Підбірка Задач з теми "Теорема Вієта"

Про матеріал

Матеріал містить відомості з біографії Ф. Вієта . Також розібрані приклади застосування відомої теореми.

Перегляд файлу

ТЕОРЕМА ВІЄТА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

(матеріали до уроків алгебри у 8 класі)

РОЗДІЛ 1

ФРАНСУА ВІЄТ

1.1 Життєвий та творчий шлях Франсуа Вієта

Французький математик Франсуа Вієт увійшов в історію науки як творець системи алгебраїчної символіки, на основі якої він удосконалив теорію алгебраїчних рівнянь. Ученого навіть називають «батьком алгебри».

Народився Вієт на півдні Франції у невеликому містечку Фонтене-ле-Конт, провінції Пуату. Батько Франсуа був прокурором. Син обрав професію батька і теж став юристом, закінчивши університет у Пуату. З 19 років розпочав приватну адвокатську практику в рідному місті, але через 3 роки перейшов на службу в знатну гугенотську родину де Партене. Він став секретарем хазяїна будинку і вчителем його доньки , дванадцятирічної Катерини. Саме викладання пробудило в молодого юриста інтерес до математики.

У 1571 році Вієт перейшов на державну службу, ставши радником парламенту, а потім радником короля. У 1580 році Генріх ІІІ призначив Вієта на важливу державну посаду рекетмейстера, що давала право контролювати виконання розпоряджень у країні і призупиняти накази великих феодалів. Через придворні інтриги вченого 1584 року усунули від посади і вислали з Парижа . Саме на цей період припадає розквіт його діяльності. Отримавши несподіваний спокій та відпочинок, вчений поставив собі мету скласти всеосяжну математику, яка дозволила б розв'язувати будь-які задачі. У нього склалося переконання, «що має існувати загальна, невідома ще наука, яка охоплює й розумні роздуми найновіших алгебраїстів, і глибокі геометричні досліди давніх».

У 1593 голландський математик Адріан ван Ромен запропонував позмагатись з ним, вирішивши задачу: розв’язати рівняння 45-го степеня. Завдання було надіслане відомим ученим того часу, однак серед них не було жодного француза. Посол Нідерландів у Парижі звернув увагу короля Генріха IV, сказавши, що, мабуть, у Франції просто немає математиків. Щоб довести протилежне, король викликав Вієта і той прямо в приймальні, у присутності короля, міністрів та гостей, знайшов один корінь запропонованого рівняння.

Пізніше Вієт знайшов ще 22 корені рівняння і описав весь процес вирішення задачі у статті «Responsum ad problema quod omnibus mathematicis totius orbis construendum proposuit Adrianus Romanus». У даного рівняння було ще 22 від’ємних корені, однак про них у праці математика не було сказано.

У 1589 році, після вбивства Генріха Гіза за наказом короля, Вієт повернувся до Парижу. Подробиці життя Вієта у той час невідомі. Відомо лише, що він перейшов на службу до Генріха IV, перебував при дворі, був відповідальним урядовцем і користувався великою повагою як математик.

Відомо, що Вієт був досить умілим дешифрувальником . Під час війни Франції з Іспанією перехоплені таємні листи іспанців вільно читали французи. Як не намагалися іспанські шифрувальники заплутати шифр (довжиною в 500 символів), Вієт щоразу успішно розгадував його. Іспанці думали, що французам допомагає сам диявол, і навіть зверталися до римського папи з проханням знищити цю нечисту силу.

В останні роки життя Вієт пішов з державної служби, але продовжував цікавитися наукою. Відомо, що він вступив у полеміку з приводу запровадження нового григоріанського календаря і навіть хотів створити власний календар. 14 лютого 1603 р. Вієт, людина великого розуму і розсудливості, один з найбільш вчених математиків століття, помер у Парижі. Йому було більше шістдесяти років».

1.2 Заслуги Франсуа Вієта в математиці

Хоча за освітою Вієт був юристом, та все ж за покликанням він, безсумнівно, був ученим. Його захопили природничі науки, насамперед астрономія, і він почав удосконалювати систему світу, створену Птолемеєм. Для цього треба було добре знати математику. Тому вся робота над математикою мала стати підготовкою до створення великого астрономічного трактату, який з різних причин так і не був написаний.

