Урок узагальнення знань з теми "Призма". Геометрія 11 клас. Метод проектів.

Кросворд1.2.3.5.4.6.

1. Чотирикутник , у якого дві протилежні сторони паралельні.2. Геометрична фігура що складається з трьох точок і трьох відрізків , які попарно з’єднують ці точки.3. Результат дії віднімання.4. Число або вираз , записані під рискою дробу.5. Паралелограм , у якого всі сторони рівні.6. Перше чудо світу.

Призма. Пряма і правильна призма. Площа бічної та повної поверхонь призми. Об’єм призми

домогтися засвоєння учнями означення призми, її елементів, видів призм; розвивати в учнів сприйняття геометричних фігур у просторі, логічне мислення, процеси аналізу і синтезу; формувати ціннісне ставлення до праці, до людей, до себе. Мета

Мої учні дізнаватимуться про нове не від мене; вони відкриватимуть це нове самостійно. Моє основне завдання допомогти їм розкритися. М. ПесталоцціЕпіграф

Прямокутний паралелепіпед. Куб

Приклади

Інструменти призматичної форми

Масштабна лінійка - найпростіший прилад для вимірювання довжини

Напилок - стальний брусок певного профілю і довжини, на поверхні якого є насічки

Гайка - кріпильний виріб з нарізним отвором . Застосовується в болтових і шпилькових з'єднаннях

Болт - кріпильна деталь у вигляді циліндричного стрижня. Використовується для скріплення деталей та конструкцій.

Двосхилий дах має форму 3-гранної призми;дах простягається уздовж будинку на 21м,ушир8,5м,а висота даху(підйом)-3,2м. Скільки м2 займає поверхня даху? 

BCC1 B1-прямокутник. S(BCC1 B1)=BC×CC1∆ABC-рівнобедрений. AB=BCBO-висота і медіана за властивістю рівнобедреного трикутника. AO=AC:2=8,5:2=4,25(м)За теоремою Піфагора ВС=АО2+ВО2=4,252+3,22=18,1+10,24=28,3=5,32 S(BCC1 B1)=5,32×21=111,72 Sповерхні=223,44м2 

Потрібно зацементувати підвал глибиною 2 м, шириною 2,5 і довжиною 4м. Скільки потрібно використати для цього пудів цементу , якщо на кожний квадратний метр дна йде 2 пуди ,а на квадратний метр стіни-0.8 пуда цементу(підвал має форму прямокутного паралелепіпеда)1 тонна =61 пуд

S=Sб+S0 S0=4×2.5=10(м2)- площа дна2×10=20(пудів)- потрібно для того, щоб зацементувати дно. Sб=2×4×2+2.5×2×2=16+10=26(м2)- площа стін0.8×26=20.8(м2)- потрібно для того, щоб зацементувати стіни 20+ 20.8=40.8(пудів) 

Дякуємо за увагу!

Призматичний спорт

У спорті теж не обходиться без знарядь у формі призми. Спотрсмени стрибають у висоту через дерев’яну планку трикутного перерізу 3×3см або через дюралеву трубку діаметром 23-26мм,в обидва кінці якої вставляють дерев’яні буші трикутного або квадратного перерізу. 

У фехтуванні використовується 3 види холодної зброї. Рапіра-колюча зброя;має легкий еластичний клинок прямокутного перерізу довжиною 90см.

Шпага-колюча зброя із жорстким тригранним клинком довжиною 90см.

Шабля- зброя; має клинок довжиною 105см фігурного перерізу, з подовжніми пазами на бічній частині.

Для гри в настільний теніс виготовляють стіл висотою-0,76м від підлоги. Для кришки беруть фанеру або дошки товщиною-30мм. Розмір кришки-2,74м х 1,525м.

Для здоров’я учнів необхідно, щоб у класі на кожного учня припадало не менш 6м3 повітря. Клас довжиною 10м,шириною 6м,висотою 3,5м. Скільки учнів може знаходитись без шкоди для здоров’я?1) 10*6*3,5=210(м3)2) 210:6=35 (уч.)Відповідь: У класі може бути 35 учнів. 

