Підготовка до ЗНО та НМТ (геометрія)

Про матеріал

Подано добірку задач з планіметрії та стереометрії; можна використовувати при підсумковому повторенні та систематизації матеріалу

Перегляд файлу

Підготовка до ЗНО та НМТ (геометрія)

Пропонується низка завдань для повторення окремих розділів геометрії

Завдання 1. Сторони прямокутника дорівнюють 5 см і 12 см.

1) Обчисліть радіус описаного кола.

Відповідь: 6,5 см

Розв’язання. Діагональ прямокутника дорівнює 13 см (за теоремою Піфагора) і є діаметром описаного кола, отже, . Отже, см.

2) Обчисліть діаметр кола, вписаного в один із прямокутних трикутників, який утворено діагоналлю прямокутника.

Відповідь: 4 см.

Розв’язання. Нехай - радіус вписаного кола; знаходимо за формулою , де

– катети трикутника, – гіпотенуза; отже, і діаметр 4 см.

Завдання 2. Установіть відповідності між початком речення (1 – 4) та його закінченням

(А – Д).

Периметр ромба з гострим кутом , в який вписано коло А 20 см

довжиною , дорівнює…

Гіпотенуза прямокутного рівнобедреного трикутника з площею Б 16 см

100 см²дорівнює…

Радіус кола, вписаного у квадрат з площею 400 см², дорівнює… В 40 см

Висота рівнобічної трапеції з перпендикулярними діагоналями Г 12 см

і площею 256 см² дорівнює…

Д 10 см

	А	Б	В	Г	Д
1			Х
2	Х
3					Х
4		Х

Відповідь:

Розв’язання.

1) Висота цього ромба дорівнює діаметру вписаного кола , тому за формулою маємо: і ; сторону ромба знаходимо за формулою см; отже, периметр ромба см.

2) Площу прямокутного рівнобедреного трикутника з катетом знаходимо за фор-мулою , , ; гіпотенуза см.

3) Радіус кола, вписаного у квадрат, дорівнює , де а – сторона квадрата. За умовою

площа квадрата 400 см², тому см і радіус дорівнює 10 см.

$C:\Users\Nata\Desktop\Харик трапеция.wmf$

Нехай ABCD - задана трапеція, СМАD, ; побудуємо СК׀׀BD, тоді трикутники ABC, DCB, CDK - рівні і площа трапеції ABCD дорівнює площі трикутника АСК; , , тому і ; нехай ; ; отже, см.

Завдання 3. У трикутнику АВС: , . Пряма СМ перпендикулярна до АС і

точка М розташована на стороні АВ цього трикутника. Знайдіть відношення довжин

відрізків АМ та ВС.

Відповідь: 2

Розв’язання. Нехай CN – медіана прямокутного трикутника АСМ (малюнок 3); за властивістю медіани , отже і . Для ∆АСN кут СNМє зовнішнім, він дорівнює сумі внутрішніх, не суміжних з ним, тобто . Тоді ∆СNВ є рівнобедреним, СВ =СN. Зазначимо, що , отже,

АМ = і .

Завдання 4. Площа бічної поверхні конуса , радіус основи – 6 см.

1) Знайдіть кут при вершині осьового перерізу цього конуса.

Відповідь:

Розв’язання. Площу бічної поверхні конуса обчислюємо за формулою , де R – радіус основи, l – твірна; отже, , см. Осьовий переріз конуса (малюнок 4.1) – рівнобедрений трикутник, тому висота конуса – медіана та бісектриса цього трикутника. Нехай α – шуканий кут, тоді .

2) Знайдіть відношення площі бічної поверхні конуса до площі поверхні кулі, вписаної у цей конус.

Відповідь: 1,5

Розв’язання. Осьовий переріз конуса – рівнобедрений трикутник із кутом при вершині , отже, цей трикутник – рівносторонній, і радіус кола, вписаного в нього, є радіус кулі, вписаної в конус (малюнок 4.2). Цей радіус – r, знаходимо за формулою: . Площа поверхні кулі дорівнює ,

отже, . Знаходимо відношення площі бічної поверхні конуса до площі поверхні кулі, вписаної у цей конус: .

Завдання 5. У кубі ребро дорівнює см. Знайдіть відстань між мимобіжними діагоналями двох суміжних граней.

Відповідь: 12 см

Розв’язання. Нехай - куб, ребро якого дорівнює а, см . Діагоналі та - мимобіжні діагоналі двох суміжних граней.

Застосуємо теорему про відстань між мимобіжними прямими: якщо одна з даних прямих а перпендикулярна до деякої площини α та перетинає її в точці А, а інша пряма - b має проекцію на площину α - пряму , тоді відстань між прямими а і b дорівнює відстані між точкою А та прямою (малюнок 5.1).

Для даної задачі: пряма (а) перпендикулярна до площини (α) і перетинає її в точці , проекцією діагоналі ( b) на площину ( α) є відрізок () (малюнок 5.2). Розглянемо переріз і в ньому прямокутний трикутник (малюнок 5.3): нехай , тоді - шукана відстань між та ; .