"Нестандартные способы решения уравнений, систем уравнений. Уравнения с двумя переменными и системы двух уравнений с тремя переменными"

Урок

Тема. Нестандартные способы решения уравнений, систем уравнений. Уравнения с двумя переменными и системы двух уравнений с тремя переменными

( бинарный урок алгебры в 11 классе).

Цели:

- образовательная: обеспечить овладение основными алгоритмическими приемами в решении уравнений;

- воспитательная: сформировать умение наблюдать закономерности, обобщать, проводить рассуждения.

Ход работы.

l. Вступление. Организационный момент.

Учащиеся к гостям поворачиваются лицом. Учитель произносит слова:

« Приветствуем гостей, пришедших к нам сегодня.

Улыбки старшеклассников желают счастья Вам, здоровья

Мы постараемся на славу потрудиться

Чтоб, милые учителя вам было чем гордиться».

Эпиграф нашего сегодняшнего урока мне хотелось бы сформулировать словами М.В.Ломоносова: «И мыслям надобно учиться, но более

                                       В сто крат важнее – учиться мыслить».

( Эти слова эпиграфом записаны на ватмане и прикреплены возле доски (слева)).

Это значит, что сегодня мы будем учиться применять теоретические и практические знания при решении уравнений, систем. Будем учиться быть внимательными и наблюдательными.

ll. Основная часть урока.

Домашнее задание я проверю, собрав сегодня ваши тетради, а сейчас мы сразу включаемся в работу.

У доски два человека решают самостоятельно уравнения, с последующим комментированием контрольных моментов (способа решения)

1. х²+2х+  - 12=0;

Метод уединения радикала приводит к уравнению четвертой степени, поэтому положим

  = y, y≥0, х²+2х+8=y;

 х²-8+y-12=0;

 

y²+y-20=0;   у₁+у₂=-1;    у₁=-5.

   у₁·у₂=-20; у₂=4.

 

Отсюда =4  

            х₁+х₂=-1; х₁=-4.       х²+2х-8=0.

            х₁·х₂=-20; х₂=2.

 

ОДЗ:        х²+2х-8≥0

Ответ:-4;2.

2. +=;

 

ОДЗ: 6х-9≥0;

         х+≥0;

         х-≥0.

Возводим в квадрат обе части уравнения, получим:

                                                          2х+2·lх-3l=6

х+lх-3l=3

 

                                      х(-)                                               х-)                         

                                        х-(х-3)=3                                                 2х=6  

                                           3=3                                                     х=3-) 

                                                                                                       х-) 

Тождество значит -; 3) 

Общий ответ для этих уравнений  х(-), а учитывая ОДЗ, ответом данного уравнения будет    х .

Ответ: 

( 1 ряд делится пополам, и решают вместе с доской). В это время на проекторе класс рассматривает задание № 1 «Найти ОДЗ уравнений» (в конце прилагается). Послушать вопросы и задания к двум номерам, рассмотренных у доски.

 Затем  3 и 2 ряды списывают с проектора задание №2 «Определить с помощью графика число корней уравнения».

3 ряд – расм. № 1,2; 2 ряд - № 3,4 (выполняют самостоятельно в тетрадях), а 1 ряд рассматривает со мной на проекторе задание № 3 «Приключения с уравнениями».

Во время этого разбора у доски трое учащихся решают уравнения. (Пока они еще решают, я с места (уже после задания № 3)проверяю количество корней уравнения и могу пригласить к переносной доске изобразить рисунки).

2 и 3 ряды после выполнения задания 2 думают над различными способами решения уравнения х(х+1)(х+2)(х+3)=120.

Решить уравнения:

1.   - 14 ³ + 40 =0

Формула перехода к новому основанию не может применяться, если основания логарифмов равны 1. Поэтому сначала надо проверить х=1- корень уравнения? Только когда утверждаемся, что х=1 – корень, и для х1, применяем указанную формулу

- + =0

 

Пусть =y, имеем 

То  2y²-3y-2=0;              y^'_•+y_•”=-3           у_•^'=-4.         Тогда   у₁=-2.

  y²+3y_•- 4=0;             y^’_•*y_•”=-4        у_•^"=1.                                 у₂=-.

 

                                     = -2                             =

                                            = -                            = 2

 

 

Отсюда  x==              и х=4

Ответ: 1; 4; .

 

2. +0,5)=1

Здесь нельзя поверхностно применять свойства логарифма

=2 имеет место лишь для х>4, (т.е. сужается ОДЗ и происходит потеря корней).

Правильной будет следующая запись =2.

Итак, +.         (х+1)|х-4|=6.

Решать его надо для двух случаев ОДЗ:  -1<х<4  и х>4.

-(х+1)(х-4)=6                                             -(х+1)(х-4)=6

-(х²-3х-4)-6=0                                            х²-3х-10=0

-х²+3х-2=0                                         х₃=-2 не является корнем; х₄=5;

х₁=1; х₂=2.

Проверяем принадлежность корней к рассматриваемым промежуткам.

Ответ: 1;2;5.

Если пойти первым путем, то теряются корни 1 и 2.

Решить уравнение =.

·=;|·3х, так как х=0-не корень уравнения.

·+3·=3·х-3·х;

·+2·х-3·х+3·х+3·=0;

·+·-3·х-3·=0;

·+х·(-3·)- 3·  =0;      

         а                  в              с

D=()²-4··=6·+9·=()²>0.

х_1,2=

 

х₁=-1;   х₂=3·/.

Ответ: х₁=-1;   х₂=3·/.

 

1 ряд, после выполнения задания № 3 из проектора записывает любое из трех уравнений себе в тетрадь. В то время 2 и 3 ряды слушают объяснения  контрольных моментов в этих уравнениях и записывают не достающие у них способы решения х(х+1)(х+2)(х+3)=120(всего 4 способа).

На этом этапе все группы завершают свою работу и со всем классом провожу программированный опрос(карточки для ответа у каждого лежат на парте , а задание отображено на проекторе: задание № 4 «Программированный опрос»).

Через несколько минут ребята сдают свои карточки на первую парту , и я по коду проверяю количество «5», «4», «3».

Правильный код: 4343.

lll. А сейчас переходим ко второй половине нашего урока.

Высвечиваю на проекторе «Нестандартные способы решения уравнений и их систем»(прилагается в конце плана). Обговариваем эти способы с классом. Дальше выписываю на доске 18 уравнений и фронтально (с места) работаем с учащимися по определению способа решения того или иного уравнения и, если удается, то сразу называем его корни.

Условия	Примечания
|х2+х-2|=х+2	Графический х1=0 , х2=-2
+ =0	ограниченность и монотонность. А  как еще  можно решить   и    =0      х=3
+х-2=0  3=	=2-х, монотонность х=0(корень единственный)   монотонность, х=1
+=2 const	если есть решение, то оно единственное 2 - const
6) +2·=4+	Х=2 подбором и делаем проверку,  корень единственный
7) +=2 =1 и  =1	Использование ограниченности |х+у||х|+|у| и здесь идет выход на нахождение общих корней (диофрантово уравнение)
8) +=4	1) ОДЗ: -1    |х|1 2) f(-х)=f(х) – четная     f(0)=2; f(1)= f(-1)=, где      f(х)=+ но <4, значит решений нет.
9) 3х+4х=5х ()х+()х=1	Х=2, Пифагоровы числа Делим на наибольшее число 5х, убывающая  функция может принимать свое значение только один раз, 1 - const
10) 83х+153х=173х   3х=2 х=	Пифагоровы числа
11) 2|х|+=2·	Ограниченность 2|х|+2 Отсюда 2|х|=1;   х=0;    2·2
12) 2|х|+=2·	Нет решений. Почему?
13) tgх+ сtgх=	Взаимообратные а+1/а2, а здесь
14)	Ограниченность обозначений [0;1]1  m=2/2=1                                                                            Умин=1                                                                                 1 Единственный корень х=1
15) 1+·(1+)=	(Из сборника Сканави) ограниченность 1+; ; Х=2k                kZ
16) (ДГМА)   +=30--4	Неравенство Коши(решим у доски)
17) +=28--	Пойдет как д/з неравенство Коши
18) +2х2=1	Рейтинговое задание ДонГУ тригонометрическая подстановка х= или  х= (решим у доски)