Чи вистачить у вас сили підняти куб литого золота з ребром 18,8см?p=19,3г/см3m=V*ρV=𝑎3=18,83 V=6644,672см3m=6644,672*19,3=128 242,17г≈128кг 

За кожним ударом серця людини виштовхує 175см3 крові. Серце робить 75 ударів за хвилину. Яких розмірів кубічну посудину потрібно було б мати, щоб вмістити кількість крові, яку перекачує серце за добу?Позначимо ребро шуканої посудини за х. Тоді: х3=75∗60∗24∗175=189∗105 Тобто х=260см=2,6м 

Чому ми живемо у світі неправильних форм?

Споруди неправильної форми. Печери. Вивчення далеких періодів людської культури, сліди якої навчилась розпізнавати археологія, підводить до переконання, що спочатку споруди були неправильної форми: в них позначилась звичка людини до використання природних укриттів – печер.

Прямокутна система побудови архітектурної форми була обумовлена статичною основою споруд, і найпростішим, що легко піддається вимірюванням, членуванням площини та простору.

Прямокутні форми. Людина створила собі світ прямокутних речей, видобуваючи із природи те,що може послугувати її потребам – це результат діяльності людського розуму.

Велика Китайська стіна. Низка кам’яних та земляних укріплень в північній частині Китаю, збудованих з метою захисту північних кордонів Китайської імперії від вторгнень різних кочових племен.

Мінарет( Північна Африка)Мінарет – місце, яке збирає населення на спільну молитву. Види мінаретів: Іракський;Марокканський;Османський;ІндійськийЄгипетський ранній. Татарський

Мінарет( Близький і середній схід )

Задача. Скільки цегли потрібно для кладки 18 стовпів висотою 1,7 м з перерізом у вигляді квадрата зі стороною 5 дм ? Розмір цеглини 1 дм x 1,5 дм x 3 дм. Додати 5% на злам.

Розв’язання5 дм = 0,5 м;S = 0,5 · 0,5 = 0,25 м^2;V = S · h = 0,25 · 1,7 = 0,425 м^3;0,425 · 18 = 7,65 м^3 = 7650 дм^3;V = 1 · 1,5 · 3 = 4,5 дм^3;7650 : 4,5 = 1700 – кількість цеглин;1700 · 0,05 = 85;1700 + 85 = 1785 – потрібно цеглин. Відповідь: 1785 цеглин.

Задача. Будинок має довжину 11 м, ширину – 8,5 м. На даху (розташованому горизонтально) цього будинку лежить шар снігу глибиною 25,4 см. Який вантаж витримує дах, якщо 1 м снігу має масу 88 кг?

Розвʼязання. Дано: V´= 1м^3; m´= 88кг; p = m´/V´=88кг/м^3. V = S · h – обʼєм снігу;S = 11 · 8,5 = 93,5м^2;25,4см = 0,254м;V = 93,5м^2 · 0,254м = 23,749м^3;m = 88 · 23,749 = 2089,912 = 2090кг = 2т – маса снігу. Відповідь: при даних вказаних вище, дах може витримати 2т снігу.

Призма у житті бджіл

Будовою стільників дуже давно цікавилися не лише математики. Займалися нею:

Арісто́тель — давньогрецький вчений-енциклопедист, філософ і логік, засновник класичної  логіки. Арістотель народився в місті Стагіра. У 367 до н. е. — 347 до н. е. вчився в академії Платона в Афінах, у 343 до н. е. — 335 до н. е.  був вихователем сина царя Македонії Філіппа II — Александра III. У 335 до н. е. повернувся до Афін, де заснував свою філософську школу — перипатетиків. Серед його творів — «Нікомахова етика», перша «Поетика». Арістотель жив і працював у той час, коли культура вільних грецьких міст-держав досягла найвищого розквіту і почала поширюватись разом із завойовницькими війнами Александра Македонського далеко за межі Балканського півострова Ним були закладені основи біології, фізики, етики, логіки, психології, соціології

Пліній Старший, Гай Пліній   римський історик, письменник, державний та військовий діяч. Старшим його називають на відміну від його племінника, Плінія Молодшого. Передусім відомий як автор «Природничої історії» — найбільшого енциклопедичного твору античності; інші його твори не дійшли до наших днів. Пліній служив у армії на північному кордоні Римської імперії, а після повернення до Риму зайнявся літературною діяльністю. Загинув у результаті виверження Везувію.

