Підготовка до ЗНО та НМТ (геометрія)
Пропонується низка завдань для повторення окремих розділів геометрії
Завдання 1. Сторони прямокутника дорівнюють 5 см і 12 см.
1) Обчисліть радіус описаного кола.
Відповідь: 6,5 см
Розв’язання. Діагональ прямокутника дорівнює 13 см (за теоремою Піфагора) і є діаметром описаного кола, отже, . Отже,
см.
2) Обчисліть діаметр кола, вписаного в один із прямокутних трикутників, який утворено діагоналлю прямокутника.
Відповідь: 4 см.
Розв’язання. Нехай - радіус вписаного кола; знаходимо за формулою
, де
– катети трикутника,
– гіпотенуза; отже,
і діаметр 4 см.
Завдання 2. Установіть відповідності між початком речення (1 – 4) та його закінченням
(А – Д).
довжиною , дорівнює…
100 см2 дорівнює…
і площею 256 см2 дорівнює…
Д 10 см
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
1 |
|
|
Х |
|
|
2 |
Х |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Х |
4 |
|
Х |
|
|
|
Відповідь:
Розв’язання.
1) Висота цього ромба дорівнює діаметру вписаного кола
, тому за формулою
маємо:
і
; сторону ромба знаходимо за формулою
см; отже, периметр ромба
см.
2) Площу прямокутного рівнобедреного трикутника з катетом знаходимо за фор-мулою
,
,
; гіпотенуза
см.
3) Радіус кола, вписаного у квадрат, дорівнює , де а – сторона квадрата. За умовою
площа квадрата 400 см2, тому см і радіус дорівнює 10 см.
4)
Нехай ABCD - задана трапеція, СМАD,
; побудуємо СК׀׀BD, тоді трикутники ABC, DCB, CDK - рівні і площа трапеції ABCD дорівнює площі трикутника АСК;
,
, тому
і
; нехай
;
; отже,
см.
Завдання 3. У трикутнику АВС: ,
. Пряма СМ перпендикулярна до АС і
точка М розташована на стороні АВ цього трикутника. Знайдіть відношення довжин
відрізків АМ та ВС.
Відповідь: 2
Розв’язання. Нехай CN – медіана прямокутного трикутника АСМ (малюнок 3); за властивістю медіани , отже
і
. Для ∆АСN кут СNМє зовнішнім, він дорівнює сумі внутрішніх, не суміжних з ним, тобто
. Тоді ∆СNВ є рівнобедреним, СВ =СN. Зазначимо, що
, отже,
АМ = і
.
Завдання 4. Площа бічної поверхні конуса , радіус основи – 6 см.
1) Знайдіть кут при вершині осьового перерізу цього конуса.
Відповідь:
Розв’язання. Площу бічної поверхні конуса обчислюємо за формулою , де R – радіус основи, l – твірна; отже,
,
см. Осьовий переріз конуса (малюнок 4.1) – рівнобедрений трикутник, тому висота конуса – медіана та бісектриса цього трикутника. Нехай α – шуканий кут, тоді
.
2) Знайдіть відношення площі бічної поверхні конуса до площі поверхні кулі, вписаної у цей конус.
Відповідь: 1,5
Розв’язання. Осьовий переріз конуса – рівнобедрений трикутник із кутом при вершині , отже, цей трикутник – рівносторонній, і радіус кола, вписаного в нього, є радіус кулі, вписаної в конус (малюнок 4.2). Цей радіус – r, знаходимо за формулою:
. Площа поверхні кулі дорівнює
,
отже, . Знаходимо відношення площі бічної поверхні конуса до площі поверхні кулі, вписаної у цей конус:
.
Завдання 5. У кубі ребро дорівнює см. Знайдіть відстань між мимобіжними діагоналями двох суміжних граней.
Відповідь: 12 см
Розв’язання. Нехай - куб, ребро якого дорівнює а,
см . Діагоналі
та
- мимобіжні діагоналі двох суміжних граней.
Застосуємо теорему про відстань між мимобіжними прямими: якщо одна з даних прямих а перпендикулярна до деякої площини α та перетинає її в точці А, а інша пряма - b має проекцію на площину α - пряму , тоді відстань між прямими а і b дорівнює відстані між точкою А та прямою
(малюнок 5.1).
Для даної задачі: пряма (а) перпендикулярна до площини
(α) і перетинає її в точці
, проекцією діагоналі
( b) на площину
( α) є відрізок
(
) (малюнок 5.2). Розглянемо переріз
і в ньому прямокутний трикутник
(малюнок 5.3): нехай
, тоді
- шукана відстань між
та
;
.