 

№ 16

+=30--4

-+()=30

Для каждой скобки применим неравенство Коши: а+в/2

;  +14, аналогично 

и тогда равенство достигается, когда оба равны по 14 и 16 и решаем отдельно два уравнения

+14                                  и                          .

пусть =t, t>0                                                 пусть =m, m>0

   + t=14                                                                          +4m=16

=0                                                     =0

(t-7)²=0                                                           (2m-4)²=0

             t=7                                                                   m=2

Отсюда  =7                                                            Отсюда  =2

                   х-3=49                                                                                  у-4=4

                    х=52                                                                                       у=0

Ответ: (52;8).

№ 18

+2х²=1

Пусть х=, t[]   (или х= , t [0; ])

+2sin2t=1 =1-2sin2t =cos22t 2cos22t 2(1-sin22t) 2sin2t+ sin2t-1=0 sin2t=у; |у| 2у2+у-1=0 у1=-1; у2=1/2

Отсюда     sin2t=-1         и          sin2t= 2t=-+2n, n                     2t=(-1)кк   t=-+n,                                                   t=(-1)кк/2   т.к. t[-], то               если к=0, то t1=-; t2=     [-]                  t1=                                                               к=1, то                                                                t2=                                                                 к=2

х₁==-

Имеем тогда: х₂=

                           х₃=

Ответ: ; ; =

Эти задания записывают все учащиеся класса и слушают ответы одноклассников. К доске приглашают еще два человека для решения следующих уравнений, а класс работает вместе с отвечающими, но дается параллельно задание(сильным учащимся): Изобразить ОДЗ функции (ДГМА).

№ 1251(экз.сб.школьный)

х²+4х+4=0

 Решаем как квадратное уравнение

D₁=4cos²(ху)-40

cos²(ху)0 учитывая ограниченность функции у=cosх [-1;1]

cos²(ху)=1     Отсюда  cos(ху)=1 или cos(ху)=-1

 С этими условиями из первоначального уравнения получаем два:

х²+4х+4=0                                                                        х²-4х-4=0         

х=-2                                                                                          х=2

Тогда cos(-2у)=1                                                           Тогда cos(2у)=-1

            -2у=3к                                                                                           2у=+2к

                   у=-к,  кZ                                                          у=, кZ

 Ответ: (-2; -к, кZ), (2; +к, кZ).

№ ДГМА Решить систему

х²+1=2                                    х²=2                                    х²,

у²-1=2хz                       у²-1=2хz

значит,  2-1              4уz

                            4уz

Отсюда 4уz

Подставим эту замену в первоначальную систему:

х²=0                           х=0             Тогда z=         

у²-1=0                       у=

Ответ: (0;1;1/4) (0;-1;-1/4).

Затем всем учащимся класса предлагается самостоятельно найти целочисленные решения системы №4263 (ДГМА)

х+10=у+z

уz=10х+1

А в это время эту же систему один ученик решает на «крыле» доски, чтобы никто не видел решения. Затем класс проверяет свое решение по образцу:

х+10=у+z

уz=10х+1

Отсюда можно составить квадратное уравнение (по т. Виета)

к²-(10+х)к+10х+1=0

D=(10+х)²-4(10х+1)=х²-20х+96=(х-10)²-4=0

(х-10)²=4

Отсюда х-10=2                                 х-10=-2

              х₁=12                                   х₂=8.

 

Тогда

х+10=у+z                                  у=11

уz=10х+1                                   z=11

х+10=у+z                                   у=9

уz=10х+1                                    z=9

 

Ответ: (12; 11; 11); (8;9;9).

