Перетворення тригонометричних виразів та розв’язування рівнянь.

Перетворення тригонометричних виразів та розв’язування рівнянь. Алгебра 10 клас

Мета урока: Навчальна: систематизувати та узагальнити знання учнів за темою «Перетворення тригонометричних виразів та розв’язування рівнянь»;Розвиваюча: розвивати вміння аналізувати задачі, правильно їх розуміти та правильно використовувати отримані знання і навички під час розв’язування задач;Виховна: виховувати наполегливість, інтерес до вивчення точних наук;07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ2

07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ3 За допомогою хмари слів візуалізуємо термінологію з нашої теми.

Спростити вираз:07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ4

Розв’язання:07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ5

Знайти значення виразу07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ6

Розв’язання:

Обчислити значення виразу07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ8

Знайти значення виразу07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ9

Спростити вираз07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ10 В даному прикладі перегрупували доданки та винесли за дужки квадрат косинуса. В результаті в дужках отримали вираз, який легко дістати з основної тригонометричної тотожності: сума квадратів синуса та косинуса дорівнює одиниці. Такі перетворення доволі часто зустрічаються в тригонометрії, тому постарайтеся запам'ятати наведений прийом. 

Спростити вираз. В чисельнику перегрупуємо косинуси, а далі перетворюємо доданки за допомогою формули перетворення суми та косинуса подвійного кута.07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ11

Даний приклад важкий в плані обчислень, оскільки треба бути добрим спеціалістом, щоб одразу знати, що та як перетворювати. Проте знання наведеної схеми розрахунків дозволяє за кілька дій прийти до простого, а головне правильного результату.07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ12

Маємо завдання на спрощення тригонометричного виразу, який зразу так і не ясно, як обчислювати. Але схема вже раніш розглядалася: спершу використовуємо періодичність функцій, а далі розписуємо та сумуємо. В результаті прийдемо до компактної відповіді.07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ13

Тут потрібно правильно перегрупувати доданки в чисельнику дробу, подальші обчислення теж вимагають певних маніпуляцій із застосуванням основних тригонометричних тотожностей 07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ14

Знайти значення виразу07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ15 Завдання полягало в обчисленню добутку двох синусів та двох косинусів. Після перегрупування та застосування формул зведення вдалося прийти до добутку синусів 60 градусів. Решта доданків скоротилася внаслідок протилежних знаків. 

Числові значення тригонометричних функцій07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ16

Найпростіше тригонометричне рівняння07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ17 

Найпростіше тригонометричне рівняння07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ18 

Найпростіше тригонометричне рівняння07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ19 

Найпростіше тригонометричне рівняння07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ20 

Розв’яжіть рівняння𝟐𝐬𝐢𝐧𝒙𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙−𝟏+𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙−𝐬𝐢𝐧𝒙=𝟎. Згрупуємо доданки у лівій частині рівняння:2sinxcos2x−sinx+2cos2x−1=0.2sinxcos2x−1+2cos2x−sinx=02cos2х−1sinх+1=0 Враховуючи умову рівності нулю, маємо:2cos2х−1=0 або sinх+1=0.    07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ21

Кожне з цих рівнянь легко звести до найпростішого:  1) 2cos2х=1cos2х=122х=±𝜋3+2𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍х=±𝜋6+𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍 07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ222) sinх=−1х=−𝜋2+2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍 Відповідь: х=±𝜋6+𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍 ; х=−𝜋2+2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍 . 

Розв’яжіть рівняння 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙−𝟓𝒄𝒐𝒔𝒙+𝟐=𝟎. 07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ23 Розв’язання. Дане рівняння є квадратним відносно 𝑐𝑜𝑠𝑥. Нехай 𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑡, де 𝑡≤1, тоді одержимо рівняння 2𝑡2−5𝑡+2=0. Розв’язавши його, знайдемо 𝑡1=12; 𝑡2=2. Значення 𝑡2=2 не задовольняє умову 𝑡≤1, отже: cos𝑥=12𝑥=±arccos12+2𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍𝑥=±𝜋3+2𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍 Відповідь: 𝑥=±𝜋3+2𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍 

Розв’яжіть рівняння 𝟑𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙+𝒔𝒊𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙=𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 Розв’язання. 3𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=2𝑐𝑜𝑠2𝑥3𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−2𝑐𝑜𝑠2𝑥=03𝑡𝑔2𝑥+𝑡𝑔𝑥−2=0, тому що 𝑐𝑜𝑠2𝑥≠0. 07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ24𝑡𝑔𝑥=−1𝑥=−𝜋4+𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍 𝑡𝑔𝑥=23𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔23+𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍 Відповідь:−𝜋4+𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔23+𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍 

Розв’яжіть рівняння 𝟏+𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝟐+𝒄𝒐𝒔𝒙=𝟎. Розв’язання. Використавши умову, за якої дріб дорівнює 0, і те, що 2+𝑐𝑜𝑠𝑥≠0 для будь-якого дійсного значення 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥≤1, маємо:1+2𝑐𝑜𝑠2𝑥=0 2𝑐𝑜𝑠2𝑥=−1𝑐𝑜𝑠2𝑥=−12 2𝑥=±23𝜋+2𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍 𝑥=±𝜋3+𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍Відповідь: ±𝜋3+𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍 07.03.202525

Домашня робота. Розв҆ яжіть рівняння. Знайдіть корені рівнянняякі належать відрізку

Дякуємо за увагу! 07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ27

Список використаних джерел. Навчальна програма з математики для учнів 10-11 класів загальноосвітніх навчальних закладів (рівень стандарту) затвердженою Наказом Міністерства освіти і науки № 1407 від 23 жовтня 2017 року,Математика : (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) : підруч. для 10-го кл. закл. заг. серед. освіти / О. С. Істер. - Київ: Генеза, 2018. - 384 с. : іл. Математика : алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту : підруч. для 10 кл. закладів загальної середньої освіти / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — Х. : Гімназія, 2018. —256с.: іл. Для створення хмари слів https://worditout.com/07.03.2025 ЗАГОЛОВОК ПРЕЗЕНТАЦИИ28