Урок "Перпендикуляр і похила в просторі"

Перпендикуляр і похила в просторі.

Мета уроку:

• формувати ключові компетентності та вміння для роботи з перпендикуляром, похилою, поняттям відстані у просторі;
• формувати процедурну, дослідницьку компетентності;
•  розвивати комунікативну компетентність;
• створення умов для самостійного пошуку;
• показати роль та можливості математики у пізнанні та                             описанні реальних процесів і явищ.             

Обладнання: стереометричний набір.

 

                                             Хід уроку

       І. Налаштування на успішну роботу (попросити учнів сісти рівно, а потім покласти одну долоню на лоба, іншу – на потилицю. Потім треба заплющити очі, сконцентруватися на майбутньому занятті та зробити кілька глибоких вдихів-видихів.)

IІ. Перевірка домашнього завдання.          

Виправити помилки, допущені в записах при розв’язуванні задач домашньої роботи.

ІIІ. Актуалізація опорних знань

1) Дано площину α, перпендикулярну до неї пряму а і іншу пряму b, яка не лежить в площині α. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:

а) якщо b || a, то b α;                          +

в) якщо b α, то а і b мимобіжні;       -

б) якщо b α , то b || а ;                        +

г) якщо b α, то а і b перетинаються. -

2) Точка S лежить поза площиною ромба АВСD, причому SВ⊥ВС, SВ⊥АВ, ∠ВАD = 60°. Які з наведених тверджень правильні, а які – неправильні:

а) пряма SВ перпендикулярна до площини АВС;  +

б) пряма АВ перпендикулярна до площини SВС;   -

в) пряма ВС перпендикулярна до площини АSВ;   -

г) пряма SВ перпендикулярна до прямої ВD?        +

А якщо  в умові змінити ромб на квадрат, що можна сказати про всі ці твердження?

3) Розв’язати усно задачі на перпендикуляр і похилу до прямої.

ІV.  Мотивація навчальної діяльності

Ми згадали поняття перпендикуляра, похилої та її проекції до прямої на площині. В оточуючому нас просторі ви, безперечно мали змогу спостерігати наочні приклади перпендикулярів та похилих до площини земної поверхні, підлоги в приміщеннях. Наведіть приклади. (Прикладами є кріплення телевізійних вишок, антен, штативи для фотокамер)

А тому на практиці потрібно вміти щось виміряти, а щось і обчислити із таких елементів як довжини перпендикуляра, похилих та їх проекцій, а також знаючи їх властивості, створювати відповідні математичні моделі для розв’язування задач. Тому сьогодні ми працюємо над темою “Перпендикуляр і похила у просторі”. Розуміти та вміти застосовувати даний матеріал необхідно тому, що (відповіді учнів – встановити ялинку, виготовити цікаву підставку для квітів, побудувати опори для мосту)

Щоб виміряти глибину річки геодезисти опускають у річку грузило, до якого прив’язані два шнури довжиною m і n з гумовими кулями. Коли грузило опуститься на дно, кулі під дією течії відпливуть на певну відстань і зупиняться в точках А і В. Сфотографувавши їх і вимірявши на знімку відстань між кулями, геодезисти і обчислюють глибину h річки. А як саме? (Змоделювати ситуацію в зошитах)

V. Дослідження властивостей перпендикуляра, похилих та їх проекцій.         

За допомогою стереометричних моделей дослідити:

1. довжину перпендикуляра і похилої, проведених до площини з точки поза нею;
2. кількість перпендикулярів і похилих, проведених до площини з точки поза нею;
3. порівняти довжини похилих та їх проекцій, якщо похилі проведені до площини з однієї точки мають однакову довжину; різні довжини;
4. що спільного та чим відрізняються властивості перпендикуляра, похилих та їх проекцій в планіметрії і стереометрії;
5. зробити висновки.

VI. Формування умінь і навичок

Усне розв’язування задач (за підручником А. Г. Мерзляк …)

№35.1 - 1) ДС; 2) С; 3) А

№35.2 - 1); 2) Д; 3)Д.

Письмове розв’язування задач

№35.5 - АС=4см, СД= (см).

Кінезеологічна вправа. Для зняття напруження, притоку крові до головного мозку, для поліпшення уваги виконуємо наступні рухи

• праву руку покласти на лівий м’яз між шиєю та плечем;
• стиснути м’яз та поволі повертати голову зліва направо;
• потім почати рух в зворотній бік;
• губи скласти трубочкою і на видиху вимовити «ух!»;
• поміняти руку, поклавши її на правий м’яз та повторити вправу.

