Перетворення цілих виразів

Варіант 1

Варіант 2

№ 1. Розкладіть на множники:

1) х³ – 9х; 2) 12 – 75с²; 3) -п² – 8п – 16;

4) 4т³ – 32с³; 5) 3тп + 24п – 9т – 72.

№ 1. Розкладіть на множники:

1) а³ – 16а; 2) 10х² – 50; 3) -т² + 6т – 9;

4) 2п³ + 54k³; 5) ас⁴ – с⁴ + ас³ – с².

№ 2. Розв'яжіть рівняння:

1) 2х³ – 50х = 0; 2) 9х³ + 6х² + х = 0.

№ 2. Розв'яжіть рівняння:

1) 6х³ – 24х = 0; 2) 25х³ – 10х² + х = 0.

№ 3. Розкладіть на множники:

1) а + b + а² – b²; 2) х² – 2ху + у² – т²; 3) (2т – 3)² – (т + 2)².

№ 3. Розкладіть на множники:

1) х² – у² + х – у; 2) х² – 4ху + 4у² – 1;

3) (4т – 3)² – (т + 2)².

№ 4. Доведіть, що:

1) при кожному цілому к значення ви-
разу (k + 5)( k ² – к + 1) - k(k + 2)² + 3
ділиться на 8;

2) значення виразу 8²⁵ – 64¹² ділиться на 7.

№ 4. Доведіть, що:

1) при будь-якому цілому л значення
виразу (2п + 3)² – (2п – 3)(2п + 5)
ділиться на 8;

2) 2²⁰ + 2²⁵ – 4¹¹ ділиться на 29.

№ 5. Знайдіть найменше значення ви­разу:

1) х² + 8х + 16; 2) х² + 8х + 17.

При яких значеннях х вираз набуває найменшого значення?

№ 5. Знайдіть найменше значення ви­разу:

1) x² – 6х + 9;  2) x² – 6x + 12.

При яких значеннях х вираз набуває найменшого значення?

№ 6. Доведіть, що різниця квадратів двох послідовних цілих чисел є непар­ним числом

№ 6. Доведіть, що різниця квадратів двох цілих чисел, взятих через 1, ділиться на 4

Варіант 1

Варіант 2

№1. 1) х(х – 3)(х + 3);

    2) 3(4 – 25с²) = 3(2 – 5с)(2 + 5с);

    3) -(п² + 8п + 16) = -(п + 4)²;

    4) 4(т³ – 8с³) =

        = 4(т – 2с)(т² + 2ст + 4с²);

    5) 3(тп + 8п – 3т – 24) =

= 3(т(п – 3) + 8(п – 3)) = 3(п – 3)(т + 8).

№ 1. 1) а(а² – 16) = а(а – 4)(а + 4);

   2) 2(9х² – 25) = 2(3х – 5)(3х + 5);

   3) -(т² – 6т + 9) = -(т – 3)²;

   4) 2(п³ + 27k³) =

      = 2(п + 3k)(п² – 2kп + 9k²);

    5) с²(ас² – с² + а – 1) =

= с²(с²(а – 1) + (а –1)) = с²(а – 1)(с² + 1).

№2. 1) 2х(х – 5)(х + 5) = 0;

      х = 0 або х = 5 або х = -5;

      2) х(3х + 1)² = 0; х = 0 або х = -.

№2. 1) 6х(х² – 4) = 0;

            6х(х – 2)(х + 2) = 0;

        х = 0 або х = 2, або х = -2;    

        2) х(25х² – 10х + 1) = 0;

          х(5х – 1) = 0; х = 0 або х = .

№3.1) (а + b) + (а + b)(а – b) =

          = (а + b)(1 + а – b);

2) (x – у)² – m² = (х – у – т)(х – у + т);

3) ((2т – 3) – 2(т + 2))(2т – 3 + т + 2)=

    = (т – 5)(3т – 1).

№3. 1)(х – у)(х + у) + (х – у) =

          = (х – у)(х + у + 1);

 2) (х – 2у)² – 1 = (х – 2у – 1)(х – 2у + 1);

3) (4m – 3 – (m + 2))(4m – 3 + m + 2) =

    = (3т – 5)(5т – 1).

№4. 1) k ³ + 5k² – k² – 5k + k +

           + 5 – k³ – 4k² – 4k + 3 =

= -8k + 8 = 8(-k + 1) ділиться на 8;

2) 8²⁵ – 64¹² = 8²⁵ – 8²⁴ = 8²⁴(8–1) = 8²⁴ ∙7

ділиться на 7

N° 4. 1) (2п + 3)² – (2п – 3)(2п + 5) =

= 4п² + 12п + 9 – (4п² – 6п + 10п – 15) =

= 4п² + 12п + 9 – 4п² – 4п +15 =

= 8п + 24 = 8(п + 3) ділиться на 8;

2) 2²⁰ + 2²⁵ – 4¹¹  = 2²⁰ + 2²⁵ – 2²² =

= 2²⁰(1 + 2⁵ – 2²) = 2²⁰(1 + 32 – 4) =

= 2²⁰ ∙ 29 ділиться на 29

№5. 1) х² + 8х + 16 = (х + 4)² ≥ 0, най­ 

       менше значення дорівнює 0, при

       х + 4 = 0, тобто х = -4;

2) х² + 8х + 17 = (х² + 8х + 16) + 1 =

    = (х + 4) +1 ≥ 1, найменше значення  

    дорівнює 1 при (х + 4)  = 0, тобто

     х + 4 = 0, х = -4.

№ 5. 1) х² – 6х + 9 = (х – 3)² ≥ 0, наймен­ше значення дорівнює 0 при х = 3;

2) х² – 6х + 12 = (х² – 6х + 9) + 3 =

    = (х – 3) + 3 ≥ 3, найменше значення дорівнює 3 при х = 3.

№ 6. Нехай менше число х, тоді на­ступне — (х +1), а різниця квадратів

(х + 1)² – х² = х² + 2х + 1 – х² = 2х + 1 – непарне число (від ділення на 2 дає ос­тачу 1)

№ 6. Нехай менше число х, тоді число через 1 дорівнює (х + 2), а різниця квадратів

 (х + 2)² – х² = (х + 2 – х)(х + 2 + х) =

= 2 ∙ (2х + 2) = 2 ∙ 2 ∙ (х + 1) = 4(х +1) ділиться на 4