Підсумковий урок

 “Об’ємний світ”

 

Формування компетентностей:

предметна компетентність: сприяти узагальненню та поглибленню знань учнів про об’єми просторових фігур; встановити міжпредметні зв’язки, сприяти інтеграції та застосуванню теоретичних знань на практиці; удосконалити вміння розв’язувати  задачі з даної теми;

ключові компетентності:

спілкування державною мовою – грамотно висловлюватися рідною мовою, доречно та коректно вживати в мовленні математичну термінологію;

уміння вчитися впродовж життя – визначати мету навчальної діяльності, відбирати і застосовувати потрібні знання та способи діяльності для досягнення цієї мети;

основні компетентності у природничих науках і технологіях – усвідомити важливість математики як універсальної мови науки;

ініціативність і підприємливість – аргументувати та захищати свою позицію, дискутувати.

 

Тип уроку: урок узагальнення та систематизації знань

Обладнання: мультимедійна дошка, плакати, креслярські інструменти, м’ячі, глобус, яйця (страусине та куряче)

Хід уроку

І. Мотивація навчальної діяльності

 

Тема “Об’єми” дуже важлива не лише в геометрії. Вона має тісний зв’язок з практичною діяльністю людини та з іншими науками, зокрема і з тими, основи яких вивчаються у школі. У цьому ви, гадаю, переконалися, готуючись до уроку, і будете переконувати своїх однокласників. Кожна група розповість про свої відкриття та поділиться новими знаннями. Усе, що пов’язане з об’ємами, цікавить не лише математиків. Будьте уважні, керуйтеся девізом “Не поспішай говорити, поспішай слухати”.

 

 А зараз давайте перевіримо ваші знання про об’єми стереометричних фігур.

ІІ. Актуалізація опорних знань

Тест “Об’єми стереометричних фігур”

1. Об’єм прямокутнього паралелепіпеда обчислюється за формулою:

А. V=1/3 S₀H    B. V=S₀H

Б.  V= abc      Г.V=ПR²H

 

2. Об’єм призми

 А. V=1/3 S₀H    В.V=1/3ПR²H

 Б.V=S₀H           Г.V=ПR²H

 

3. Рівновеликими називаються тіла, у яких:

А. рівні висоти    В.рівні об’єми

Б.рівні сторони основ   Г.рівні площі основ

 

4. Об’єм піраміди

А. V=1/3 S₀H    В. V=ПR²H

Б. V= abc     Г. V=S₀H

 

5. Об’єми подібних тіл відносяться як:

А. площі основ    В. висоти

Б.квідрати лінійних розмірів  Г.куби лінійних розмірів

 

6. Об’єм циліндра

А. V= abc     В. V=ПR²H

Б. V=S₀H     Г. V=1/3ПR²H

 

7. Тіло називається простим, якщо його можна розбити на скінченну кількість

А.призм     В.пірамід

Б.циліндрів     Г.куль

 

8. Об’єм конуса

А. V=1/3ПR²H    В. V=4/3ПR³

Б. V=ПR²H     Г. V=S₀H

 

9. Об’єм кулі

А. V=ПR²H     В. V=S₀H

Б. V=1/3 S₀H    Г. V=4/3ПR³

 

10. Частина кулі, яку відтинає від неї січна площина, називається

А.кульовим сектором   В.півкулею

Б.кульовим сегментом   Г.конусом

ІІІ. Виступи представників груп

 

 Ми живемо у просторі, що має три виміри, і, напевно, інші предмети, що вивчаються у школі, мають відношення до теми “Об’єми”.

 Як все починалося, хто вперше зацікавився знаходженням об’ємів просторових фігур нам розкажуть представники історичної групи.

Історична група

 

Геометрія завжди мала численні практичні застосу­вання. Основними її споживачами були землеміри, реміс­ники, будівельники, художники. Землемірам потрібні були правила вимірювання ділянок землі, будівельники, кори­стуючись геометрією, креслили план споруди, а потім зводили її, користуючись певними, виробленими протя­гом століть правилами, згідно з якими певні геомет­ричні форми частин споруд були пов'язані з умовами їх міцності.

Будівельники використовували також правило про­порційного поділу. Ремісникам потрібні були поняття про геометричні фігури та форми, про об'єми геометричних тіл.

 Визначати об’єм призми, піраміди, циліндра, конуса і кулі вміли давні греки і до Архімеда. Але тільки він узагальнив метод, який дозволяє визначити будь – яку площу чи об’єм (слайд 3). Ідеї Архімеда лягли в основу інтегрального обчислення. Саме Архімед визначив за допомогою свого методу площі і об’єми майже всіх тіл,які розглядалися в античній математиці. Він виявив, що об’єм кулі складає 2/3 від об’єма описаного навколо неї циліндра. Він вважав це відкриття найбільшим своїм досягненням.

 Для простих тіл об’єм – це додатня величина, числове значення якої має такі властивості:

 -рівні тіла мають рівні об’єми;

 -якщо тіло розбито на частини, які є простими тілами, то об’єм цього тіла дорівнює сумі об’ємів його частин;

 -об’єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці.

 Найвідоміші піраміди: Хеопса (Хуфу), Хефрена (Кафра), Мікеріна. Найбільша з них – велика піраміда Хеопса, збудована в ХХУІ столітті до нашої ери. Висота її 137 метрів, а площа основи близько 55 000 квадратних метрів (слайд 4) . Згідно з легендою, піраміда служила фараонам тією драбиною, якою вони сходили на небо. Спробуємо знайти об’єм піраміди Хеопса.

 

Об’єм піраміди обчислюється за формулою

V= 1/3 S₀h,  S₀= 55 000 м² , h= 137 м, то V= 1/3  55 000  137= 2511667 м².

Художники

 

Широко використовується об’ємність і у образотворчому мистецтві.                У ХХ столітті почав розвиватися один із напрямків живопису “Кубізм”, представники якого зображували на своїх картинах предмети і вигляді геометричних фігур (слайд 5).

 

 Відомі представники даного напрямку Пабло Пікассо та Жорж Брак (слайд 6-8).

 

Використовуються просторові фігури і для створення натюрмортів. Для зображення предметів спочатку малюють геометричні фігури, а потім за допомогою додаткових штрихів утворюють предмети, які складають натюрморт (слайд 9).

 

Перед вами знаходиться прямокутник, розбитий на частини, між якими знаходяться білі кружечки, якщо придивитися до малюнку, то білі кружечки чергуються із чорними, відбувається процес мерехтіння (слайд 10).

 

За допомогою цієї картини ви можете перевірити свій вестибулярний апарат (слайд 11).

 

Якщо уважно придивитися до даних зображень, то можна помітити  на картинці кілька нових зображень (слайд 12-15).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Спортивна група.

 

Багато спортивних предметів мають форму геометричних тіл: м’яч, ядро, граната, спис, обруч тощо. Усі м’ячі відрізняються розмірами. Зробивши необхідні вимірювання, ми визначили довжину великого круга сферичних предметів: ядра – 22 см, волейбольного м’яча – 64 см, баскетбольного м’яча – 78 см,  тенсного – 12 см, футбольного – 72 см. Виходячи з цього ми визначили у скільки разів об’єм футбольного м’яча більший за об’єм тенісного.

V=4/3 ПR³

C₁=2 ПR₁ , R₁=с/2П=78/6,26=12,4 см

C₂=2 ПR₂ , R₂=с/2П=12/6,26=1,9 см

V₁=4/3 ПR₁ ³ = 4/3 3,14 12,4³= 7982 см³

V₂=4/3 ПR₂ ³ = 4/3 3,14 1,9³= 28,7 см³

V₁/V₂= 7982 / 28,7 = 278 разів

Отже, об’єм футбольного м’яча більший за об’єм тенісного у 278 разів.

 

Задача 1. Якби “золотий м’яч”, який отримав відомий футболіст Андрій Шевченко, був у натуральну величину та повність із золота, його маса становила б:

  m=pV=p 4/3П (с/2П)³= 4рс³/24П²=133 400 (г)= 133 (кг) (слайд 17)

 

Задача 2. 6 червня 2003 року в Києві біля пам’ятника Валерію Лобановському на стадіоні “Динамо” було встановлено для ознайомлення Кубок чемпіонів, який отримав А.Шевченко. Скільки пляшок шампанського входить у цей кубок? (слайд 18)

 Скориставшись формулою для обчислення об’єму конуса, ми встановили, що об’єм Кубка дорівнює 18 754 см³= 18,754 л.

 Враховуючи, що в одній пляшці шампонського 0,75 л, отримаємо

  

 18,754:0,75=25 пляшок.

 

Отже, у Кубок чемпіонів ввійде 25 пляшок шампанського.

 

Задача додому: 

 

У басейні з горизонтальним дном і площею 1 га міститься 1млн літрів води. Чи можна в цьому басейні проводити змагання з плавання? (слайд 19)

Біологічна група

 

Оскільки ми біологи, то вирішили дослідити людську волосину, адже вона має форму циліндра.

 

Цікаво, що коли збільшити в 1 млн разів її діаметр, то він буде дорівнювати аж 70 м! усередині такої волосини ми моглиб не лише спокійно грати у футбол, а й їздити по колу на автомобілі.