Рене Реомюр Рене Антуан Реомюр народився 28 лютого 1683 в Ла-Рошелі, в сім'ї нотаріуса. Здобув освіту в школі єзуїтів у Пуатьє. З 1699 року Рене вивчав право і математику в університеті Бурже. З 1703 року він продовжив вивчення математики і фізики в Парижі. Потім опублікував три роботи з математики, після чого був прийнятий в члени Паризької Академії наук в 1708 році. Наукові праці Реомюр присвячені математиці, фізиці, хімічній технології, зоології та ботаніки. Рене також розробив спосіб виробництва матового скла. Реомюр був вченим-універсалом, що зустрічається дуже рідко. Його широта інтересів допомагала працювати на перетині абсолютно різних сфер знань.  Помер Рене Антуан Реомюр 17 жовтня 1757 у Мені

Бджоли своєму житлу надавали таку форму, щоб за мінімальних витрат матеріалу та витрат часу побудувати найбільш приміщення просторе і максимально раціонально використати невеликий простір вулика. Вже Піфагор помітив, що існує лише три правильних многогранники, за допомогою яких можна без порожніх місць покрити всю площину навколо будь-якої точки: рівносторонній трикутник, квадрат і правильний шестикутник. Отже, лише одна із цих фігур може бути основою комірки, саме та, в якої мінімальний периметр і одного де максимальна площа поверхні. Таку властивість має правильний шестикутник.

Правда, коло із певною і площею має ще менший периметр, але якби стільникові комірки мали форму циліндрів, то залишилось би багато не використаної площі, що значно б зменшило загальний корисний об’єм стільника. Тому комірки повинні мати форму правильної призми із шестикутною основою. Якої форми повинна бути кришка верхня основа цих призм — плоска чи якої-небудь іншої форми? Досить складні обчислення показують, що плоска кришка медової комірки не була б найбільш економічною, що більш економічною є кришка, утворена трьома ромбами зі спільною вершиною. Отже, велика кількість предметів навколо нас має форму призми.

ЗадачаІз запасів меду 50 відер через їдальню продано 1000 склянок меду. Кожна склянка має форму правильної 6-кутної призми із ребром 3,2см і висотою 10см. Решту меду продали оптом через магазин. Скільки відер меду продали через магазин? Якщо об’єм одного відра 12300см3  

Дано: a=R=3.2 ∠=60° 𝑠∆𝐴𝑂𝐵=12𝑅∙𝑅sin60°=0.5∙3.22∙0.87=                            4.45(см2) 𝑆6=4.45∙6=26.7(см2)𝑉=𝑆6∙𝐻=267(𝑐м3)267∙1000=267000(см3)- продано меду через їдальню12300∙50=615000(см3)- об’єм всього меду615000−267000=348000см2−продано оптом348000:12300≈28 відер. Відповідь: в загальному усього меду було 28 відер. 

Задача. Підлога в прямокутному залі викладена мармуровими плитами. Кожна плита має форму правильної 8-кутної призми зі стороною основи 6,4см і товщиною 2,5см. Яку площу займає підлога,якщо маса всіх плит 89 690кг?

Дано:m=89690кгh=2.5смp=𝑚𝑉; 𝑆∆=12ar V=S∙h r=𝑎2tan180°𝑛 Розв’ання:r=6.42tan22.5°=3.2tan22.5°=3.20.4122=7.76𝑆∆=12∙6.4∙7.76=24.8𝑆=8∙24.8=198.4см2−площа одної плитки𝑉=198.4∙2.5=496см3=496∙10−6см3 p=1900кгсм3𝑚1=1900кгсм3∙496∙10−6см3=9424∙10−4=0.9424кг −маса одної плитки89690 : 0.9424=95172(шт)95172 ∙ 0.0198=1883м2 Відповідь: плитка займає площу 1884м2 

Геометрія у природі

Кам'яна сіль

Берил 

Мідний купорос

Кварц 

Папірус

Квадратні кавуни

Сніжинка у формі правильної шестигранної призми має діаметр основи 0,14 мм, а висоту - 0,34 мм (у середньому). Яку масу має мільйон таких сніжинок? 1 см³ льоду має масу 0,9 г.

