Ківерцівська експериментальна школа

 

 

 

 

 

 

 

 

Навчальний посібник

 

 

 

 

І семестр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шановний десятикласнику!

 

 Ти продовжуєш вивчати одну з найдавніших і найважливіших наук – математику. Курс математики 10 класу складається з двох частин – алгебри та геометрії. В оволодінні навчальним матеріалом геометрії тобі допоможе цей посібник. Він складається з двох блоків, кожен з яких містить уроки розбору матеріалу блоку, уроки фронтального опрацювання матеріалу, уроки внутрішньопредметного узагальнення. Також посібник містить завдання по підготовці до індивідуального опрацювання матеріалу, які позначені значком                   .

 

Будь уважний, активний і наполегливий, не лінуйся і таким чином принесеш радість собі, своїм батькам і Творцю.

Нехай Бог посилає мудрості у вивченні алгебри!!!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема №1. Аксіоми стереометрії. Паралельність прямих у просторі. Паралельність прямої і площини

Урок №1 

 

Аксіоми стереометрії. Паралельність прямих у просторі. