11 серпня о 18:00Вебінар: Зберегти креативність: корисні вправи для вчителів та учнів

Площа трикутника, заданого координатами своїх вершин

Про матеріал
Формул для обчислення площі трикутника в літературі можна знайти більше 10. Більшість з них можна застосувати в задачах з відомими сторонами та кутами трикутниками. В даному матеріалі запропоновано використання методу координат. Доцільно з учнями розглянути поняття визначників та правила їх обчислення
Перегляд файлу

Площа трикутника, заданого координатами своїх вершин

 

Визначимо площу S трикутника А1А2А3, якщо задані координати його вершин А1(x1;y1), А2(x2;y2), А3(x3;y3).

 Будемо розглядати орієнтовані трикутники, тобто такі трикутники, відносно вершин якого зазначено, яка з них вважається першою, другою, третьою. Якщо через вершини трикутника А1А2А3  будемо вважати додатною (від’ємною), коли рух по дузі кола А1А3, що містить вершину А2, здійснюється в напрямку, протилежному напрямку руху (співпадає з напрямком руху)  кінця годинникової стрілки.

 

Розглянемо сторони трикутника А1А2 і А1А3 як вектори  

, де 𝑎 12) і 𝑏⃗ (b1;b2). Знайдемо координати цих векторів: а121;

b1=x3-x1;                                                                                       а2=y2-y1; b2=y3-y1

Нехай - кут від вектора a до вектора b , що співпадає з внутрішнім кутом трикутника. Тоді кут > 0 у випадку додатної орієнтації трикутника і

0 в іншому випадку.

          За відомою формулою площа трикутника дорівнює : 

S a b sin,                                                        (*)

де a a12 a22,b b12 b22,sin aa21ba222 b1b12a2 b22 . 

1

 

Підставивши ці значення в  рівність (*), маємо:

S 12 a12 a22 b12 b22 a21ba222 b1b12a2 b22 12a1b2 b1a2, a1

тобто S x2 x1y3 y1x3 x1y2 y1, або

x1 y1 1

1 x2 x1 y2 y

S  x3 x1 y3 y1 x2 y2 1

2

x3 y3 1

Якщо орієнтація трикутника А1А2А3 додатна, то > 0 і  S > 0; якщо ж

вона від’ємна, то 0 і  S 0.

 

ВПРАВИ:

№1. Обчислити площу трикутника, вершинами якого є точки: а) А(2;-3), В(3;2) і С(-2;5);

б) М1(-3;2), М2(5;-2), М3(1;3);

в) М(3;-4), N(-2;3) і  P(4;5).

 

№2. Вершинами трикутника є точки А(3;6), В(-1;3),  С(2;-1). Обчислити довжину його висоти, що проведена з вершини С.

 

№3.  Визначити площу паралелограма, вершинами якого є точки А(-2;3), В(4;-

5) і С(-3;1).

 

№4. Вершинами паралелограма є точки А(3;7), В(2;3) і С(-1;4). Обчислити довжину його висот, що проведені з вершини В до вершин  паралелограма  АВСD.

 

№5.  Площа трикутника S=3, двома його вершинами є точки А(3;1) і В(1;-3), а третя вершина С лежить на осі Оу. Визначити координати вершини С.

 

№6. Площа трикутника S=4, двома його вершинами є точки А(2;1) і В(3;-2), а третя вершина С лежить на осі Ох. Визначити координати вершини С.

 

№7. Площа паралелограма S=12;  двома його вершинами є точки А(-1;3) і      В(-2;4). Знайдіть дві інші вершини цього паралелограма за умовою, що точка перетину його діагоналей лежить на осі абсцис.

 

№8. Площа паралелограма S=17;  двома його вершинами є точки А(2;1) і     В(5;-3). Знайдіть дві інші вершини цього паралелограма за умовою, що точка перетину його діагоналей лежить на осі ординат.

 

 

 

pdf
Додано
29 квітня
Переглядів
126
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку