Основна властивість дробу. Скорочення дробів

 

Тема. Основна властивість дробу. Скорочення дробів

Мета: домогтися засвоєння учнями змісту основної властивості раціонального дробу, понять скорочення дробу та правила знаків; сформувати вміння відтворювати зміст названих понять та використо­вувати вивчені поняття для розв'язування вправ на скорочення раціо­нальних дробів та перетворення їх за допомогою правила знаків.

Тип уроку: засвоєння знань та вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Основна властивість дробу».

Хід уроку

I. Організаційний етап

 

II. Перевірка домашнього завдання

Тестова робота № 1

Варіант 1

1. Який із наведених виразів є раціональним дробом?

A	Б	В	Г
2a – b	ab		а2 +

 

2. Який із наведених виразів має зміст при будь-якому значенні змінної х?

А	Б	В	Г
			х2 + 4

 

3. При якому значенні х дріб не існує?

А	Б	В	Г
х = 2	х =	х =	х =

 

4. При якому значенні х дріб дорівнює нулю?

А	Б	В	Г
± 4	4	- 4	16

 

Варіант 2

1. Який із наведених виразів є цілим виразом?

А	Б	В	Г
+ 1	аb – 1

 

2. Який із наведених виразів має зміст при будь-якому значенні змінних?

А	Б	В	Г
х2 + 3х

3. При якому значенні х дріб не існує?

А	Б	В	Г
х = 2	х =	х = -3	х =

 

4. При якому значенні х дріб дорівнює нулю?

А	Б	В	Г
х = 5	х = -5	х = ±5	х = 25

 

III. Формулювання мети і завдань уроку

На цьому етапі уроку буде доречним слово вчителя про те, що зви­чайні і раціональні дроби мають однакову основну властивість і загаль­ні правила виконання арифметичних дій. Зрозуміло, що роботу з вив­чення дій над раціональними дробами слід розпочинати з основної властивості — саме її вивчення і представляє основну дидактичну мету уроку.

Завданнями на урок є: сформулювати алгоритми застосування ос­новної властивості раціонального дробу на основі виконання дій із многочленами.

Як варіант роботи з дітьми, які мають високий рівень інтелектуаль­ної діяльності, пропонуємо завдання.

Знайдіть значення виразів і при а = 4. Порівняйте здобуті результати. Порівняйте вирази. Що ви помітили?

Після обговорення результатів виконаної роботи з'являється гіпо­теза про те, що значення раціональних дробів не зміниться під час ви­конання ділення або множення чисельника і знаменника дробу на один і той самий вираз, що не дорівнює нулю. Підтвердження цієї гіпотези і є основною метою уроку.

 

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

 Для підготовки учнів до сприйняття нового матеріалу доцільно розв'язати усні вправи на повторення алгоритмів виконання арифметичних дій із раціональними числами, алгоритмів пере­творень цілих виразів, вивчених у 7 класі (особливо різних спо­собів розкладання многочленів на множники), а також ма­теріалу, вивченого на попередніх уроках у 8 класі (знаходження ОДЗ раціонального виразу).

Виконання усних вправ

1. Скоротіть дроби: ; ; ; .
2. Зведіть дроби до знаменника 36; ; ; ; ; ; .
3. Обчисліть: ; ; ; ; ; .
4. Подайте вирази у вигляді добутку:

25 – у²; a² + ab; 8 + х³; 1 + а² - 2а; 3х⁶ – 12x²; b¹⁰ – b².

5. Подайте число 3 у вигляді дробу зі знаменником: 2; 5; 1; 4; 10.
6. Серед виразів:

х + у; - х + у; - х – у; у – х; х – у; (х – у)²; (у – х)²; (- х – у)²; (х + у)²; (-х – у)³;

(х – у)²; -(х + у)³; - (х – у)³

знайдіть: а) тотожно рівні; б) протилежні. Доведіть.

 

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Уявлення про основну властивість звичайного дробу; її адаптація на раціональний дріб (із доведенням).
2. Основна властивість дробу і скорочення дробів. Алгоритм скоро­чення раціонального дробу.
3. Основна властивість дробу і правило знаків.

 

Конспект 2

Основна властивість дробу

1. Якщо — раціональний дріб, (де В ≠ 0) і С ≠ 0 — раціональний вираз. — правило скорочення дробів.

Приклад. Скоротити дріб .

Розв'язання

1) Розкладемо чисельник і знаменник дробу на множники: .

2) Поділимо чисельник і знаменник здобутого дробу на спільний множник       (а + 3); маємо: . Отже: ==.

2. Якщо — раціональний дріб (і В ≠ 0), то — правило знаків.

Приклад. Скоротити дріб  .

1) Розкладемо чисельник і знаменник раціонального дробу на множники: .

2) Помітивши, що (3 – с) і (с – 3) — протилежні вирази, скористаємось пра­вилом знаків: поміняємо, знак перед дробом, і наприклад, знак множника (3 – с) у чисельнику: .

3) Скоротивши даний дріб на спільний множник чисельника і знаменника (с–3); маємо: .

Отже, = = = .

