Підготовка до ЗНО з теми" Цілі вирази"

Підготовка до ЗНО

Тема:  Цілі вирази.   

 1. Вирази зі  змінними. Тотожні вирази.

    

Раціональні вирази                                        a + b = b + a                 (a b) = a b

                                                                          ab = ba                      - (a b) = a b Числові          Зі змінними            |                     (a b)c = ac bc          a + a = 2a

                                                                         a(bc ) = abac             a ∙ a = a²

                                                            

цілі       дробові     цілі       дробово - раціональні

Цілий вираз: – не містить зміну в знаменнику

Дробово – раціональні: .

Цілі вирази поділяються на одночлени і многочлени.

2. Одночлени  

Одночлени – це добуток чисел, букв та їх степенів

                                 

5х²у

                                                                  

                                 коефіцієнт                  буквена частина 

(степінь одночлена – це сума показників змінних, що входять до їх складу

   n = 2 +1 =3 - степінь).  5х²у – одночлен третього степеня.  

Дії з одночленами                      

5х²у і   х²у – подібні                       

 5х²у + х²у = 5,2х²у  = х²у  – додавання            

5х²у ∙ х²у = х⁴у² – множення

(5х²у)² = 25 х⁴у²– піднесення до степеня

 

ЗНО 2016

Одночлен множимо два одночлена: спочатку коефіцієнти, а потім множимо буквені частини:  2х⁵ В

 

3. Многочлени                                          

Р(х) = ахⁿ + bx^n-1+… + c(n – степінь)          

 Многочлени – це сума декількох одночленів. Степінь многочлена – це найвищий показник степеня одночлена який входить до його складу

 ах + b – лінійний двочлен (5х + 3) – вираз першого степеня

(лінійний – х в першому степені, а двочлен – два доданки)

 ах² + bх + с – квадратний тричлен (2х² - 5х + 2) – це многочлен другого степеня – найвищий степінь – квадрат, тричлен – три доданки.

 

 Дії з многочленами

4. Додавання і віднімання многочленів

    3х + 2 та 2х – 3

   (3х + 2) + (2х – 3)= 3х + 2+2х – 3 = 5х -1

   (3х + 2) - (2х – 3)= 3х + 2-2х +3 = х +5

5. Множення многочлена на одночлен

(a b)c = ac bc

ЗНО 2015

Розкриємо дужки: 10х + 12 А

Пробне ЗНО 2019

 

 Можна розкрити дужки. Але в завдані сказано «обчислити значення виразу», то краще просто підставити.

 3(а –1) = 3(0,7 – 1) = 3∙(– 0,3) = – 0,9А

 

6. Множення многочлена

(a + b)(b + d) = ас + ad + bc + bd

7. Формули скороченого множення

Квадрат двочлена

(a + b)² = а² +2аb + b² – квадрат суми

(a – b)² = а² –2аb + b² –  квадрат різниці

1. Подайте у вигляді многочлена вираз:

     а) (а – 4)(а  + 4) = а²  – 4² = а²  – 16

     б) (0,2х – 5у)( 0,2х + 5у) = (0,2х)²  – (5у)² = 0,04х²  – 25у²

     в) (– х –)( х –) = – ( х +)( х –) = – (х²  – ()² ) = – (х²  – ) = – х²  +

     г) (b + 2) (b – 2) = b² – 2² = b²  – 4

     д) (а² – 1) (а² + 1) =  (а²)² – 1² = а⁴ – 1

 е) (0,3с + 2d)(–2d +0,3с) = (0,3с – 2d) (0,3с + 2d) = (0,3с)² – (2d)² = 0.09c² – 4 d²

     2) Спростіть вираз

       а) (у – 4) (у + 4) – (у + 2)² = у² – 16 – (у² + 4 у + 4) = у² – 16 – у² – 4у – 4 =

          = – 4у – 20

       б) (х – 2)² + (3 – х) (3 + х) = х² – 4х + 4 + 9 – х² = – 4х + 13 = 13 – 4х

 Квадрат тричлена

(a + b + с)² = а² + b² + с² + 2аb + 2ас + 2bс

Різниця квадратів

a² – b² = (a + b) (a – b)

(a + b) (a – b) = a² – b²

 

 

Куб суми і різниці

(a + b)³ = а³ +3а²b + 3аb² + b³ – куб суми

(a – b)³ = а³ – 3а²b + 3аb² – b³– куб різниці

Сума і різниця кубів

а³ + b³ = (a + b)( а² – аb + b²) –  суми кубів

а³ – b³ = (a – b) ( а² + аb + b²) – різниця кубів

 

Пробне ЗНО 2017

 Підставимо значення х = t – 2 в вираз х² – t² і застосуємо формулу скороченого множення – квадрат різниці

 

          х² – t² = (t – 2)² – t² = t² – 4t + 4 – t² = – 4t + 4 = 4 – 4t Б

ЗНО 2018

      Розкриємо дужки(множимо одночлен на многочлен) і застосуємо формулу скороченого множення – квадрат суми.

