самі розв'язки.

Деякі рівносильні перетворення нерівностей

1.Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу частину доданки з протилежними знаками, то утвориться нерівність, рівносильна даній. Наприклад: 2x –3>6 і 2х>9 —рівносильні нерівності.

2.Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на те саме додатне число, то утвориться нерівність, рівносильна даній.

Наприклад: 2x>6 і х>3,>6 і x>12 —рівносильні нерівності.

3.Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на те саме від'ємне число і змінити знак нерівності на протилежний, то утвориться нерівність, рівносильна даній.

Наприклад: -3х>6 і х<-2; >6і x<–18 —рівносильні нерівності.

Лінійна нерівність з однією змінною— нерівність виду ах>b, або ах<b, або ах ≥ b, або ах ≤ b, де а,b— дані числа, ах — змінна.

Наприклад: 3х>1; -x<-3; 0х>3; 0х<0 —лінійні нерівності.

Схема розв'язування лінійної нерівності

Приклад розв'язування нерівності, що зводиться до лінійної:

Розв'язати нерівність

9(х–1)+5х<17х–11

Коментар

9х–9+5х<17х–11

14х–9<17х–11

1. Виконаємо тотожні перетворення лівої(і правої) частин нерівності.

14х–17х<-11 + 9

-3х< -2

2.Перенесемо відомі доданки в однучастину нерівності, а невідомі — в іншу.

Тотожно перетворимо обидві частини.

х >

x

Відповідь:

3. Оскільки коефіцієнт при х у лівій частині утвореної нерівності не дорівнює нулю, поділимо на нього обидві частини нерівності, змінивши її знак на протилежний (бо -3<0). Запишемо відповідний числовий проміжок — це і є відповідь — розв'язок даної нерівності.

Основні кроки розв'язування нерівностей з однією змінною

1.Якщо нерівність містить дроби, то множимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник усіх дробів, які входять у нерівність.

2.Якщо в нерівності є дужки, то розкриваємо їх.

3.Переносимо доданки зі змінною в одну частину нерівності, а інші доданки — у другу частину.

4.Зводимо подібні доданки,одержуємо лінійну нерівність. Розв'язуємо лінійну нерівність за схемою (див.опорний конспект № 8).

Приклад. Розв'яжемо нерівність:

;НСЗ(2;6) = 6

3(у + 1)+2у– 1 <6у;

3у + 3 + 2у–1<6у;

5y+2<6y;

5у–6у<-2;

-у<-2;

у>2.

Відповідь: y (2;+∞).

Основні кроки розв'язування системи нерівностей з однією змінною

1. Розв'язуємо кожну нерівність системи.

2. Зображуємо множину розв'язків кожної нерівності на однійкоординатній прямій.

3. Знаходимо переріз числових проміжків, записуємо відповідь.

Приклад. Розв'яжемо систему нерівностей

Розв'язання

(див. рисунок). Відповідь: х.

Основні кроки розв'язування сукупності нерівностей з однією змінною

1. Розв'язуємо кожну нерівність сукупності.

2. Зображуємо множину розв'язків кожної нерівності на однійкоординатній прямій.

3. Знаходимо об'єднання числових проміжків, записуємо відповідь.

Приклад. Знайдемо розв'язок сукупності нерівностей

Розв'язання

(див. рисунок).

Відповідь: x (-∞;0)(4; +∞).