Основи комбінаторики - перестановки, розміщення, сполучення

Основи комбінаторики - перестановки, розміщення, сполучення9 клас

Комбінаторика Комбінаторика є важливим розділомматематики, що досліджує закономірностірозташування, впорядкування, вибору ірозподілу елементів з фіксованої множини. При великому числі можливих наслідківвипробування способи прямого переборуможливих варіантів малоефективні. На допомогу приходять комбінаторні методи

ПРАВИЛО ДОДАВАННЯЯкщо дві взаємовиключні події можуть бути виконані відповідно k та m способами, тоді якусь одну з цих подій можна виконати k+m способами. Приклад 1. З міста А в місто В можна добратися 12 потягами, 3 літаками, 23 автобусами. Скількома способами можна добратися з міста А у місто В?Розв'язання. Проїзд з А у В на потягу, літаку або автобусом є подіями, які не можуть виконуватися одночасно однією людиною (взаємовиключними), тому загальну кількість маршрутів можна обчислити сумуванням способів пересування. N=12+3+23=38.

ПРАВИЛО МНОЖЕННЯНехай дві виконувані одна за одною дії можуть бути здійснені відповідно k та m способами. Тоді обидві вони можуть бути виконані k*m способами. Приклад 2. У турнірі беруть участь 8 команд з хокею. Скільки існує способів розподілити перше, друге та третє місця?Розв'язання. Відповідно до умови аналіз призових місць має бути наступним:І місце займе одна з 8 команд, ІІ місце – одна з 7, ІІ місце – одна з 6, оскільки кожна з них не може претендувати одночасно на два призових місця. N=8*7*6=336 Обидва правила узагальнюються на випадок будь-якої скінченної кількості дій. 

Види комбінацій. У комбінаториці розрізняють три види різнихз'єднань (комбінацій) елементів фіксованоїмножини: перестановки; розміщення;- сполучення.

Перестановка. Перестановками з m елементів називаються такі їх сукупності, що відрізняються одна від іншої тільки порядком входження елементів. Позначають P(m) Визначають за формулою  P(m) = m! m! - факторіал числа m, визначається за правилом m!=1*2*3*4*…*m або m!= m*(m-1) 0!=1 Приклад 3. Скількома способами можна в садочку поставити групу з 15 дітей в ряд?Розв'язання. На перше місце є можливість поставити когось із 15 дітей, на друге одного з 14 і т.д. Загальна кількість рівна 15 факторіал. N= 1*2*…*14*15=15!

Розміщення. Розміщеннями з n елементів по mназиваються такі сукупності m елементів, щовідрізняються одна від іншої принаймніодним елементом або порядком їхвходження (m ≤ n): - формула розміщень Якщо m=n →

Розміщення. Приклад 4. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти за допомогою цифр від 1 до 9? Розв'язання. Загальна кількість чисел обчислюється за формулою розміщень

Увага! Поміркуй!Задачі1. Скількома способами можна вибрати три цифри з дев'яти 1, 2, 3,...,9?2. Скількома способами можна вибрати двох чергових з 23 учнів класу? Сполученнями з n елементів по m називаються такі сукупності m елементів, що відрізняються одна від іншої принаймні одним елементом ( ) :

Задачі 1. Кількість усіх можливих способів визначаємо з формули2. Кількість усіх можливих способів визначаємо з формули

Властивості сполук5.