У своїх математичних працях, з яких головною є « Вступ до аналітичного мистецтва» (1591), Вієт , окрім удосконалення алгебраїчної символіки, розвинув теорію розв’язання рівнянь, розширив коло застосування алгебри до геометрії, тригонометрії до алгебри і значно сприяв розвитку тригонометрії.

Вієт розробив символіку, в якій, крім символів змінних, уперше вводилися символи для довільних величин, тобто параметрів. Вієт увів термін «коефіцієнт». Його символіка була ще недосконалою, громіздкою. В ній багато скорочених і навіть нескорочених слів, зберігся вплив геометричних уявлень. Однак це був великий крок уперед. Адже вперше стало можливим подати рівняння та їх властивості формулами. Виклад Вієта – це вже не зібрання рецептурних правил, а загальна теорія, пов’язана , наприклад, з розв’язуванням рівнянь перших чотирьох степенів. Вієт показав, що, оперуючи символами, можна одержати результат, що застосовується до будь-яких відповідних величин, тобто довів, що можливе розв’язання задачі в загальному вигляді. Це поклало початок докорінному перелому в розвитку алгебри – стало можливим буквене числення.

У теорії рівнянь, розв’язуючи рівняння вищих степенів Вієт застосував метод зведення даного рівняння до неповного рівняння за допомогою деяких підстановок. Він шукав лише додатні корені та вживав знак риски, поставленої над числовими або буквеними виразами, що мала значення сучасних дужок. Розвиваючи результати Кардано, учений відкрив названу його ім’ям славнозвісну теорему про залежність між коренями і коефіцієнтами рівняння. Вієт знайшов співвідношення для довільного степеня рівняння, хоча із застереженням – для додатних коренів. Окремим випадком відкритої залежності є теорема Вієта для квадратного рівняння.

Будучи талановитим обчислювачем, Вієт розробив метод наближеного розв’язування алгебраїчних рівнянь з числовими коефіцієнтами, який застосовувався до кінця XVII століття, поки Ньютон не винайшов більш досконалий метод.

У трактаті « Доповнення до геометрії» Вієт прагнув створити власний варіант геометричної алгебри, використовуючи геометричні методи для розв’язання рівнянь третього і четвертого степенів.

Напрацювання в геометрії

Серйозних успіхів вчений досяг також в геометрії. У даній області знання, він зміг розробити масу цікавих методів. У трактаті під назвою "Доповнення до геометрії", Віет, за прикладом древніх, спробував створити щось типу геометричної алгебри. Її суть полягала у використанні геометричних методів для вирішення рівнянь 3-го і 4-го ступенів. Як стверджував математик, будь-яке рівняння цих ступенів можна вирішити за допомогою методу трисекції кута або побудови пари середніх пропорційних. Протягом століть, математики були захоплені питаннями вирішення трикутників, які диктувалися потребами архітекторів і астрологів. Віет зміг довести застосовувані раніше методи до закінченого вигляду. Він був першим, хто сформулював словесне вираження теореми косинусів. Однак еквівалентні їй положення, епізодично зустрічалися приблизно з першого століття до нашої ери. Рішення трикутника по двох сторонах і одному з протилежних кутів, яке раніше викликало труднощі, у Виета отримало вичерпний розбір. Він ясно сказав, що в такому випадку рішення трикутника не завжди можливо. А якщо рішення є, то може бути і ще одне, але не більше двох.

Синтез алгебри і геометрії

Завдяки глибоким пізнанням в алгебрі, Віет мав величезну перевагу в своїй роботі над геометрією. Причому його початковий інтерес до алгебри, був викликаний додатками до тригонометрії, а також астрономії. Недарма ж Г. Г. Цейтон сказав: "Тригонометрія щедро віддячила алгебру за надану нею допомогу". З одного боку, кожне нове застосування алгебри ставало імпульсом для досліджень в галузі тригонометрії. А з іншого – отримані тригонометричні результати були джерелом для нових відкриттів в області алгебри. Зокрема, Віет вивів вирази для синусів і косинусів кратних дуг.

