Математична скарбничка. Похідна функції та її застосування  Частина 1. Півненко С.В. 

Робочий зошит для учнів загальноосвітніх навчальних закладів та студентів закладів, що здійснюють загальноосвітню підготовку

Методична розробка включає приклади розвязання, основні теоретичні иатеріали необхідні для застосування навчок відшукання похідної. 

Всі наведені матеріали – власна розробка автора. Завдяки наочним акцентам сприяє кращому розумінню та засвоєнню даної теми

Матеріал розташований на 14 сторінках

           

ПОХІДНА ФУНКЦІЇ. ПРАВИЛА ОБЧИСЛЕННЯ ПОХІДНИХ.ТАБЛИЦЯ ПОХІДНИХ

 𝑢  стала 

 𝜗^′

 𝜗^′

 𝑢′ 

                   Степеневі                     Показникові                  Тригонометричні

𝑐^′    𝑎   (sin 𝑥)’ = cos x 𝑥^′       𝑒^𝑥    (cos𝑥)’= - sin x

                             Логарифмічні                    (𝑡𝑔 𝑥)^′ =  

𝑐𝑜𝑠𝑥

                                                                                                    ^′ = 1                     (ctg 𝑥)^′ = −

                                             𝑥                      (ln𝑥)

                                                                                                             𝑥                                                  𝑠𝑖𝑛𝑥

                            ′                                                                                   

(log_𝑎 𝑥)^′ =    Обернені тригонометричні x  𝑎

(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥)

(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥)

 

Приклад 1^𝟏

 

  

 

Знайти похідні:

 ′

(𝑥⁴)^′ = ________            (𝑥⁻³)^′ = ________                 ________

               (𝑥¹²)^′ = _______            (𝑥⁻¹²)^′ = _______                   ^′ _______

    

 

                                                                                                 ′                                                                                      ′

 

 

Знайти похідні:

(4𝑥³ − 12𝑥²)^′ =

                        ^{5    ′}

(6𝑥10 − 𝑥₅) =

2 ′

(6√𝑥 −     ) =

𝑥

 (7𝑥

⁸ − 𝑥9₉)′ = 

(3  𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥)^′ = 

′

(11𝑥) = 

(4  𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 2 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 3𝑡𝑔 𝑥)^′ = 

Приклад 3

 (𝑙𝑛 𝑥)′ = 𝟏𝒙 ; (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥)′ = 𝑥 𝑙𝑛1 𝑎 ; (𝑙𝑜𝑔3 𝑥)′ = 𝑥 𝑙𝑛

 

 

 Обчислити  похідні:

(3 ln 𝑥)^′ =

(log₂ 𝑥)^′ = 

′

(log_0,3 𝑥) =  

(3 log₂ 𝑥 − 5 ln 𝑥)^′ =   

 

 

 

в) Похідна добутку та частки двох функцій

 𝜗′

𝑢

 

                             𝜗                     𝜗

 

𝑢 = 3𝑥 + 5                             𝜗 = 5𝑥² − 1

𝑢’(𝑥) = 3                                𝜗^′(𝑥) = 10𝑥

′

 𝝑′

 𝟏𝟎𝒙  𝟏𝟓𝒙^𝟐  𝟑𝟎𝒙^𝟐 + 𝟓𝟎𝒙

 𝟒𝟓𝒙^𝟐  𝟓𝟎𝒙  𝟑

 

                           𝑢

Обчислити похідні функцій:

 

 

𝑥 𝑥

  

 

   

𝑥𝑥

 

𝑥

 

 

 (3𝑡𝑔 𝑥  

 

 

 

Похідна складної функції

′

 𝜑′

Проста функція Складна функція 1   𝑡           𝑥 𝑡   𝑡𝑛 𝑡𝑔 𝑒𝑡 𝑒  𝑡   𝑡𝑔 𝑡 𝑡𝑔  𝑥  𝑡 ln(5𝑥2 − 6𝑥) 𝑡  𝑥

 

 

Приклад 1             𝑦  

𝑦′    ′  [                            𝑡′       ]

𝑥

 𝑥

 

( мал.)