 

Джордж  Кендрю  говорив “Із часів стародавніх грецьких філософів правильні многогранники вважалися не більш ніж іграшкою для математиків, що не мала ніякого практичного значення. Дуже дивно, що саме ці фігури виявились у центрі уваги біологів у їх завзятих суперечках щодо точної форми вірусів”. (слайд 21)

 

Зв’язки біології з об’ємами існують. Це не тільки форми вірусів, не лише бджолинні соти, що мають форму правильних многогранників (слайд 22). Тому можна скласти багато цікавих задач на обчислення, дослідження, що мають відношення до біології.

 

Наприклад, найбільші яйця серед існуючих нині птахів – у африканського страуса. Їх довжина сягає 16 см, маса – 2 кг і більше. Приблизно 25 курячих яєць мають такий самий об’єм, як 1 яйце страуса. А найменше яйце – у колібрі (слайд 23): їх довжина менша за півсантиметра. Визначити, у скільки разів об’єм страусиного яйця більший за об’єм яйця колібрі?

Розв’язати цю задачу вдома.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Географічна група

 

Об’ємність фігур використовується і у географії. Земля має форму кулі. Тому ми розглянемо ряд задач географічного змісту на знаходження певних величин, використовуючи формули об’ємів просторових фігур.

 

Задача 1: Обчислити, скільки води на землю щороку приносять опади (сніг, град, дощ) (слайд 24).

Середня кількість опадів на рік становить 78 см на 1 м² площі землі.

Обчислюємо площу поверхні Землі, якщо діаметр екватора 12 756 км.

S=4ПR²=Пd²

S=3,14  12756² = 511185933 (км²)

Отже, щороку на Землю приблизно випадає опадів:

 

0,78  511185933 10⁶= 399  10¹²(м³)

 

Задача 2: Знайти відношення об’єму озер України до об’єму всіх озер світу. (слайд 25).

 

Об’єм води в озерах світу  0,75 млн км³,

Об’єм води в озерах України – 9,7 млрд м³

 

V₁/V₂= 9,7/ 750000= 0,000013

 

Задача 3: Об’єм Світового океану 1340,7 млн км³. Його середня солоність становить 35%. Обчислити, скільки солі міститься в Світовому океані і скільки цієї солі припадає на одну людину. (слайд 25)

 

Знаходимо 35% від 1340,7 млн км³

1340,7  0,35 = 469,2 млн км³

На Земній кулі проживає 6 млрд людей, тому на 1 людину припаде

469,2 млн км³ : 6 млрд = 78,2 млн м³ солі

 

Задача додому:

 

Найбільший льодовик планети – Росса – знаходиться в Антарктиді. Його площа 538 тис м², висота становить від 30 до 100 м. Знайти об’єм льодовика. (слайд 26).

 

 

Побутова група

 

Широко використовуються об’єми просторових фігур і у побуті. Розглянемо кілька задач.

 

Задача 1: Продають два кавуни одного сорту: один обхватом 60 см, а другий – 50 см. Перший у 1,5 раза дорожчий. Який кавун краще купити? (слайд 27)

 

Нехай V=4/3 ПR³ , с=2П R    R=с/2П, тоді

 

V₁/V₂=с₁³/с₂³= 216000/125000=1,7

Отже, краще купити більшого кавуна.

 

Задача2: Чашка циліндричної форми наповнена доверху водою. Чи можна відлити рівно половину молока, не користуючись при цьому вимірювальними приладами? (дослід з чашкою циліндричної форми)

 

Задача 3: Друга чашка вдвічі нижча від першої, але в півтора раза ширша. Яка з чашок має більшу місткість? (слайд 28)

 

Для першої чашки висота h, а діаметр основи d

Для другої чашки висота 0,5 h, а діаметр основи 1,5 d

 

V₁=Пd²h/4

V₁=П(1,5d)² 0,5h/4= 1,125Пd²h/4

 

Знайдемо

V₁/V₂=1,125Пd²h/4 / Пd²h/4 = 1,125

 

Задача додому:

 

Мати налила маленькому синові ліки у фужер конічної форми, але син попросив дозволу випити ліки лише до половини висоти фужера. Мати погодилась. Чому? (слайд 29)

 

 

 

 

 

 

 

ІУ. Підсумок уроку

 

Ми сьогодні перегорнули лише кілька сторінок книги про використання об’ємів просторових фігур у різних галузях науки, мистецтва, побуту, спорту та інших сферах. Математика – це дійсно цікава наука. Ось як про неї писав індійський вчений Маловіра.

“Наука обчислення високо шанується... в науці про багатство, в музиці і драму, в кулінарному мистецтві, в медицині, в архітектурі, в поетиці й поезії, в логіці й граматиці і в інших речах. Її використовують у зв’язку з рухами Сонця... із затемненням планет ... рухом Місяця. Діаметри і периметри островів, океанів, гір, великі розміри поселень і будівель жителів світу, просторів між світами... й усілякі інші вимірювання – все це зробили за допомогою математики”.