РОЗДІЛ 2

ТЕОРЕМА ВІЄТА

2.1. Пряма та обернена теорема Вієта

Теорема Вієта.

Якщо – корені квадратного рівняння , то .

Доведення. Очевидно, що дискримінант D даного рівняння не може бути від’ємним. Нехай D>0. Застосовуючи формулу коренів квадратного рівняння , запишемо: . Маємо:

Зауваження. Теорема Вієта є справедливою і тоді, коли D=0. При цьому вважають, що . Маємо:

Наслідок. Якщо – корені зведеного квадратного рівняння , то , тобто сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Зауваження . Теорема Вієта правильна не тільки для зведеного квадратного рівняння, а й для рівнянь вищих степенів. Наприклад, якщо рівняння третього степеня має корені , то :

;

Якщо таке рівняння з цілими коефіцієнтами має цілі розв’язки, то вони є дільниками вільного члена.

Теорема (обернена до теореми Вієта).

Якщо числа i такі, що , то ці числа є коренями рівняння .

Доведення. За умовою . Тому рівняння можна записати так: . Перевіримо, чи є число коренем цього рівняння, для чого підставимо в ліву частину рівняння замість змінної число . Одержимо:

Отже, – корінь цього рівняння.

Аналогічно, підставимо в ліву частину рівняння замість змінної число . Одержимо: , тобто – також корінь цього рівняння.

Отже, i – корені рівняння , що й треба було довести.

Приклад 1. Знайти суму й добуток коренів рівняння .

Розв’язання. Спочатку з’ясуємо чи має дане рівняння корені. Для цього обчислимо дискримінант: . Отже дане рівняння має два корені . Тоді за теоремою Вієта маємо:

Відповідь : сума коренів дорівнює 5, а добуток – .

Приклад 2. Знайдіть коефіцієнти i рівняння , якщо його коренями є числа -7 і 4 .

Розв’язання. За теоремою Вієта маємо : .

Відповідь . .

Приклад 3. Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють : а) ; б) .

Розв’язання. 1) Нехай . Тоді

За теоремою, оберненою до теореми Вієта , числа є коренями рівняння . Помножимо обидві частини цього рівняння на 7 та отримаємо квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами :

2) Нехай та . Тоді маємо:

Отже є коренями рівняння . Звідки шукане рівняння має вигляд: .

Приклад 4. Відомо, що – корені квадратного рівняння . Не розв’язуючи рівняння , знайдіть значення виразу:

а) ; б) ; в)

Розв’язання. За теоремою Вієта маємо : .

Тоді отримуємо:

а) .

б) .

в) .

Відповідь: 1) 2) 3) .

Приклад 5. При яких значеннях параметра сума квадратів коренів рівняння дорівнює 3 ?

Розв’язання . Нехай – корені даного рівняння. За умовою , тобто Застосовуючи теорему Вієта, можна записати: . Звідси . Але теорема Вієта «працює» лише для тих рівнянь, які мають корені. Задане квадратне рівняння має корені не при всіх значеннях параметра . Існування коренів визначається умовою D0 ; для даного рівняння Отже, знайдені значення мають задовольняти нерівність . Підстановкою з’ясовуємо, що цю умову задовольняє лише

Відповідь: .

Приклад 6. Не розв’язуючи квадратного рівняння , знайдіть значення виразу , де – корені даного рівняння.

Розв’язання. За теоремою Вієта маємо: . Тоді .

Приклад 7. Не розв’язуючи рівняння , утворіть квадратне рівняння, корені якого дорівнюють подвоєним кореням даного рівняння.

Розв’язання . За теоремою Вієта маємо: . Тоді складемо квадратне рівняння , яке має вигляд : , де
а . Знайдемо коефіцієнти . А саме: . . Отже, шукане рівняння має вигляд

2.2. Дослідження інших застосувань теореми Вієта

Приклад 1. Спростити вираз .

Розв’язання. Перетворення зробимо аналогічно розв’язуванню рівнянь. А саме : число 12, що стоїть під другим радикалом, розкладемо на два множники (12 і 1) так, щоб їх сума (12+1) дорівнювала першому доданку (13). Із знайдених чисел 12 і 1 добуваємо корінь квадратний : , тоді .