3. Якщо – раціональний дріб (де В ≠ 0) і С ≠ 0 — раціональний вираз, то — розширення дробу (зведення дробу до нового знаменника). Приклад. Звести дріб до знаменника х2 + ху.

Розв'язання

1)  Розкладемо новий знаменник на множники: х(х + у). 2)  Знайдемо додатковий множник; для цього новий знаменник поділимо на знаменник даного дробу. 3)  Помножимо чисельник і знаменник даного дробу на х (додатковий множник): .

 

 Викладення навчального матеріалу уроку слід розпочати із фор­мулювання і доведення основної властивості раціонального дро­бу, яка подається як у математичному (,, де А, В, С — деякі многочлени, причому В ≠  0, С ≠ 0), так і в словесному вигляді.

Доведення властивості спирається на уявлення про дріб як запис частки від ділення двох виразів та на залежність між компонентами дії ділення.

Після формування в учнів уявлення про «дві сторони» основної влас­тивості раціонального дробу подається назва одного з перетворень, що входять до основної властивості дробу, — скорочення дробів; при цьому наголошується на тому, що під скороченням дробів розуміють ділення чи­сельника і знаменника раціонального дробу на спільний множник чисель­ника і знаменника, тому скорочення раціональних дробів передбачає ви­конання певних дій у певній послідовності для виділення цього спільного множника. Складається алгоритм скорочення раціональна дробів.

Під час розв'язування прикладів на застосування складеного алго­ритму скорочення дробів можна запропонувати вправи, що підготують учнів до сприйняття правила знаків для раціональних дробів (або до самостійного складання цього правила в разі високого рівня підготов­ки учнів до самостійної інтелектуальної діяльності). Після формулю­вання загального правила розглядаються приклади, під час розв'язу­вання яких необхідно використати правило знаків, та коментуються загальні способи дій у разі застосування цього правила (якщо на опра­цювання правила знаків не вистачить часу на уроці № 3, можна розглянути його на уроці № 4 разом із питанням про зведення дробу до нового знаменника).

 

VI. Засвоєння вмінь

Виконання усних вправ

1. Які з дробів , , тотожно рівні дробу ?
2. Назвіть спільний множник чисельника і знаменника дробу та ско­ротіть дроби:

; ; ; ; .

3. Чи правильні рівності:

а) ; б) ; в) ; г) ?

 

Виконання письмових вправ

 Для реалізації дидактичної мети на цьому уроці слід розв'язати завдання такого змісту:

1. Скорочення раціонального дробу.

1.1. На одночлен.

1)  Виділіть спільний множник чисельника та знаменника дробу й скоротіть дріб:

а) ; б) ; в) .

2)  Скоротіть дріб: а) ; б) ; в) ; г) .

1.2. На многочлен (який уже виділено в чисельнику і знаменнику поданих раціональних дробів).

1)  Скоротіть дріб:

а) ; б) ; в) ; г) .

2)  Скоротіть дріб: а) ; б) ; в) ; г) .

 

2. Скорочення раціонального дробу з попереднім розкладанням чи­сельника і знаменника на множники.

1) Розкладіть на множники чисельник і знаменник і скоротіть дріб:

а) ; б) ; в) ; г) .

2) Скоротіть дріб: а) ; б) ; в) .

3) Розкладіть на множники чисельник і знаменник і скоротіть дріб:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

є) .

4) Скоротіть дріб: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; є) .

 

3. Виконання вправ на використання правила знаків перед скорочен­ням дробів.

1) Спростіть вираз:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; є) .

2) Скоротіть дріб:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

є) ; ж) ; з) .

 

4. Знаходження значень раціональних дробів із попереднім їх скоро­ченням.

1)  Знайдіть значення виразу:

а) при а = 48, b = 16; а = -4,2, b = 11;

б) 15x²y³ : (30xy²) при х = 300, у = 0,06.

2) Знайдіть значення виразу при а = 4; а = .

5. Виконання вправ на повторення: вправи на знаходження ОДЗ дро­бів і умови рівності дробу нулю.

1) Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; є) .

2) Складіть дріб зі змінною х, яка має зміст при всіх значеннях змін­ної, крім:

а) х = 2; б) х = 0 і х = 3; в) х = -3 і х = 3; г) х = і х = .

6. Виконання логічних вправ та завдань підвищеного рівня склад­ності для учнів, які мають достатній та високий рівень знань.

1) Скоротіть дріб:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; є) ; ж) ;

з) .

2) Знайдіть пропущений вираз:

	а ≠ 0	а2 + 1
	1	9

 

VII. Підсумок уроку

Яка рівність є записом правильно виконаного скорочення раціо­нальних дробів?

а) ; б) ;  в) ; г) .

 

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити зміст основної властивості дробу та алгоритму ГГ застосу­вання для скорочення раціональних дробів.
2. Розв'язати вправи на скорочення дробів (рівня, що відповідає вправам класної роботи).
3. На повторення: знаходження значень змінних, при яких дріб дорів­нює нулю, та повторення алгоритму знаходження ОДЗ виразу.