Перерізи конуса площинами

Тема уроку. Перерізи конуса площинами. Зрізаний конус. 

Мета уроку: 

Навчальна: розглянути        основні        види перерізів     конуса         —      переріз, перпендикулярний до осі; переріз, що проходить через дві твірні; формування поняття зрізаного конуса та його елементів; сформувати вміння розв’язувати задачі, зо передбачають використання цих понять та властивостивостей.

Розвиваюча:

Розвивати в учнів правильне уявлення про місце математики в житті, на практиці, зв’язок з іншими предметами.

Виховна: виховувати наполегливість, самостійність, культуру спілкування, зацікавленість своєю професією

Тип уроку: урок засвоєння нових знань, формування вмінь.

Комплексно-методичне забезпечення уроку:

-   підручник;

-   таблиці;

-   моделі тіл обертання;

-   виготовлені деталі;

-   інструменти креслення;

-   мультимедійна система;                                                                            

-   презентація з відео.

Обладнання: моделі конусів, зрізаних конусів, програмний засіб Geogebra, Zoom.

 

Хід уроку

I. Організаційний момент. Перевірка підготовки до уроку

Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу. Для проведення уроку учням необхідно мати смартфон та ноутбук (ПК, планшет). Для завантаження презентації до уроку з відео перейдіть за посиланням https://drive.google.com/file/d/1fxxGevwub9pjWgKW5lLVzOjVcp8eLKk3/view?usp=sh aring  або відскануйте код

 

ІІ.  Перевірка домашнього завдання

Питання:  Пригадаємо  яке тіло обертання  вивчили на попередньому уроці ?             Навести  приклади  предметів,  які мають конічну форму.    (слайд № 4 -10 )                       Конус в перекладі з грецького «konos» означає «соснова шишка». 

З конусом люди знайомі з глибокої давнини. Питаннями вивчення конуса займалися Архімед, Демокріт, Платон, Сократ. Аполону Пергський написав великий трактат про конічних перетинах (260-170 рр. До н.е.). Він був учнем Евкліда (III ст. До н. Е.). Евклід створив великий труд з 15 книг під назвою «Начала». Ці книги видаються і в даний час, а в школах Англії по ним вчаться досі. 

Тестування учнів. Учням пропонується пройти тест. Посилання на тест у вигляді qr-коду.  

 

(У тесті всього 7 питань. Максимальна оцінка – 7 балів. Вкінці уроку учні проходять ще один тест, максимальна кількість балів якого 5 балів. В сумі – 12 балів).

ІІІ. Формування мети й завдань уроку

На попередньому уроці розглянули один із перерізів конуса, а саме осьовий переріз конуса. 

Запитання до учнів: «Якою геометричною фігурою є переріз конуса площиною:  а) яка проходить через вершину та хорду конуса; 

б) паралельною його основі? 

в) на які частини ділить конус площина, паралельна його основі?».

Після обговорення відповідей на ці питання повідомляється, що основними завданнями уроку є обґрунтування того, що перерізом конуса площиною, паралельною площині основи, є круг, а також формулювання строгого математичного означення зрізаного конуса та вивчення його властивостей.

IV.   Засвоєння знань.

План вивчення теми (слайд 12):

1.   Переріз конуса площиною,  яка проходить через його вершину  та хорду.

2.   Переріз конуса площиною,  паралельною площині його основи.

3.   Означення зрізаного конуса.

4.   Елементи зрізаного конуса.

5.   Зрізаний конус як тіло обертання прямокутної трапеції навколо меншої бічної сторони.

6.   Осьовий переріз зрізаного конуса. 

7.   Властивості зрізаного конуса.

8.   Конічні поверхні як джерело кривих другого порядку.

 

Перерізи конуса площинами. Зрізаний конус

1.   Перерізом конуса площиною, яка проходить через його вершину і хорду, є рівнобедрений трикутник, бічними сторонами якого є твірні конуса (окремий випадок – осьовий переріз) (слайд 13, перегляд відео).