после проверки этой самостоятельной работы, учащиеся показывают, как они справились с дополнительным заданием.

В системе координат х,у изобразить множество точек, для которых формула имеет смысл z=

 

 

                                                                                                                           ОДЗ:  

                                                                                               

                                         y=2-х/2                                       

                                                                                  Формула имеет смысл для

                                                                                  всех точек, расположенных

                                                                                 внутри ромба со стороной

                                                                у=2-х/2 (в 1 чет), исключая точки, имеющие целочисленные координаты.

 

IV. Учащимся предлагается записать домашнее задание.

Решить следующие уравнения(взяты со сборника ДГМА)

1. х²+=
2. (2х²-3х+1)( 2х²+5х+1)=9х²
3. +=
4. 

х²-2х-=3

(х-1)-х=1

V. Итог урока подводит учитель.

Идея поведения такого урока не была неожиданной. У ребят старших

классов часто наблюдается прагматическое отношение к математике – выучить, чтобы сдать экзамен; сдать экзамен, чтобы поступить в вуз. Думается, что одним из объяснений подобного потребительского отношения является претупление познавательного интереса, прекрасного качества, подаренного человеку природой. Ученики перестали ощущать и ценить (а может быть, никогда и не чувствовали) внутри предметную красоту математики, силу ее эмоционального воздействия. Мне кажется, что действенным средством эстетического воздействия математики на учеников являются задачи, и именно те задачи, которые мы называем красивыми. А что же такое красивая задача? И уместно ли задачи наградить эпитетом «красивая»?

Я предлагаю учащимся посмотреть на плакат, на котором написана формула математической красоты, предложенная В.Г.Болтянским (ж. МШ № 2 , 1982 г.).

Красивая задача = непредсказуемость + неожиданность + удивительная простота + фантазия + удивление+ оптимизм+ труд+…

И предложила учащимся продолжить этот перечень, как итог нашего урока. звучали разные дополнения, а один учащийся предложил на 1-е место поставить «вдохновение».

Дополнить эту формулу можно стихотворением учащегося этого класса Голубенка Александра, которое он написал еще вначале 9-го класса.

Когда говоришь: «Математика»,

То вспоминаешь слова:

«Четкость», «ясность», «порядок»,

Силу людского ума.

  Так же как ветер могучий

 Силу движенье дает,

Древняя цифр наука

Технику движет вперед.

Вера и труд – вот слагаемые

Нашего счастья, а мы

Следствие лишь теоремы

К жизни стремленья, любви.

                 Есть красота в математике!

Она, словно чудный алмаз:

Законы тверды, нерушимы,

Свет ее радует глаз.

 

 

Но, это ясно конечно,

Не будет жизнь никогда

Четкой последовательностью событий,

Ровной гладью стекла.

Ее предсказать невозможно!

И формул таких не ищи.

Вечно в расчеты врывается

Корень из минус один.

А это стихотворение написано Сашей две недели назад и посвящается своим одноклассникам и математике, которая их объединяла эти три года. Читает стихотворение участница областного конкурса чтецов Скряга Ирина.

Мы можем думать, нам дано мыслить

Проще простого нырнуть

В пресные волны знаков и чисел –

Только бы не утонуть

Мы можем думать, нам дано мыслить

В крепкие клетки страниц

Почерком синим ясность и четкость

Будет легко заманить.

Мы можем думать, нам дано мыслить

Жаль, что не всем дано

Терпкий вкус формул знать, и решений

Пить молодое вино.

 

Спасибо вам большое ребята. Урок окончен.

