Поняття площі. Основні властивості площі. Площа прямокутника

Геометрія, 8 клас. Поняття площі многокутника. Площа прямокутника

Цілі:формування предметних компетентностей: сформувати поняття площі многокутника; домогтися засвоєння властивостей площ та засвоєння теореми про площу прямокутника; сформувати вміння розв’язувати задачі, які передбачають застосування означення та властивості площі многокутника та на обчислення площі прямокутника;формування ключових компетентностей: сприяти усвідомленню власних освітніх потреб та цінності нових знань і вмінь; формувати вміння відбирати й використовувати потрібні знання для досягнення мети; сприяти самовихованню впевненості в собі, у своїх знаннях.

План Поняття площі многокутника. Що означає виміряти площу прямокутника? Означення рівновеликих многокутників. Теорема про площу прямокутника. Наслідок із теореми про площу прямокутника.

Вимірювання площ — одна із найбільш ранніх задач, поставлених життям. Практична необхідність вивчення площ фігур: Для розрахунку кількості фарби, шпалер, кахля, клею – площі поверхні стін, підлоги. Для розрахунку кількості асфальту – площі поверхні доріг. Наведіть свої приклади використання площ в побуті і на виробництві.

Установити точно, коли вперше людині знадобилося визначати площу і якої саме фігури, неможливо. У Давньому Єгипті, Вавилоні та Індії люди незалежно одне від одного знаходили способи визначення площ.

Ще 4000 років тому в Єгипті вміли визначати площу. Вузька смужка землі між Нилом і пустелею була родючою. З кожної її одиниці люди платили податок. Але щорічно ця смужка затоплялася Нилом. Після спаду води треба було відновлювати межі.

Брамагу́пта Евклід. Архімед. Архімед першим знайшов формулу для обчислення площі трикутника яку згодом було названо формулою Герона. Правильно знаходив Архімед також площі круга, площі поверхонь і об'єми циліндра, конуса і кулі.

Площа многокутника – це частина площини, яку займає многокутник. Внутрішня область. Многокутник розбиває площину на дві області – внутрішню і зовнішню

Властивості площ: S1 = S2 S1 S2 S3 S = S1 + S2 + S3

Виміряти площу многокутника – означає порівняти його площу з площею одиничного квадрата. У результаті отримують числове значення площі поданого многокутника, яке показує, у скільки разів площа поданого многокутника відрізняється від площі одиничного квадрата.

Метричні одиниці 1 км² = 1 000 000 м²;1 га = 10 000 м²;1а = 100 м²;1 см² = 0,0001 м²;1 мм² = 0,000 001 м². Британські/американські одиниці1 in² = 0,000645 м²; (дюйм)1 ft² = 144 in² = 0,09 м² (фут);1 yr² = 9 ft² = 0,84 м²; (ярд)1 миля кв. = 2589987,83 м² = 2,59 км². Стародавні одиниціМорг (Середньовічна Європа), найчастіше 1 морг = 0,57 га = 5700 м² (прусський морг — 0,2553 га)Дунам (Османська імперія), 1 дунам = 919,3 м²Арура (Стародавній Єгипет), 1 арура = 2735,29 м²Плефр (Візантія), 1 плефр = 1261,9 м²Унція (Римська імперія), 1 унція = 209,91 м²Югер (Римська імперія)), 1 югер = 12 унцій = 2519 м²Центурія (Римська імперія), 1 центурія = 200 югерів = 503800 м². Одиниці вимірювання площ

Многокутники, які мають рівні площі, називають рівновеликими.

У квадратних сантиметрах, наприклад, вимірюють площу зошита, поверхні стола

У квадратних метрах можна виміряти площу кімнати

Площі невеликих ділянок землі вимірюють в арах (сотках), а великих — у гектарах.

У квадратних кілометрах вимірюють площі країн, областей, водоймищ тощо

Наприклад, площа України становить шістсот три тисячі шістсот двадцять вісім квадратних кілометрів (площа України — 603 628 км2)

Щоб знайти площу многокутника, можна поділити його на геометричні фігури, площі яких можемо знайти

Теорема про площу прямокутникаавдовжинаширина. Площа прямокутника дорівнює добутку його сусідніх сторін: S= a ·b, де a і b – сторони прямокутника. S= a ·b

Наслідок із теореми про площу прямокутникаа. Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони: 𝑺=𝒂𝟐, де a – сторона квадрата  

Розв’язання: Дано: 𝑆кв.=4 см2 𝑎кв. - ? 𝑆кв.=𝑎кв.2 𝑎кв.=𝑆=4 =2 ( см) 2) Дано: 𝑆кв.=25 дм2 𝑎кв. - ? Розв’язання:𝑆кв.=𝑎кв.2 𝑎кв.= 𝑆=25=5 (дм) Відповідь: 2 см. Відповідь: 5 дм

Дано:𝑆кв.=𝑆прямок., 𝑎кв.=4 см,  𝑎прямок.= 2 см. Знайти:  𝑏прямок. Розв’язання:𝑆кв.=𝑎кв.2=42=16см2.𝑆прямок.=𝑎∙𝑏= 2∙𝑏Оскільки за умовою: 𝑆кв.=𝑆прямок., то 2∙𝑏 = 16 𝑏=16 :2 b= 8 (см)Відповідь: 8 см.  

