Паралельність прямих і площин при побудові перерізів

Урок геометрії, 11 клас

Тема уроку. Розв’язування вправ на використання паралельності прямих і                    площин при побудові перерізів многогранників.

Мета уроку:

• Повторити, систематизувати й узагальнити знання учнів щодо поняття перерізу геометричного тіла площиною;
• домогтися  засвоєння найпростіших міркувань, що лежать в основі розв’язування найпростіших  задач на побудову перерізу многогранників;
• вдосконалювати навички та вміння розв’язувати задачі на побудову перерізів куба, паралелепіпеда, тетраедра;
• розвивати: уважність, спостережливість, правильне послідовне мислення, пам’ять, вміння аргументовано висловлювати власні думки, формувати вміння співпрацювати під час виконання групових завдань;
• виховувати: відповідальність, доброзичливість, культуру поведінки під час суперечок, почуття гордості за виконану роботу.

Тип уроку: узагальнення і систематизація знань, умінь і навичок.

Обладнання: мультимедійна презентація з теоретичного та практичного застосування матеріалу, рівневі тестові завдання, роздавальний матеріал, для роботи в малих групах.

Епіграф:  Успіх приходить до тих, хто мислить категоріями успіху.   

                                                                                             Леонід Канторович

Хід уроку

І. Організація класу. Створення емоційного настрою.

Технологія особистісно зорієнтованого навчання  «Обмін думками»

 Шановні, учні! Послухайте  вірш  українського письменника М. Рильського.

Не бійтесь заглядати у словник:

Це пишний яр, а не сумне провалля,

Збирайте, як розумний садівник,

Достиглий овоч у Грінченка й Даля,

Не майте гніву до моїх порад,

І не лінуйтесь доглядать свій сад.

                                                                                                                    (слайд 1)

• Якщо слово «словник» замінити словом «довідник», щоб ближче до математики, то які поради для себе ви можете взяти із цього вірша?
• А, що ви очікуєте від нашого уроку? (Відповіді дітей можуть бути як змістовними, так і емоційними.)

ІІ. Формулювання теми, мети і завдань уроку.

 (Учитель повідомляє тему і разом з учнями формулює мету й завдання     уроку.)

  Тема сьогоднішнього уроку:  «Розв’язування вправ на використання      паралельності прямих і площин при побудові перерізів многогранників».   

                                                                                                                      (слайд 2)

  А як ви думаєте, яка  мета і завдання нашої роботи?  

   (Учні дають свої відповіді).

Основна мета нашої роботи полягає в тому, що ми повторимо і

узагальнимо  поняття перерізу геометричного тіла площиною; вдосконалимо  уміння розв’язувати найпростіші  задачі на побудову перерізів  многогранників;

розвиватимемо  послідовне мислення, пам’ять, уміння  аргументовано

 висловлювати власні думки, а також

 виховуватимемо  правила роботи в групах та культуру поведінки під час

 суперечок.     (слайд 3)                    

Тож не забуваймо, що успіх приходить до тих, хто мислить категоріями успіху.    (слайд 4)

 ІІІ. Перевірка домашнього завдання.

  Інтерактивна вправа  «Так чи ні».   (слайди  5 - 7)

 Усе у нашому житті поєднується у трикутник. Що ж об’єднує такі поняття, як знання, вміння і навички? Звичайно домашнє завдання. Пропоную  перевірити його у незвичайній формі, виконавши вправу  «Так чи ні».  Ви завчасно готували запитання опонентам. Тож,  використовуючи малюнки  на екрані, розпочинаємо  нашу роботу.  

Гра  « Так чи ні».

   1.Чи можна вважати правильною піраміду, в якої:

І.                                                                        ІІ.

основа рівнобедрений трикутник,       основа рівносторонній трикутник, а

а бічні ребра однакової довжини?      Бічні ребра дорівнюють стороні основи?

2. Чи може бути ромб паралельною проекцією:

І.                                                                        ІІ.

прямокутника?                                           трапеції?

3. Чи є правильною пряма призма, якщо її основа:

І.                                                                            ІІ.                                                                 
квадрат?                                                       трапеція?

4. Чи паралельна площині перерізу ВВ₁Д₁Д пряма МN, де:

І.                                                                        ІІ.

М – середина  АВ,                                       М – середина  В₁С₁,

N – середина  АД?                                       N – середина  Д₁С₁?

5. Чи паралельна площині перерізу  ВВ₁Д₁Д пряма:

І.                                                                        ІІ.

ВВ₁?                                                                 СС₁?