 

1.                    Із точки S проведено до площини перпендикуляр SO та похилі SA і SB. Довжини похилих відповідно дорівнюють 13 і 20 см. Довжина проекції похилої AS дорівнює 5 см (рис. 164). Знайти відстань від точки S до площини та довжину проекції похилої SB.

Відповідь: SO=12 см;  BO=16 см.

2. З вершини A квадрата АВСD проведено перпендикуляр KA до його площини. Знайдіть відстань CK, якщо KA дорівнює 6 см, а сторона квадрата - 4 см.

Розв’язання.

Проведемо діагональ АС квадрата АВСD.  ∆АСK – прямокутний, оскільки KAАС за означенням перпендикулярності прямої і площини.

АС = АD = 4∙∙ = 8( см).

З ∆АСK : CK = (см)

Відповідь:  CK=10 см.

Робота з підручником (ст. 187) - поняття відстані від точки до площини

3. Знайти відстань від точки А до граней куба, якщо ребро куба дорівнює 10 см

      

 

VII. Підведення підсумків

Порівняти довжини похилих на готових рисунках (в презентації).

Проаналізувати урок з точки зору учнів (письмово або усно)

 

Плюс – мінус - цікаво

+ що сподобалось на уроці, що здалося цікавим та корисним	- що не сподобалось, здалося важким, незрозумілим та нудним.	Ц факти, про які дізнались на уроці, про що ще б хотілось дізнатися.

 

 

VIII. Домашнє завдання

Опрацювати п.35, №35.4, №35.6, №35.13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Роздатковий матеріал

 

За допомогою стереометричних моделей дослідити:

1)довжину перпендикуляра і похилої, проведених до площини з точки поза нею;

 2) кількість перпендикулярів і похилих, проведених до площини з точки поза нею;

 3)порівняти довжини похилих та їх проекцій, якщо похилі проведені до площини з однієї точки мають   однакову довжину; різні довжини;

 4) що спільного та чим відрізняються властивості перпендикуляра, похилих та їх проекцій в планіметрії і стереометрії;                                                                                                                    5)зробити висновки.

Задача 1. Із точки S проведено до площини перпендикуляр SO та похилі SA і SB. Довжини похилих відповідно дорівнюють 13 і 20 см. Довжина проекції похилої AS дорівнює 5 см (рис. 164). Знайти відстань від точки S до площини та довжину проекції похилої SB.

Задача 2. З вершини A квадрата АВСD        проведено перпендикуляр KA до його площини. Знайдіть відстань CK, якщо KA дорівнює 6 см, а сторона квадрата - 4 см.

 

 

За допомогою стереометричних моделей дослідити:

1)довжину перпендикуляра і похилої, проведених до площини з точки поза нею;

 2) кількість перпендикулярів і похилих, проведених до площини з точки поза нею;

 3)порівняти довжини похилих та їх проекцій, якщо похилі проведені до площини з однієї точки мають   однакову довжину; різні довжини;

 4) що спільного та чим відрізняються властивості перпендикуляра, похилих та їх проекцій в планіметрії і стереометрії;                                                                                                                   

5)зробити висновки.

 

Задача 1. Із точки S проведено до площини перпендикуляр SO та похилі SA і SB. Довжини похилих відповідно дорівнюють 13 і 20 см. Довжина проекції похилої AS дорівнює 5 см (рис. 164). Знайти відстань від точки S до площини та довжину проекції похилої SB.

Задача 2. З вершини A квадрата АВСD        проведено перпендикуляр KA до його площини. Знайдіть відстань CK, якщо KA дорівнює 6 см, а сторона квадрата - 4 см.

 

 

За допомогою стереометричних моделей дослідити:

1)довжину перпендикуляра і похилої, проведених до площини з точки поза нею;

 2) кількість перпендикулярів і похилих, проведених до площини з точки поза нею;

 3)порівняти довжини похилих та їх проекцій, якщо похилі проведені до площини з однієї точки мають   однакову довжину; різні довжини;

 4) що спільного та чим відрізняються властивості перпендикуляра, похилих та їх проекцій в планіметрії і стереометрії;                                                                                                                  

 5)зробити висновки.

 

Задача 1. Із точки S проведено до площини перпендикуляр SO та похилі SA і SB. Довжини похилих відповідно дорівнюють 13 і 20 см. Довжина проекції похилої AS дорівнює 5 см (рис. 164). Знайти відстань від точки S до площини та довжину проекції похилої SB.

Задача 2. З вершини A квадрата АВСD        проведено перпендикуляр KA до його площини. Знайдіть відстань CK, якщо KA дорівнює 6 см, а сторона квадрата - 4 см.