Олімпіадні завдання з математики 6-9 класи

 

Перший етап Всеукраїнської олімпіади з математики

 

Завдання

 

6 клас

 

1. Двома різними способами розрізати квадрат з вирізаною центральною клітинкою (див. рисунок нижче) на чотири рівні частини:

 

 

 

 

 

 

 

 

2. П’ять хлопчиків знайшли 9 грибів. Довести, що хоча б двоє з них знайшли грибів порівну. Довести, що серед них є хлопчик, який знайшов не менше 2 грибів. 

 

3. У першокласника Андрійка в касі цифр є лише одиниці, четвірки, шістки та дев’ятки. Він склав з них два числа. Чи може одне з них бути у 17 разів більше від іншого? Відповідь обґрунтуйте.

 

4. Знайдіть швидкість і довжину поїзда, якщо він проходить уздовж платформи завдовжки 378 м за 25 секунд, а повз нерухомого пасажира – за 7 секунд.

 

5. Катруся і її друзі стали у коло. З’ясувалося, що обидва сусіди кожної дитини – однієї статі. Хлопчиків, серед друзів Катрусі, п’ять. А скільки дівчаток серед друзів Катрусі? Відповідь обґрунтуйте.

 

 

 

 

На виконання роботи виділяється 4 години.

Використання калькулятора не дозволяється.

 

 

 

 

 

 

 

Перший  етап Всеукраїнської олімпіади з математики

 

Завдання

 

7 клас

 

1. Відновіть цифри, які зображені зірочками в записі

     ,  якщо відомо, що ділення виконується без остачі.

 

2. Чи існує чотири натуральних числа, сума яких дорівнює їх добутку?

 

3. На столі стоять 7 склянок, перевернутих догори дном. Дозволяється перевертати будь-які дві склянки. Чи можна домогтися того, щоб усі склянки перевернулися?

4. Підприємство одержало завдання за два роки знизити на 51% об’єм продукції, що випускається. Кожного року вимагають зниження випуску товару на одну і ту ж кількість відсотків. На скільки? Відповідь обґрунтуйте.

 

5. Як, маючи лише дві посудини ємністю і , набрати із крана води (зайву воду можна виливати в раковину)?

 

 

На виконання роботи виділяється 4 години.

Використання калькулятора не дозволяється.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перший етап Всеукраїнської олімпіади з математики

 

Завдання

 

8 клас

 

 1. Розв’яжіть рівняння          .

2. Чи існує таке натуральне число , для якого – квадрат цілого числа.

3. Скільки існує трицифрових чисел, які при діленні на 8 дають в остачі 3?

4. Висота , бісектриса і медіана трикутника перетинаються в одній точці , причому . Доведіть, що трикутник – рівносторонній.

 

5. У царя Гвидона було дітей (усі були синами). Із усіх його нащадків (дітей, внуків, правнуків і т.д.) мали рівно трьох синів, а інші померли бездітними. Скільки було нащадків у царя Гвидона?

 

 

 

На виконання роботи виділяється 4 години.

Використання  калькулятора не дозволяється.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перший етап Всеукраїнської олімпіади з математики

Завдання

 

9 клас

 

1. Розв’яжіть нерівність

.

 

2. Доведіть, що число є складеним.

 

3. Доведіть нерівність для будь-яких дійсних .

 

4. Точка – середина сторони трикутника . На відрізку відмітили дві точки і так, що . З’ясувалося, що . Доведіть, що .

 

5. Яких прямокутників з цілими сторонами більше: з периметром 2018 чи з периметром 2020? (прямокутники і вважати однаковими.)

 

 

 

 

 

 

 

 

На виконання роботи виділяється 4 години.

Використання калькулятора не дозволяється.