 а(a + 2b) – (a + b)² = а² + 2аb – (а² +2аb + b²) = а² + 2аb – а² – 2аb – b² = – b²

   – b² В

 

Розкладання многочлена на множники

1. Винесення спільного множника за дужки

abac = a(bc )

a(b + c ) + d(b + c ) = (b + c ) (a + d )

2. Спосіб групування

 ab + ac + db + dс = (ab + ac) + (db + dс) = а(b + c) + d(b + с) = (b + с)(a + d )

3. Використання формул скороченого множення

    a² – b² = (a + b) (a – b)

    (a b)² = а² 2аb + b²

    а³ b³ = (a b)( а² аb + b²)

    (a b)³ = а³ 3а²b + 3аb² b³

4. Застосування різних способів розкладання многочлена

 

Пробне ЗНО 2017

Виразимо а: a + b = 6; а = 6 – b 25 –  2(6 – b) – 2b = 25 –  12 + 2b – 2b =

                      = 13 Г

або 25 –  2а – 2b = 25 – 2(а + b) = 25 – 2∙6 = 25 – 12 = 13 Г

ЗНО 2018

 Винесемо 2 за дужки і поділимо на 2.  = = а + 1В

Сканаві  2.195. Рівень Б

Спростити вираз

: =

1) Розкладемо на множники вираз  а⁴ – а² – 2а – 1.

а⁴ – а² – 2а – 1= а⁴ – (а² + 2а + 1) =  (а² + 2а + 1 квадрат суми) =  а⁴ – (а + 1)²

(даний вираз різниця квадратів a² – b² = (a + b) (a – b) = (а² – (а+1)) (а² + а + 1) = (а² – а –1) (а² + а + 1)

2) Розкладемо на множники вираз  а³ – 2а² + 1. Розпишемо – 2а² = – а² – а², та згрупуємо вираз.

     а³ – 2а² + 1= а³ – а² – а² + 1 = (а³ – а²) – (а² – 1) = а²(а –1) – (а –1)(а +1) =

= ((а –1) – спільний множник) (а –1)( а² – (а +1)) = (а –1)( а² – а –1).

3) Розкладемо на множники вираз  а⁴ + 2а³ – а – 2. Згрупуємо вираз:

   (а⁴ + 2а³) – (а + 2), винесемо спільний множник  а³(а + 2) – (а + 2), ще раз винесемо спільний множник (а + 2)( а³– 1). ( а³– 1) – різниця кубів.

а³ – b³ = (a – b) ( а² + аb + b²) – різниця кубів

(а + 2)( а³ – 1) = (а + 2)(а – 1)( а² + а + 1)

4) 1 + + = =

5) =

6) = (а + 2)(а – 1)( а² + а + 1)∙ =

7) := ∙ =

Завдання зі збірника «Сучасна підготовка до ЗНО 2021»

 

16. Спростити вираз: а) – (9х – 4) + 3(1 + 3х)  = – 9х + 4 + 3 + 9х = 7                      

                                     б) – (6х + 7) + 2(3х + 8)  

17. Запишіть у вигляді многочлена:

      а)  (2с – 1)(4с + 1) = 8c² – 4c + 2c – 1 =  8c² – 2c – 1                  

      б) (1– 3с)(с + 4)

18. Запишіть у вигляді многочлена: а) аb³(а – 2b) = а²b³ – 2аb⁴;     

б) (3а + b) а³b    

 

 

 

19. Виконайте ділення: а) : = ∙ = 6;              б) :

23. Спростіть вираз:

       а) (а – 3)² + 6а – 9 = а² – 2∙3а + 9 + 6а – 9 =  а² – 6а + 9 + 6а – 9 а = а²;

                                     б) (а + 4)² – 8а – а²

24. Розкладіть на  множники: а) 36m² – 1 = (6m)² – 1² =  (6m – 1) (6m + 1);

                                                   б) 1– 25m²

25. Подайте у вигляді квадрата двочлена: 

      а) 9х ² + 6х + 1 = (3х)² + 2∙3x∙1 + 1 = (3х + 1)²;

                                                                         б) 4х ² – 8х + 4.

26. Спростіть вираз: а) = =5;    б)                                    

27. Спростіть вираз: а) = = ;      

                                    б) 

Завдання для самостійної роботи

ЗНО 2006

Завдання 3

Знайдіть вираз, тотожно рівний виразу х⁴ + х³ – х - 1

 

А	Б	В	Г	Д
(х+1)2(х2+х+1)	(х2-х+1) (х-1)2	(х-1)3(х+1)	(х-1) (х+1)3	(х2-1) (х2+х+1)

 

х⁴ + х³ – х – 1 = (х⁴ + х³ ) – (х + 1) = х³(х + 1) – (х + 1) =  (х + 1) (х³ – 1) =

=  (х + 1) (х–1)( х² + х +1) = ( х² – 1) ( х² + х +1) – Д

 

ЗНО 2008

Завдання 12

Знайдіть значення виразу     х² – 4 х – 1, якщо х = 2 –

А	Б	В	Г	Д
- 5	5	13 – 4	13 + 4	Інша відповідь

 

х² – 4х + 4 = (х – 2)² = (2 – – 2) = (– )² = 5 – Б

 

ЗНО 2009

Завдання 1

Спростіть вираз .

А	Б	В	Г	Д
			–

 

= = – В

 

 

ЗНО 2010

Завдання 29

Знайдіть значення виразу ∙– , якщо m = 4,25

 

ЗНО 2011

28. Установіть відповідність між виразами (1 – 4) та їхніми значеннями, якщо х = 0,5

(А – Д )

        Вираз                                                                Значення виразу

1                                                           А    1,5

2 ∙                                      Б    2,5

3                                                       В  – 0,25

4 (х – 5)² + 5(2х - 5)                   Г  – 2,5

                                                                          Д 0,25

1. = х-3 = 0,5 – 3 = -2,5 Г

2. ∙= ∙= ∙= ∙= ∙= ∙=

= ∙ = – ∙ = –= –= – 0,25 В

3. = = х+1 = 0,5 + 1 = 1,5 А

4. (х – 5)² + 5(2х – 5) = х² – 10х +25 + 10х – 25 = х² = 0,5² = 0,25 Д

 

ЗНО 2012(осн. сесія 2)

21. До кожного виразу (1-4) доберіть тотожно рівний йому вираз(А – Д)

   1 (а – 8) (а + 8) А   а² – 16а + 64

   2  (а – 8)²                                              Б   а² –  64

    3 (а – 4)( а² + 4а + 16) В   а² – 20а + 64

  4 (а – 4)(а – 16)                                     Г   а³  + 64

 Д   а³ – 64

1. а² – 64 – Б    3. а³ – 4³– Д

2. а² – 16а + 64 – А              4. а² – 16а – 4а + 64 = а² – 20а  + 64 – В

 

ЗНО 2012(додаткова сесія )

25. Спростіть вираз 2(а² – 5ab + 4b²) – 3(2а² – 2ab + 3b²) та обчисліть його значення, якщо

а =1,1; b = 0,8.

 

Розв’язок: 2(а² –5аb + 4b²) – 3(2а² –2аb + 3b²) = 2а² –10аb + 8b² – 6а² +6аb – 9b² =

= – 4а² – 4аb – b² = – (4а² + 4аb + b²) – виділимо повний квадрат тричлена:

– (2а + b)² = – (2∙1,1 + 0,8)² = – (2,2 + 0,8)² = – (3)² = –9

 

ЗНО 2013(сесія 1)

2. Укажіть вираз, тотожно рівний виразу (2х + 5)(3 – х)

 

А	Б	В	Г	Д
15 + х – 2х2	15 + х + 2х2	15 + 6х – 2х2	15 + 11х – 2х2	15 + 11х + 2х2

 

(2х + 5)(3 – х) = 2х ∙ 3 – 2х ∙ х + 5 ∙ 3 –5 ∙ х = 6х – 2х² + 15 –5х = – 2х² + х + 15 =

15 + х – 2х² – А

 

ЗНО 2016

7. Спростіть вираз    -

 

А	Б	В	Г	Д
				0

 

- = = =  – А

 

ЗНО 2017

             (х – 2)² + 4х = х² – 4х + 4 + 4х = х² + 4  – Д

 

ЗНО 2018

(х – у) (х + у) = 7; х – у =   і   3(х + у) = 63; х + у = 63:3; х + у = 21

             х – у =    = – Д

ЗНО 2020 основна

       (x +y -3x)(x + y +3x) = (- 2x + y)(4x + y) – В

 

 

 

 

 

2020 додаткове

х + 2х – 4 = 3х – 4 – А

 

 (2х – 3)² + 12х = 4х² – 12х +9 +12х = 4х²  +9 – Б

 

ЗНО 2021

(а – 4)² – а² =  а² – 8а + 16 – а² = – 8а + 16 – А

 

Демонстраційне ЗНО 2021

7.

 

()() = = 2 – а² – Б