Застосування похідної до розв'язування рівнянь та нерівностей

Застосування похідної до розв’язування рівнянь і нерівностей

f(x) ≥ag(x)≤af(x)= g(x)Якщо потрібно розв’язувати рівняння виду f(x)= g(x) і з’ясувалося, що f(x) ≥a, g(x)≤a, то рівність між лівою і правою частинами рівняння можлива лише у випадку, якщо одночасно f(x) і g(x) дорівнюють а. f(x) =ag(x)=a

Приклад 1 Розв’яжіть рівняння х−1+ 3−х=𝑥2−4х+6 Даємо час на «подумати»

g(x) = 𝑥2−4х+6=х−22+2≥2f(x) = х−1+ 3−х. Дослідимо f(x) за допомогою похідної. D(f):                                           𝑓′𝑥=12𝑥−1 −123−𝑥 Оцінимо значення лівої і правої частин рівняння х−1 ≥ 03−х ≥ 0 х∈1;3 

   𝑓′𝑥=12𝑥−1 −123−𝑥 Прирівнюємо похідну до нуля:12𝑥−1 −123−𝑥=0; 3−𝑥−𝑥−12𝑥−1×3−𝑥=0;3−𝑥−𝑥−1 =0; 3−х=х−1; Х =2 – критична точка  

Неперервна f(x) задана на проміжку 1;3 + критична точка 2. Знайдемо значення функції у даних точках.  𝑓1=𝑓3=2 𝑓2=2 𝑓max=𝑓2=2 f(x) ≤2 Підсумовуємо:g(x) = ≥2, f(x) ≤2  х−1+ 3−х=2 х−22+2=2 Х=2 Відповідь: 2

Схема розв’язку наступних прикладів:1. Підбираємо один або декілька коренів рівняння. 2. Доводимо, що інших коренів це рівняння не має (використовуючи теореми про корені рівняння, або оцінку значень лівої та правої частин рівняння, або таку властивість функцій: зростаюча або спадна функція набуває кожного свого значення тільки в одній точці й області визначення).

Теореми про корені рівняння Якщо в рівнянні f(x)=а функція f(x) зростає (спадає) на деякому проміжку, то це рівняння може мати не більше, ніж один корінь на цьому проміжку. хуу=ах0y=f(x)aβα0

Приклад 2 Рівняння 2х+cosх=𝜋   має корінь х=𝜋2 (2×𝜋2+cos𝜋2=𝜋,  𝜋=𝜋 ) Інших коренів це рівняння не має, оскільки функція f(x)= 2х+cosх зростаюча при всіх значеннях х з області визначення D(f)=R.   𝑓′𝑥= 2-sin𝑥 >0 Відповідь: х=𝜋2 

Якщо в рівнянні f(x)=g(x) функція f(x) зростає на деякому проміжку, а функція g(x) спадає на цьому самому проміжку ( або навпаки ), то це рівняння може мати не більше, ніж один корінь на цьому проміжку. хуy=f(x)αβх0y=g(x)a

Приклад 3 Рівняння 𝑒х−х=1х+1 має корінь х=0 𝑒0−0=10+1 , 1 = 1Інших коренів це рівняння не має, оскільки його ОДЗ х ≥ 0 і на цій ОДЗ функція f(x) = 𝑒х−х зростаюча (   𝑓′𝑥 = 𝑒х−1 дорівнює нуль при х = 0 і    𝑓′𝑥 >0 при х >0, а, враховуючи неперервність f(x), одержуємо, що f(x) зростає при х ≥ 0 ). 

Функція g(x)= 1х+1 спадає при х ≥ 0. g ′(x)=−12х(х+1)2  < 0, при х >0 Отже, рівняння f(x)=g(x) має єдиний корінь х = 0. Відповідь: 0. 

Приклад 4 Розв’яжіть систему рівнянь3х−3у=sinх−sinу 2х3−у3=1 Думаємо…

Задана система рівносильна системі3х−sinх=3у−sinу 2х3−у3=1 Розглянемо функціюf(t)=3𝑡−sin𝑡 Оскільки   𝑓′(t)=3−cos𝑡 >0 завжди, то на своїй області визначення (t 𝜖 𝑅) f(t) є зростаючою. Тоді перше рівняння системи, яке має вигляд f(x)= f(у) , рівносильне рівнянню х=у

Отже, система рівносильна системіх=у 2х3−у3=1 Підставляємо х=у в друге рівняння системи. Маємо:2у3−у3=1, у3=1, у=1 Тоді х=у=1 Відповідь: (1;1)( типовий учень ФМН )

Приклад 5 Розв’яжіть нерівність х11−х6+2х<−4 (він теж думає)

Задана нерівність рівносильна нерівності х11−х6+2х+4<0 Функція f(x)= х11−х6+2х+4 неперервна в кожній точці своєї області визначення, тому для розв’язування нерівності можна використовувати метод інтервалів. ОДЗ: х 𝜖 𝑅Знайдемо нулі і похідну функції.     𝑓′𝑥 = 11х10−6х5+2 Нехай, t= х5     𝑓′𝑥 = 11t2−6𝑡+2 D= 36-88=-52. Квадратичний тричлен має від’ємний дискримінант

Тоді для всіх t 11t2−6𝑡+2>0  Отже, для всіх х значення    𝑓′𝑥 >0. Тоді функція f(x) зростає на всій числовій прямій і рівняння f(x)= 0 може мати тільки один корінь. Оскільки f(-1)=0, то х=-1 – єдиний нуль функції.  -1-+Відповідь: (-∞;-1) 

ДЯКУЄМО ЗА УВАГУ