"Первісна та інтеграл"

Про матеріал

Методична розробка стане в нагоді вчителям-предметникам та 11-класникам при підготовці до зовнішнього незалежного оцінювання з математики.

Перегляд файлу

Первісна та інтеграл

Первісна

Означення: Функція називається первісною для функції на даному проміжку, якщо для будь-якого з цього проміжку

q Приклади

Для функції на інтервалі первісною є оскільки
Для функції на інтервалі первісною є оскільки

Основна властивість первісних

Якщо функція є первісною для функції на даному проміжку, а — довільна стала, то функція також є первісною для функції при цьому будь-яка первісна для функції на даному проміжку може бути записана у вигляді де — довільна стала

Геометричний зміст

Графіки будь-яких первісних даної функції одержуються один з одного паралельним перенесенням уздовж осі

Первісна / Інтеграл

Невизначений інтеграл

Означення:Сукупність усіх первісних даної функції називається невизначеним інтегралом і позначається символом тобто де — одна з первісних функцій а — деяка стала

Правила інтегрування

де — стала

Площа криволінійної трапеції

Вияснимо, як можна обчислити площу S криволінійної трапеції за допомогою первісної функції у = f(x).

Позначимо

S(x) площу криволінійної трапеції з основою [а;х] (рис. 101), де х — будь-яка точка відрізку [а; х]. При х = а відрізок [а; х] перетворюється в точку і тому S(a)·= 0; при х = b маємоS(b) = S— площу криволінійної трапеції.

Доведемо, щоS(x) є первісною функціїf(x), тобтоS'(x) =f(x).

Розглянемо різницю S(x+x) – S(x), х > 0 (випадок х < 0 розглядається аналогічно). Ця різниця дорівнює площі криволінійної трапеції з основою [x; x + х] (рис. 102).

Якщо Δx мале число, то площа приблизно дорівнюєf(x)·х, тобто S(x + Δx) – S(x) f(x)·Δx.

Таким чином, f(x).

Якщо Δx→0, то ліва частина наближеної рівності за означенням похідної наближається доS'(x), тому

, S'(x) = f(x).

Це і означає, що S(x) є первісною функції f(x).

Будь-яка первіснаF(x) відрізняється відS(x) на стале число, тобто

F(x) = S(x) + С. (1)

Із цієї рівності приx = а одержуємоF(a) =S(a) + С. ОскількиS(a) = 0, то С =F(b) і рівність (1) можна записати так:

S(x) = F(x) -F(a).

Звідси приx = b одержуємо:

S(b) =F(b) - F(a}, S = F(b) - F(a).

Отже,площу криволінійної трапеції можна обчислити за формулою S = F(b) --F(a), де F(x) — будь-яка первісна функція f(x).

Площу криволінійної трапеції можна обчислити за формулою S = F(b) -F(a), де F(x) — будь-яка первісна функція f(x).

Приклад Знайдіть площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями f(x) =x², x = 1, x = 2, у = 0.

Розв'язання

Однією з первісних для функції f(x) =х² є F(x) = .

Отже, S = F(2) - F(1) =

Таблиця первісних

Визначений інтеграл

Нехай задано неперервну функцію f(x), визначену на проміжку [a; b], тоді визначеним інтегралом від а до b функції f(x) називають приріст первісної F(x) цієї функції, тобто $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(b) - F(a)$ . Числа а і b називають відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування.

Основні правила обчислення визначеного інтеграла

Розглянемо площу фігур зверху обмежену графіком функцій у = /(х), знизу - графіком функції у = f(х) та вертикальними прямими х = а і х = b, причому функції у = f(x) і у = g(х) - неперервні на [а;b] і для всіх значень х [а;b] виконується нерівність f(x) ≥ g(x) Тоді площу S такої плоскої фігури можна знайти за формулою: