Означення: Функція називається первісною для функції
на даному проміжку, якщо для будь-якого
з цього проміжку
q Приклади
Якщо функція є первісною для функції
на даному проміжку, а
— довільна стала, то функція
також є первісною для функції
при цьому будь-яка первісна для функції
на даному проміжку може бути записана у вигляді
де
— довільна стала
Геометричний зміст
Графіки будь-яких первісних даної функції одержуються один з одного паралельним перенесенням уздовж осі
Означення:Сукупність усіх первісних даної функції називається невизначеним інтегралом і позначається символом
тобто
де
— одна з первісних функцій
а
— деяка стала
де
— стала
Вияснимо, як можна обчислити площу S криволінійної трапеції за допомогою первісної функції у = f(x).
Позначимо
S(x) площу криволінійної трапеції з основою [а;х] (рис. 101), де х — будь-яка точка відрізку [а; х]. При х = а відрізок [а; х] перетворюється в точку і тому S(a)·= 0; при х = b маємоS(b) = S— площу криволінійної трапеції.
Доведемо, щоS(x) є первісною функціїf(x), тобтоS'(x) =f(x).
Розглянемо різницю S(x+x) – S(x),
х > 0 (випадок
х < 0 розглядається аналогічно). Ця різниця дорівнює площі криволінійної трапеції з основою [x; x +
х] (рис. 102).
Якщо Δx мале число, то площа приблизно дорівнюєf(x)·х, тобто S(x + Δx) – S(x)
f(x)·Δx.
Таким чином, f(x).
Якщо Δx→0, то ліва частина наближеної рівності за означенням похідної наближається доS'(x), тому
, S'(x) = f(x).
Це і означає, що S(x) є первісною функції f(x).
Будь-яка первіснаF(x) відрізняється відS(x) на стале число, тобто
F(x) = S(x) + С. (1)
Із цієї рівності приx = а одержуємоF(a) =S(a) + С. ОскількиS(a) = 0, то С =F(b) і рівність (1) можна записати так:
S(x) = F(x) -F(a).
Звідси приx = b одержуємо:
S(b) =F(b) - F(a}, S = F(b) - F(a).
Отже,площу криволінійної трапеції можна обчислити за формулою S = F(b) --F(a), де F(x) — будь-яка первісна функція f(x).
Площу криволінійної трапеції можна обчислити за формулою S = F(b) -F(a), де F(x) — будь-яка первісна функція f(x).
Приклад Знайдіть площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями f(x) =x2, x = 1, x = 2, у = 0.
Однією з первісних для функції f(x) =х2 є F(x) = .
Отже, S = F(2) - F(1) =
Нехай задано неперервну функцію f(x), визначену на проміжку [a; b], тоді визначеним інтегралом від а до b функції f(x) називають приріст первісної F(x) цієї функції, тобто . Числа а і b називають відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування.
Основні правила обчислення визначеного інтеграла
Розглянемо площу фігур зверху обмежену графіком функцій у = /(х), знизу - графіком функції у = f(х) та вертикальними прямими х = а і х = b, причому функції у = f(x) і у = g(х) - неперервні на [а;b] і для всіх значень х [а;b] виконується нерівність f(x) ≥ g(x) Тоді площу S такої плоскої фігури можна знайти за формулою:
Приклад 1. Знайдіть площу фігур, обмежену графіками функцій у = соs х, у = -2 соs х та прямими x = 0 i x= π/6.
Розв’язання (мал. 117). Маємо
Підінтегральний вираз можна спростити. Отримаємо
Приклад 2. Знайдіть площу фігури, обмежену графіками функцій у = х2 - 2х і у = 4х + х.
Розв’язання. Знайдемо абсциси точок перетину графіків функцій: х2 - 2х = 4 + х; х2 - 3х - 4 = 0; x1 = -1; x2 = 4.
Ординати точок перетину y1 = 3; у2 = 8. Зображуємо графіки функцій схематично (мал. 118).
Використані джерела:
А.Г. Мерзляк,
Д.А. Номіровський,
В.Б. Полонський,
М.С. Якір,
Підручник алгебра 11 клас, 2011р. Харків «Гімназія»
Є.П. Нелін,
О.М. Роганін,
С.М. Ільїна,
ЗНО 2011 Математика Комплексна підготовка.