В кубі АВСДА₁В₁С₁Д_! проведено переріз  АВ₁С:

6. Чи паралельна площині перерізу АВ₁С пряма:

І.                                                                         ІІ.

ДС_1.?                                                                Д₁С?

7.Чи паралельна площині перерізу АВ₁С пряма:

І.                                                                         ІІ.

А₁Д₁?                                                               А₁С₁

 ІV. Актуалізація  опорних  знань.

Дорогі діти! Я рада вітати вас у творчій геометричній лабораторії. Впевнена, що після нашої зустрічі кількість тих, хто любить і знає математику зросте.

   Під час розв’язування  геометричних  задач, а особливо задач на побудову перерізів, застосовують різні означення і теореми паралельності прямих і площин. Щоб перейти до наступного етапу нашої роботи,  пропоную провести невелике  «Експрес-опитування»,  використовуючи рисунок і запитання, які перед вами на екрані і на роздавальному матеріалі .

«  Експрес-опитування»  (слайд  8)

1.Запишіть пряму, яка лежить у площині β і паралельна прямій:

І. (АС).                                                              ІІ.   (ВД).

2.Запишіть відрізки, довжини яких дорівнюють:

І. (ВВ₁).                                                             ІІ.  (ДД₁).

3.Обчисліть довжину відрізка:

І. (В₁Д₁, якщо ВД = 15см).                             ІІ.  (АС, якщо А₁С₁ = 45см).

4. Визначте вид чотирикутника:

І.  ( А₁В₁С₁Д₁ ).                                                  ІІ.  ( Д₁ДСС₁ ).

                                                                        ВВ В                        С

      В

V. Узагальнення і систематизація вивченого матеріалу.

 Технологія особистісно розвивального навчання:  «Коло ідей». (слайд 16-23)

  Сьогодні  наш  урок – це урок ідей. І хоча  їх ще не можна назвати великими, пам’ятаймо – велике починається з малого. Разом навчатися не тільки легше і цікавіше, але й значно ефективніше.                                                     (слайд 9)

 Тому на цьому етапі уроку будемо працювати під девізом:

Думаємо колективно,

Пропонуємо оперативно,

Сперечаємося доказово –

Це для всіх обов’язково.

                                                                                                                     (слай10)

Метод перерізів многогранників у стереометрії використовується в задачах на побудову. У його основі лежить вміння будувати переріз многогранника і визначати його вид. Щоб розв’язати задачу на побудову перерізу многогранника ви повинні знати:

• що означає побудувати переріз многогранника площиною;

• як можуть розташовуватися відносно один одного многогранник і площина;

• коли задача на побудову перерізу многогранника площиною вважається розв’язана. (Слайд 11)

Побудова перерізів базуватиметься на знаходженні лінії перетину січної площини з площинами граней многогранника.

   В запропонованій підбірці будемо розв’язувати задачі такого типу: на даному зображенні многогранника потрібно побудувати зображення його перерізу заданою площиною. 

   Mи розберемо розв’язання деяких задач, пов’язаних з визначенням виду перерізу многогранника. Зосередимося на кроках побудови таких перерізів. Втім, при розв’язуванні подібних задач потрібно обґрунтовувати кожен такий крок – без цього розв’язання не можна вважати повним.

   Розглянемо спочатку найпростіший випадок, коли січна площина задана трьома точками, дві з яких лежать в площині однієї грані многогранника. В цьому випадку, як правило (якщо не виникає паралельності деяких прямих), для обґрунтування побудови не доводиться виходити за рамки аксіом і, можливо, найпростіших наслідків з них. (слайд 12)

   Перед тим, як  приступити до виконання практичних завдань, повторимо кілька теоретичних питань.

1. Яка площина називається січною площиною для многогранника?
2. Що таке переріз многогранника?
3. Як побудувати переріз многогранника січною площиною ?

(слайд13-15)

Зараз ми спробуємо розв’язати кілька  задач, на побудову перерізу геометричного тіла   площиною, використовуючи свої знання і уміння. Працюватимемо в групах, ви  обговорюєте отримані завдання, потім   пропонуєте  свої ідеї. Група, яка першою знайшла шлях щодо розв’язання  даної задачі вигукує:

 «Ідея!» і презентує  спосіб розв’язування  задачі  на дошці,  дає відповіді на тестові завдання та  знаходить відповідність між прямими і площинами, які їм паралельні.

 Запитання для груп  

« Коло  ідей »

Запитання для   І  групи.    

1. Яка площина називається січною площиною для многогранника?

Що таке переріз многогранника?