аа. Площа квадрата дорівнює півдобутку квадрату його діагоналі

Дано: 𝑑кв.=8 см 𝑆кв. - ? Розв’язання:𝑆кв.=12∙𝑑кв.2=12∙8 = 4 (см2) Відповідь: 4 см2 2) Дано: 𝑑 см – діагональ квадрата 𝑆кв. - ? Розв’язання:𝑆кв.=12∙𝑑кв.2=12∙𝑑 (см2) Відповідь: 12𝑑 см2 

Дано: 𝑎кв.1=15 см𝑎кв.2=17 см𝑆кв.3=𝑆кв.2−𝑆кв.1 Знайти: 𝑎кв.3 Розв’язання:𝑆кв.3=𝑆кв.2−𝑆кв.1=𝑎кв.22− 𝑎кв.12=172−152=289−225=64 см2𝑆кв.3= 𝑎кв.32, ⇒ 𝑎кв.32= 64 см2 , ⇒ 𝑎кв.3=64 см= 8 см. Відповідь: 8 см.𝑆кв.3 𝑆кв.2 𝑆кв.1 15 см 17 см 𝑎кв.3 

Дано: ABCD – прямокутник AB: BC=3:4𝑆АВС𝐷=108 см2 Знайти: 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 Розв’язання: ABCDНехай k – коефіцієнт пропорціності, тоді AB=3k, BC=4k. Оскільки 𝑆АВС𝐷 = AB·BC, то 𝑆АВС𝐷 = 3k · 4k = 12𝑘2 108 см2 = 12𝑘2 𝑘2 = 108 :12 𝑘2 = 9 k=3 AB=3·3=9 (см), BC=4·3=12 (см). Відповідь: 9 см, 12 см. 

ABCDДано: ABCD – прямокутник AМ – бісектриса ∠ DAB 𝐵𝑀=3 см, МС= 5 см Знайти:  𝑆АВС𝐷 М3 см5 см. Розв’язання:𝑆АВС𝐷=АВ·ВСВС=ВМ+МС=3 см + 5 см = 8 см. За властивістю прямокутника: ВС ‖ AD. Якщо ВС ‖ AD, АМ – січна, то ∠МАD= ∠АМВ (як внутрішні різносторонні);∠ВАМ= ∠МАD (оскільки AМ – бісектриса ∠ DAB).  ∠ВАМ= ∠АМВ. Розглянемо трикутник АВМ :𝐵𝑀=3 см (за умовою)∠ВАМ= ∠АМВ (за побудовою) ∆АМВ – рівнобедрений. ВМ=АВ=3 см. Отже, 𝑆АВС𝐷=АВ·ВС=3 см · 8 см = 24 см2   Відповідь: 24 см2. 

Дано: ABCD – прямокутник ВС = АВ+3 см. АС- діагональ ABCDАС = 15 см. Знайти:  𝑆АВС𝐷 ABCDРозв’язання:𝑆АВС𝐷=АВ·ВС Розглянемо ∆АВС: ВС = АВ+3 см (за умовою)АС = 15 см (за умовою)∠В=90° (за властивістю прямокутника)⇒за теоремою Піфагора: АС2=АВ2+ВС2 АС2=АВ2+(АВ+3)2 АС2=АВ2+АВ2+6 АВ+9 АС2=2 АВ2+6 АВ+9152=2 АВ2+6 АВ+9225=2 АВ2+6 АВ+92 АВ2+6 АВ−216=0 АВ2+3 АВ−108=0 Застосувавши теорему Вієта: АВ=9 або АВ= - 12 (не підходить), тоді ВС = АВ+3 см = 9 см +3 см= 12 см. 𝑆АВС𝐷=АВ·ВС=9 см· 12 см = 108 см2.  Відповідь: 108 см2. 

Домашнє завдання:

3. Сторони прямокутника дорівнюють 2 м і 8 м, а одна зі сторін іншого прямокутника 5 м. Чому дорівнює друга сторона, якщо площі цих прямокутників рівні?4. Знайди сторони прямокутника, якщо вони відносяться як 2:3, а площа прямокутника дорівнює 54 кв.см.5. Визнач, скільки рулонів шпалер потрібно прибати, щоб обклеїти ними твою кімнату. Довжина рулону 10 м, а ширина: а) 0,5м; б) 1 м. Домашнє завдання:

Дякую за увагу!