Основні задачі на побудову. Побудова трикутника за трьома сторонами

 

 Урок 1

 

Тема:	Основні задачі на побудову. Побудова трикутника за трьома сторонами
Мета:	Ввести поняття задачі на побудову, її основних етапів, формувати навики складання алгоритму, що приведе до побудови шуканої фігури, на прикладі побудови відрізка, який  дорівнює даному, та побудови трикутника за трьома сторонами, розвивати аналітичне та логічне мислення, креслярські навики, навики побудови фігур в програмному засобі GeoGebra,  виховувати уважність, наполегливість.
Тип уроку:	Засвоєння нових знань. умінь та навичок
Обладнання:	Програмний засіб GeoGebra

 

Хід уроку:

І.  Організаційний момент.

ІІ.  Формування теми і мети уроку.

ІІІ. Актуалізація опорних знань.

Запитання 1. Чи існує трикутник зі сторонами  2 см,  3 см і  6 см?     2 см,  3 см і  5 см?  3 см, 4 см  і 5 см ?

Запитання 2. Яку властивість мають точки, що знаходяться на однаковій відстані від даної точки? Як їх побудувати?

Запитання 3. Які геометричні інструменти використовуються при побудові геометричних фігур?

ІV. Вивчення нового матеріалу.

1. Задачі на побудову. Їх особливість і відмінність від задач на знаходження невідомої величини та доведення. Геометричні побудови за допомогою циркуля і лінійки.

Звертається увага учнів на те, які елементарні побудови можна виконати за допомогою даних інструментів (провести пряму, відрізок, коло чи дугу кола, відрізок даної довжини від початку променя, тощо).

2. Розв’язання  задач на побудову.

Розв’язати задачу на побудову − означає вказати послідовність елементарних побудов, виконання яких приведе до побудови шуканої фігури.  Це  розв’язання полягає в складанні алгоритму побудови даної фігури і доведенні того, що ця фігура має задані властивості.

Розв’язання задач на побудову складається з 4-х етапів:

1.                         Аналіз. Припускають, що дана фігура побудована. Після чого встановлюють, за допомогою яких побудов можна одержати шукану фігуру.
2.                         Побудова. Це складання алгоритму побудови шуканої фігури, яке випливає із аналізу. За даним алгоритмом будується дана фігура.
3.                         Доведення. Потрібно довести, що дана фігура має властивості, задані в умові задачі.
4.                         Дослідження. Визначається кількість розв’язків задачі в залежності від параметрів, що мають задані елементи шуканих фігур.

Задача №1.

Нехай дано відрізок  СD. Побудувати відрізок, рівний даному.

1. Проведемо довільний промінь із початком в точці О.
2. Із центром в точці О і радіусом, що дорівнює довжині даного відрізка, будуємо коло.
3. Нехай побудоване коло із променем перетинаються в точці А.
4. Зрозуміло, що ОА = СD.

Для економії часу учням пропонується здійснити відповідні побудови в програмному засобі   GeoGebra . Для цього використаємо геометричні інструменти «відрізок», «промінь», «коло за даним радіусом», «перетин». На моніторах появиться відповідний рисунок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №2

Побудувати трикутник за трьома даними сторонами a, b, c.

 

(Використовується програмний засіб GeoGebra. Можна запропонувати роботу в групах)

 

Нехай нам дано три відрізки даної довжини a, b, c.

1.     Аналіз.  Припустимо, що даний трикутник побудовано. AB=c, AC=a, CB=b. Замічаємо, що точка С знаходиться від точки В на відстані а, від точки А − на відстані b. Точки, які знаходяться на однаковій відстані від даної точки, лежать на колі даного радіуса. Звідки й  випливає побудова.

ІІ. Побудова.

1. На заданому промені відкладаємо відрізок АВ=с (геометричні інструменти «відрізок» і «коло за даним радіусом»)

2. З центром в точці А проводимо коло радіуса b(геометричний інструмент «коло за даним радіусом»)

3. З центром в точці В проводимо коло радіуса а (геометричний інструмент «коло за даним радіусом»)

 

4. Дані кола перетнуться в точках С і D (геометричний інструмент  «перетин»).

5. З’єднаємо точки  A, C, B і A,B, D (геометричний інструмент «відрізок».
6. Трикутник  АВС − шуканий. (Звернути увагу на трикутник АВD.)

 

 

 

 

 

 

 

 

ІІІ. Доведення випливає з побудови.

ІV. Дослідження проводиться в GeoGebra.

Динамічно змінюючи довжини відрізків a, b, c, отримаємо три випадки (пригадуємо усну задачу про існування трикутника з даними сторонами):

а) кола перетинаються в двох точках − відповідно задача має розв’язок;

б) кола дотикаються − задача розв’язку не має;

в) кола не перетинаються − задача розв’язку не має.

 

 

Самостійна робота в зошитах.

 виконуються задачі  № 738, №740, №756  із підручника. При цьому учитель провіряє креслярські навики учнів, охайність і чіткість виконаних рисунків, звертаючи увагу  на  використання відповідних приладів.

 

 

№ 788

Оскільки дана задача є складнішою, вона розв’язується біля дошки.  Учитель може здійснювати побудову в GeoGebra. Даний малюнок стане в пригоді при дослідженні.

1. Аналіз.

Нехай трикутник  АВС побудований  і в ньому ВС=с, АС=b, OA=R. Вершини трикутника лежать на колі даного радіуса, крім того точка С знаходиться на відстані с від точки В, точка А − на відстані b від точки С (див. попередню задачу).Звідки й випливає побудова.

2. Побудова.

а.) З центром в точці О проведемо коло радіуса R. (коло1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) На ньому візьмемо довільну точку В.

в). З центром в точці В проведемо коло радіуса с (коло 2). Воно перетне перше коло в точках С і D.

г). З центром в точці С проведемо коло  радіуса b(коло 3) . Воно перетне перше коло в точках А і Е.

д). З’єднаємо точки А, В, і С відрізками.  Трикутник АВС − шуканий.

 

3. Доведення  випливає з побудови.

4. Дослідження доцільно проводити в GeoGebra, динамічно змінюючи довжини  заданих в умові задачі параметрів. В даному випадку задача має два розв’язки, оскільки коло 3 перетинає коло 1 в двох точках. Трикутник ВЕС має ті ж властивості, що й трикутник АВС.

Звертається увага учнів на існування точки D перетину кола 2 і кола 1. Якщо здійснити аналогічні побудови, то отримаємо трикутники, що дорівнюють уже побудованим. Тому кількість розв’язків  − 2.

Якщо b=c, то задача матиме один розв’язок.

Якщо R≤ c, то задача не матиме жодного розв’язку.

 

 

V. Підбиття підсумків уроку.

Узагальнення вивченого  можна здійснити, задавши запитання до класу.

 

Якими інструментами користуються при розв’язуванні задач на побудову?

Що означає розв’язати задачу на побудову?

Які етапи  присутні в кожній задачі на побудову?

Як побудувати відрізок, рівний даному?

Як побудувати трикутник, рівний даному?

VІ. Домашнє завдання. § 26, урок 42,  №747, № 757, № 761.