 

 

Обчислити похідні заданих функцій:

 

𝑦   

𝑦′  

𝑦^′   

𝑦′  

𝑦^′ = (sin(18𝑥 − 3))^′ =  𝑦^′ = (ln5𝑥)′ =  𝑦^′ = (sin(22𝑥 − 4))^′ = 

                                        ^𝑥               ′

             𝑦^′ = (sin(      − 3) = 

2

^𝑥    ′ 𝑦^′ = (arcsin (4 − )) = 

7

′

𝑦^′   

′

𝑦^′ = () =

           

Завдання 2  

   Обчислити похідні складних функцій:

 

𝑥2

1)                    𝑦 = 𝑠𝑖𝑛  

1−𝑥

2)                    𝑦 = cos(5𝑥³ − 6)

3)                    𝑦 = 𝑙𝑛 √𝑡𝑔 𝑥  

𝑥

4) 

𝑥

₅₎ 𝑦 = √1−sin 𝑥 1+sin 𝑥

𝑥

6) 

𝑥

1 7) 𝑦 = ln 𝑡𝑔 cos ₃2

_√𝑥

₈₎ 𝑦 = 𝑒𝑠𝑖𝑛 (5𝑥³−6𝑥²+3)

9)  

 

 

Завдання для роботи в групах (peer2peer)

High level (I)

Обчислити похідну функції:

𝒙𝟑

а)𝒚

𝒙 𝟑

𝟏𝟏𝒙^𝟏𝟎−𝟔𝒙^𝟓

           б)𝒚 = 𝟏𝟐𝟏𝒙_𝟏𝟐

𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝒙−𝟓 𝐜𝐨𝐬 𝒙

в)𝒚 =  

𝐜𝐨𝐬 𝒙

 

г) 𝒚 = 𝟑𝒆^𝒙(𝟏 − 𝒙^𝟑)

 

 

д) у  𝒔𝒊𝒏^𝟑𝒙)

𝐥𝐧(𝟓𝒙−𝟏)

            е) 𝒚 =               

            є) 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧            

 

ж) Розвязати рівняння: 𝒚^′′ − 𝟑𝒚^′ = 𝟎,

 якщо 𝒚 = 𝟓𝒙^𝟑 − 𝟔𝒙^𝟐 + 𝟑

           

 

 

             г) 𝒚 = 𝒙^𝟑 ∙ 𝒔𝒊𝒏^𝟐𝒙                        

д) 𝒚 = (𝒙^𝟓 − 𝒙^𝟐) ∙ 𝐥𝐧 𝒙

𝒙^𝟐−𝟑

е) 𝒚 = 𝟒+𝒙_𝟐

 

𝑥3

є) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 1−𝑥₂

 

 

 

ж)Розв’язати рівняння 𝑦^′ − 3𝑦 = 0, якщо 𝑦 = 5𝑥² − 3𝑥  

           

Low level (III)

Обчислити похідну функції: 

а) 𝒚 = 𝟓𝒙^𝟐 − 𝟒𝒙^𝟑 + ^𝟑

𝒙 𝟏

           б) 𝒚                  

𝒙

в) 𝒚 = 𝟏𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝟑

 

г) 𝒚 = 𝒙^𝟒 ∙ 𝒆^𝒙

д) 𝒚  

е) 𝒚 =  

𝟏+𝒙

 

𝒙

є) 𝒚 = 𝟓 𝐜𝐨𝐬 ( + 𝟑)

𝟓

 

 

ж) Розв’язати рівняння 𝒚^′ = 𝟎,

 якщо 𝒚 = 𝟑𝒙^𝟐 − 𝟏𝟔𝒙^𝟑   

 

Super low level (IV)

Обчислити похідну функції: 

 

а) 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙^𝟐

б) 𝒚 = 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝒙 − 𝟐

в) 𝒚 = 𝒙^𝟏𝟎 − 𝟓𝒙^𝟓  

г) 𝒚 = 𝒆^𝒙 − 𝟓^𝒙

 

 

 

д) 𝒚 = 𝒆^𝒙 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝒙

𝟒𝒙^𝟐

е) 𝒚 =  

𝐜𝐨𝐬𝒙

 

є) 𝒚 = 𝒆𝟓𝒙−𝟑

 

ж) Розв’язати рівняння 𝒚^′ = 𝟎, якщо 𝒚 = 𝟓𝒙^𝟐 − 𝟏𝟎𝒙