 

∆𝑩𝑬𝑫 − переріз конуса площиною,  яка проходить через його вершину В  та хорду ED.

 

2.   Теорема. Перерізом конуса площиною, паралельною площині основи, є круг, центр якого лежить на осі конуса. Твірна й висота конуса діляться площиною цього перерізу на пропорційні частини (слайд 14, перегляд відео).

   

З теореми виплаває, що BC:BE=CA:ED.

Наслідок. Площа перерізу конуса, паралельного площині основи, відноситься до площі основи, як квадрати відстаней від вершини конуса до площин перерізу й основи, тобто:

 

3.   Зрізаним конусом називають частину конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною основі (слайд 15, перегляд відео). Учні виконують відповідні записи та малюнки у зошити з слайду.

 

4.   Основами зрізаного конуса є основа цього конуса і круг, що одержали у перерізі.

Висота зрізаного конуса – це перпендикуляр, проведений із точки однієї основи до площини другої.

Твірними зрізаного конуса є відрізки твірних поданого конуса, обмежені площинами основ зрізаного конуса (слайд 16-17, перегляд відео).

 

 

BC - радіус меншої основи зрізаного конуса;

AD – радіус більшої основи зрізаного конуса; CD – твірна зрізаного конуса; CF – висота зрізаного конуса.

5.   Зрізаний конус є тілом, яке утворене в результаті обертання прямокутної трапеції навколо меншої бічної сторони. Більша сторона трапеції є твірною зрізаного конуса. Пряма, яка проходить через центри основ зрізаного конуса, є його віссю (слайд 18, перегляд відео).

Розглянемо прямокутну трапецію ABCD, яка обертається навколо сторони AB.

 

В результаті обертання отримали зрізаний конус:

 

 

6.   Осьовим перерізом зрізаного конуса називають переріз площиною, яка проходить через його вісь (слайд 19, перегляд відео).

  

7.   Властивості зрізаного конуса:

-       твірні зрізаного конуса рівні;

-       осьовим перерізом зрізаного конуса є рівнобічна трапеція, бічні сторони якої – твірні, а основи – діаметри основ зрізаного конуса.

 

JMCI – осьовий переріз зрізаного конуса.

        

 

8. Конічні поверхні як джерело кривих другого порядку.

Вище розглянули конічні перерізи, які або паралельні  основі конуса, або проходять через його вершину. А якщо проводити січну площину інакше? Виявляється, що можна отримати еліпс, параболу, гіперболу. 

Одним з перших, хто почав вивчати ці криві, був учень знаменитого Платона, давньогрецький математик Менехм (IV ст. до н. е.). змінюючи кут при вершині прямого кругового конуса, Менехм отримав три види кривих: еліпс – якщо кут при вершині конуса гострий; параболу – якщо кут прямий; одну гілку гіперболи – якщо тупий. Їх запропонував один із найвизначніших геометрів давнини Аполлоній Пергський (262-190 до н.е.), який присвятив чудовим кривим трактат з восьми книг «Конічні перерізи». Аполлоній показав, що еліпс, параболу, гіперболу можна отримати, проводячи різін перерізи одного й того самого конуса.

 

Назви цих кривих вигадав не Менехм (слайд 20).

 

         

Якщо січна площина не паралельна основі конуса але перетинає всі його твірні,  то вона перетинає конічну поверхню по еліпсу 

(слайд 21, перегляд відео).

 

 

 

Якщо січна площина паралельна тільки одній з твірних конуса, то вона перетинає конічну поверхню по частині параболи (слайд 22, перегляд відео).

        

Якщо січна площина паралельна двом твірним, то вона перетинає конічну поверхню по частині гіперболи (слайд 23, перегляд відео).

 

V. Формування вмінь Виконання усних вправ

1.     Через середину висоти конуса проведено площину, паралельну його основі. Чому дорівнює відношення площі утвореного перерізу до площини основи конуса (слайд 24)?   

Розвязання: Нехай AB=h, а BF=h₁, тоді

 

 

Відповідь: S_пер=0,5S_осн. 