 

 

 

 

 

Приложения

Задания для проектора

 

Задание №1 (первый кадр)

Найти ОДЗ уравнений 

1.  =
2. +=3
3. =x
4. =lg (4-x²)
5. ₂(x²-x-6)=
6. ^x=-

Ответы: (общая часть)

1) x (-;-1)U (-1;1)U (1;+

2) 0

3) x[0;3]

4) x (-2;-1)U [0;2)

5) x (-;-2) U (3;5)U (5; +

6) x [0;+

 

Добавьте дополнительные условия так, чтобы были равносильны уравнения

1)     /       =
2)     *  =      *       =
3)    =            =
21     =1      2=10
5)|           |=       =

 

 

 

 

Задание № 2 (второй кадр)

Определите с помощью графика число корней уравнения:

1. 2^х=3-2х-х²
2. =х²+х-2
3. =1/2х-1/2
4. х⁵=10х-1

 

Задание № 3

Приключения с уравнениями (найти ошибку в решении и объяснить ее)

 

№1:   5x-25+20=4x;  5x-25=4x-20;   5(x-5)=4x(x-5);   5=4 ?

№2:    ++=1;   =1; =1; 2=0 ?

№ 3:    -5=; ; ;

; 13-х=7-х; 13=7 ?

Нет корней?

№ 4

х⁴-1321х-23=0;  (1)

х⁴-1310х-144=0;  (2)

(1)- (2)             -11х+121=0; х=11.

Не является корнем каждого уравнения. Почему?

Задание  № 4.

Программированный опрос

№ 1  Какое уравнение имеет по крайней мере один корень на множестве целых чисел?

1. 9х²-9х+2=0                 3) х⁶+х³-6=0
2. х⁴-2х²-3=0                   4) х⁴+х²+х=0

№ 2  Какое уравнение имеет корень?

1. +2=0                       3)  10^х=
2. +=2                     4) =lх

№ 3 Дана система уравнений:

у=х²+а

х²=у²

Какое утверждение ложное?

1. не может иметь единственное решение;
2. может иметь три решения;
3. может иметь четыре решения;
4. может иметь более четырех.

№ 4 Какие два уравнения равносильны?

1. =                 и            =
2. =2                                       и       =1     
3.                 и         =          
4. х³=1                                                              и          = 1     

Правильный код: 4343

lV способ: Он основан на тождестве

х(х+1)(х+2)(х+3)+1=(х²+3х+1)² и тогда

(х²+3х+1)²=121                        х²+3х+1=11 есть действительные корни х=2; х=-5

                                                   х²+3х+1=-1 нет действит. корней

Ответ: 2;-5.

 

Таблица

«Нестандартные способы решений уравнений и их систем»

1. Использование ОДЗ;
2. Использование монотонности;
3. Использование ограниченности(оценка областей значения функции);
4. Использование классических неравенств:

а) , где а  (неравенство Коши)

б) а+, при а

в) (1+х)^к1+кх, где х (неравенство Бернулли)

5. Тригонометрическая подстановка

х=, х=

 

Способы решения уравнения

х(х+1)(х+2)(х+3)=120

1 способ: Воспользуемся симметрией левой части, перемножим 1) и 4) множители, а 2) и 3) между собой (х²+3х)(х²+3х+2)=120.

Пусть х²+3х=у       у(у+2)=120

Отсюда у₁=-12, у₂=10, тогда

х²+3х=-12       и                                    х²+3х=10

D=-39-нет дейст. корней                  х²+3х-10=0

                                                              х₁=-5; х₂=2.

Ответ:-5;2.

ll способ: Симметрией можно воспользоваться иначе. Заметим, что числа х, х+1, х+2, х+3 расположены на числовой оси симметрично относительно числа х+3/2. замена х+3/2=у, тогда уравнение примет вид (у-3/2)(у-1/2)(у+1/2)(у+3/2)=120;

(у²-9/4)(у²-1/4)=120.  Пусть у²=z, z0 и дальше идет обычное решение квадратного уравнения.

lll способ: Перемножим все скобки, получим уравнение :

х⁴+6х³+11х²+6х-120=0.

Применим теорему Безу: найдем делители свободного члена: х=2 и проверим их как корни уравнения. Делим многочлен на (х-2), второе деление на многочлен (х+5).