2. Побудуйте переріз куба площиною, що проходить через точки Р, Q, R розташовані так, як показано на рисунку.  (слайд 16, 17)

                                                                     В₁                                     С₁

                                                А₁                                    Д₁                         Р         

                                                                   В                                            С

                                               A                                              Д     

                                                                            R

Тестові завдання:

3. Дано площину  α і точку  А  поза нею. Скільки існує прямих, які проходять через точку  А  і паралельні  α.  (слайд 20)

4.Дано зображення прямокутного

паралелепіпеда АВСДА₁В₁С₁Д₁ . (слайд 22)

Установіть відповідність між                                        В₁                                   С₁

прямими (1-4) та площинами                            А₁                                Д₁

які  їм паралельні (А-Д):

1.АВ₁                А   (АВВ₁)

2.Д₁С                Б   (В₁С₁С)                                                    В                                    С

3.В₁Д₁               В   (ДСС₁)

4.АД₁                С   (АДД₁)                                      А                                      Д

                          Д   (АВС)  

                                                               « Коло ідей »

Запитання для  ІІ  групи. 

1. Як  побудувати переріз многогранника січною площиною?

2. На ребрах тетраедра  АВСД дано точки  К, Р, Т, як показано на рисунку. Побудуйте переріз тетраедра площиною, що проходить через дані точки.  (слайд 18, 19)

                                                                                                       Д     

                                                                                                                                  В  

                                                                      А                                                   Т    

                                                                                             М    

                                                                                                           С     

 Тестові завдання:

3. АВСДА₁В₁С₁Д₁ – куб, М – середина ребра СС₁. Визначте число сторін перерізу куба площиною, яка проходить через точки  А, В₁ , М. (слайд 21)

  4.Дано зображення прямокутного

паралелепіпеда   АВСДА₁В₁С₁Д₁ . (слайд 23)

Установіть відповідність  між

прямими  (1-4) та площинами                                         В₁                                 С₁

які  їм паралельні  (А-Д):

1. АВ₁               А  (АВС)                            А₁                               Д₁
2. Д₁А               Б  (В₁С₁С)
3. В₁Д₁              В  (ДСС₁)
4. СД₁                Г (АДД₁)                                            В                         С

                      Д  (АВ В₁)               

                                                                                 А                                       Д

Завдання для обох груп  (слайд 24, 25)

Довжина ребра куба АВСА₁В₁С₁Д₁  дорівнює см. Точки M, N, P – середини відповідних ребер: M А₁В₁,  N В₁С₁, P ВВ₁. Знайдіть периметр перерізу куба площиною, яка проходить через точки M, N, P.

                                                                                                   В₁                                 С₁

                                                                                          N

                                                                          А₁                                  Д₁

                                                                                В                         С

                                                                     А                                    Д            

VІ. Підсумок уроку.

 Вітаю  вас! Спільними зусиллями ми виконали  ряд завдань і виявили себе чудовими знавцями геометрії. А тепер хочу почути, що вам сподобалося на сьогоднішньому уроці, а , що можна змінити на краще.

 Пропоную вам декілька запитань.   (слайд 26)

• Якою діяльністю ми займалися на уроці?
• Чого навчилися?
• Яка мета нашої праці на уроці?
• Чи досягли ми очікуваних результатів (цілей)?
• Чи сподобався вам спосіб проведення сьогоднішнього уроку?
• Що особливо сподобалося під час уроку? Що не сподобалося?
• Як спілкування під час роботи впливало на виконання завдання?
• Чи збереглася єдність групи в процесі виконання завдання?
• Матеріал уроку був мені:  …
• За урок я:   …
• Своєю роботою на уроці я:   …

  (Учні дипломатично висловлюють свої думки.)

 Сьогодні ми багато чого встигли зробити на уроці, тому варто оцінити наші зусилля. Пригадаймо ще раз все, що ми зробили, чого навчилися і що зрозуміли, як працювали в групі, які ставили запитання. Поставте собі оцінку за урок.

 VІІ. Домашнє завдання

 І традиційно запишемо домашнє завдання.  (слайд 27)

  Повторити матеріал даної теми «Розв’язування вправ на використання паралельності прямих і площин при побудові перерізів многогранників.

  Скласти і розв’язати два тестових завдання по даній темі. 

  Підготувати три запитання своїм опонентам.   

Висновок:

«Хоча чужі знання можуть нас чогось навчити, мудрим стаєш лише власною думкою»

М. Монтель

Дякую за урок, за роботу на ньому!

 Бажаю усім присутнім успіху!