У мікроскоп розгледіли крупинку кухонної солі кубічної форми з ребром довжиною 0,01 мм, 1 см³ кухонної солі має масу 2 г. Скільки таких мікроскопічних крупинок повинно піти на 410 г?

Призма та її елементи

Означення. Призмою називається многогранник, що складається з двох плоских многокутників, які лежать у різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих многокутників. Розглянемо два рівних многокутники А1 А2…Ап і В1 В2…Вп, розміщених у паралельних площинах α та β так,що відрізки А1 В1, А2 В2, …,Ап. Вп, ХУ які сполучають відповідні точки многокутників, паралельні. Кожен з п чотирикутників є паралелограмом, оскільки має попарно паралельні протилежні сторони. Наприклад, у чотирикутнику А1 А2 В2 В1 сторони А1 В1 і А2 В2, паралельні за умовою, а сторони А1 А2 , В2 В1 - за властивістю паралельних площин, що перетинаються третьою площиною. Означення призми та її елементів

Многокутники А1 А2…Ап і В1 В2…Вп називаються основами призми. Паралелограми А1 А2 В2 В1 називаються бічними гранями призми Відрізки А1 В1, А2 В2 називаються бічними ребрами призми

Відрізок, що сполучає дві вершини, які належать одній грані, називається діагоналлю цієї грані. Діагоналі основи призми: АС і ВDДіагоналі бічної грані АDD1 А1 – відрізки А D1 і DА1 Відрізок, що сполучає дві вершини призми, які не належать одній грані, називається діагоналлю призми

Діагональним перерізом призми називається переріз призми площиною, що проходить через два бічних ребра, які не лежать в одній грані.1. Скільки діагональних перерізів у чотирикутної, п’ятикутної призми? У п-кутної призми?2. Якими многокутниками є діагональні перерізи призми?

Перпендикуляр, проведений з якої-небудь точки однієї основи до площини другої основи, називається висотою призми. Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до основ, то призма називається прямою, в противному випадку – похилою. Висота прямої призми дорівнює її бічному ребру. Види призм

Чотирикутна призма М1 М2 М3 М4 N1 N2 N3 N4 Призму з основами А1 А2…Ап і В1 В2…Вп позначають А1 А2…Ап В1 В2…Вп і називають п-кутною призмою. Трикутна призма А1 А2 А3 В1 В2 В3

Площею повної поверхні довільної призми є сума площ її бічних граней і подвоєної площі основи: Sп=Sб+2 Sо Знайдемо площу бічної поверхні призми. Виконаємо розгортку довільної призми. Площею бічної поверхні довільної призми є сума площ її бічних граней.

Площа бічної поверхні призми – це сума площ прямокутників S1, S2, S4, кожна з яких дорівнює добутку однієї із сторін основи на висоту призми (бічне ребро). Тому площа бічної поверхні прямої призми: , де h – висота, а P – периметр основи призми. Sб=h. P

Зображення призми. Побудуємо зображення похилої чотирикутної призми 1. Будуємо верхню основу - плоский многокутник Р (чотирикутник АВСD). 2. 3 вершин многокутника проведемо бічні ребра у вигляді рівних паралельних відрізків. 3. Сполучимо кінці одержаних відрізків, отримаємо нижню основу. Зауваження. Зображення невидимих ліній виконується пунктиром. Побудуємо зображення прямої трикутної призми. 1. Будуємо верхню основу - плоский многокутник Р (трикутник АВС). 2. З вершин многокутника вертикально проведемо бічні ребра у вигляді рівних паралельних відрізків. 3. Сполучимо кінці одержаних відрізків, отримаємо нижню основу.

Лірика в математиціВ паперовий прямокутник звичний. Шестигранна призма олівця. Цілилася стрижнем циліндричним Конусом загострена з кінця. Хоч невдовзі чорна серцевина Влучила у білу площину, Гострий кут, який між ними виник, Означа співпрацю, не війну.

Паралелепіпед для стирання, Ще не торканий, не мав проблем,Та на аркуші не раз йому старанно Доведеться зменшить свій об’єм. А коли натхнення свіжий вітер Зафіксує вектори-думки, Стануть диво-графіками літер В паралельних лініях рядки.