 

2.     Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 3 м і 6 м, висота конуса – 4 м.

Знайти твірну цього конуса (слайд 25).  

 

Розвязання:

Розглянемо  трапецію ABCD. DE –висота. Тоді DE=BC= 4 см.

ЕА=АВ-ВЕ=6-4=3 см. з ∆DEA: за теоремою Піфагора AD²=DE²+EA²=3²+4²=25. AD=5 см.

Відповідь: 5 см.

Виконання письмових вправ.

1. Висота конуса дорівнює 18 см, а радіус основи – 6 см. Площина, перпендикулярна до осі конуса, перетинає його бічну поверхню по колу, радіус якого 4 см. Знати відстань від площини перерізу до площини основи конуса (слайд 26, перегляд відео).

(бажаючі учні можуть записати розв'язок задачі  на вільному місці       слайду        використовуючи комунікаційне       програмне

забезпечення  Zoom)

 

Розв‘язання: 

DBA⁓EBC;  . 

BC= .

AC= BA-BC=18-12= 6 см. Відповідь: АС= 6 см.

 

 

 

                                            𝐸𝐶          𝐵𝐶

DBA⁓EBC;  . BC=                                        .

AC= BA-BC=18-12= 6 см. Відповідь: АС= 6 см.

 

2.   Радіус основи конуса дорівнює 16 см. Через вершину конуса проведено переріз, який перетинає його основу по хорді, яку видно із центра основи під кутом 60. Знайти кут між площиною перерізу та площиною основи конуса, якщо висота конуса дорівнює 24 см (слайд 27, перегляд відео).

(бажаючі учні можуть записати розв'язок задачі  на вільному місці слайду використовуючи комунікаційне програмне забезпечення  Zoom)

 

Дано: АО= 16 см;  АОВ=60; SO=24 см; Знайти:  SМO.

Розв’язання:

1)    АОВ  - рівнобедренний; ОМ⊥АВ; АОМ=ВОМ=30;

                   ; ОМ=                             

2)    SOМ – прямокутний;          

 

Відповідь: 60.

 

3.   Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 8 см і 4 см, а твірна утворює з площиною більшої основи кут 60. Знайти висоту зрізаного конуса та його твірну (слайд 28, перегляд відео).

 

Дано: АО=8 см; О₁А₁= 4 см; А₁АО = 60.

Знайти: Н=ОО₁.

Розв’язання:

1)    А₁В ІІ О₁О; А₁В⊥АО;

АВ=8-4=4 (см);

2)    АА₁В  -прямокутний;

В1В=АВ * 𝑡𝑔 60 = 4√3 (см).

Відповідь: 4√3 см.

        

4.   Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 14 см і 22 см, а твірна – 17 см. Знайти площу осьового перерізу конуса (слайд 29, перегляд відео).

Дано: АВ=22 см; DC=14 см; AD= 17 см;

Знайти: S_ABCD.

Розв’язання: 1) DG⊥ AF; AG=22-14=8 (см). 

2) АDG – прямокутний; 

DG=        = 15 (см).  3) ADEF – трапеція;  

Відповідь: 540 см².

VI. Підведення підсумків

1.     Тестування через Google-форми.

2.     ЯКЕ ІЗ ЗОБРАЖЕНИХ ТІЛ Є КОНУСОМ? 

3.     Хто перший? Яке ключове слово в кросворді?(учні повинні перейти за посиланням через qr-код та знайти ключове слово в кросворді)

 

4.     Перегляд відео

VII. Домашнє завдання Опрацювати §20 стор. 128

2.   №№ 20.5 (2), 20.10 .

3.   Дати відповіді на питання кросворду (знайти ключове слово).

 

4.   Дати відповідь на питання:     «Чому пожежні відра мають форму конуса?».

Використана література:

1.   Геометрія 11 клас Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владімірова 2011 

2.   Геометрія 11 клас Г.В. Апостолова 2011

3.   Збірник          задач і         контрольних        робіт з геометрії для 11 класу, автори: Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Рабінович Ю.М., Якір М.С.