Посібник для учнів та вчителів

Комбінаторика

11 клас

               Підготувала Васильєва М.В.

                                                   Вчитель математики

                                                   Галаганівська НВК

 2018р.

План

1.Приклади множин.

2.Скінченні і нескінченні множини.

3.Порожня множина.

4.Переріз множин.

5.Обєднання множин.

6.Різниця множин.

7.Доповнення множин.

8.Види сполук.

9.Що вивчає комбінаторика?

10.Де застосовується комбінаторика?

11.Перестановки.

12.Розміщення.

13.Комбінації.

14.Розвязання комбінаторних задач.

Перестановки: Pₙ=n! (1)

1.Обчислити:

А)P₄   ;               Б)P₈ ∕ P₆ ;           В) P₈-P₇ ∕ 7P₇  ;

Г) P₅+P₄ ∕ P₃;      Д) P₆-P₄ ∕ P₃ ;     Е) P₁₂-P₁₀ ∕ P₁₀.

Подумай і скажи:

2.Вінні-Пух, Пятачок і Сова збиралися на день народження до Віслюка Іа і почали вирішувати, в якому порядку вони будуть вручати подарунки. Скільки можливих варіантів у них є?

3.Мама коза пішла по молоко, а семеро козенят почали гратися у «потяг». Але засперечалися, в якому порядку їм їхати. Тоді вони вирішили перепробувати всі можливі випадки. Скільки часу вони витратять, якщо кожний новий «потяг» буде їхати рівно одну хвилину?

Розміщення:Aⁿₘ=m(m-1)(m-2)…(m-n+1)                             (2)

1.Обчислити:

А)A₆⁴;         Б) A₇⁵;      В)  A₈⁶ ; 

 Г)A₈⁴ ∕ A₅³;      Д)A₅³-A₇⁴ ∕ A₆³.

2.Розвязати рівняння:

А)A²ₓ=42; Б)Aₓ³=56x; В)Aₓ₊₁²=30;

3.Тітонька Поллі наказала Тому Сойєру пофарбувати паркан біля будинку, який складається з чотирьох секцій. Він вирішив пофарбувати кожну секцію  у свій колір і замислився, у які кольори, і в якому порядку це зробити. Скільки варіантів фарбування є, якщо  у Тома шість фарб різного кольору?

Комбінації:                                                                            (3)  

Перетворимо цю формулу, використавши формули 2 і 1.

.

.      (4)

Властивості комбінацій

1. 
2. .
3. .

1.Обчислити:

 А)C₆²;   Б) C₈³; В) C₁₁⁴;  Г)C₁₀₀⁹⁸;   Д) C₂₀¹⁷.

2.Розвязати рівняння:

1)Cₓ̱₋₃³=21

2)Cₓ³+Cₓ²=15(x-1)

3)5Cₓ³=Cₓ₊₂⁴

    Задачі:

1.Скількома способами можуть розміститися 4 пасажири в чотиримісній каюті?

2.У пасажирському поїзді 10 вагонів. Скількома способами можна розставляти ці вагони, складаючи поїзд.?

3.Скільки перестановок можна зробити з букв слова «Лиманець»?

4.Скільки різних трикольорових прапорів можна зробити комбінуючи синій, червоний, білий?

Скільки семицифрових чисел можна утворити за допомогою семи різних цифр, відмінних від нуля?

6.Скільки пятицифрових чисел  можна утворити за допомогою цифр 0,1,2,3,4?

7.Серед перестановок з цифр 1,2,3,4,5 скільки таких, що не починаються цифрою 5?числом 12? Числом 123?

8.Скількома способами можна розподілити 5 посад між пятьма особами, обраними в раду спортивного товариства?

9.Скільки різних трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 1,2,3,4,5 без повторень?

10. .Скільки різних трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 0,1,2,3,4, без повторень?

11.Скільки може бути випадків під час вибору 2 олівців і 3 ручок з 5 різних олівців і 5 різних ручок?

12.З скількох елементів можна скласти 56 розміщень по два елементи у кожному?

13.Скільки діагоналей має опуклий  n-кутник?

14.Скількома способами можна розподілити 4 путівки до санаторію між 25 особами?

15.З ящика , в якому 15 куль, пронумерованих послідовно від 1 до 15, треба вийняти  три кулі. Визначити число можливих комбінацій номерів при цьому виборі?

16.Скільки прямих ліній можна провести через  8 точок , з яких жодні три не лежать на одній прямій?

17.Скількома способами можна обрати з 15 чоловік делегацію на зїзд в кількості три чоловіка?

18.На зборах присутні 40 чоловік. Скількома способами можна обрати голову , секретаря та його замісника з цієї кількості учасників зборів?

19.Скількома способами з 4 інженерів та 10 робітників можна утворити бригаду, яка б складалася з двох інженерів і пяти робітників?

20.Скількома способами можна розподілити уроки в шести класах між трьома вчителями, якщо кожний вчитель викладатиме у двох класах?

21.З 15 солдат потрібно 3 відправити у розвідку. Скількома способами можна це зробити?

Запитання і завдання:

1.Навести приклад множини

2.Множина, яка містить скінченну кількість елементів…

3.Множина,  у якій  має значення порядок елементів…

4.Множина, у якій немає жодного елементу…

5.Множина С, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать кожній з даних множин А і В і тільки зних…

6.Різниця двох множин А і В –це така множина, яка складається…

7.Які є види сполук?

8.Pₙ=…

9.Aₙᵐ=…

10.Cₙᵐ=…

11.Розділ математики ,який вивчає сполуки…

12.Де застосовується комбінаторика? При  розвязанні якого питання у школі використовується комбіноторика?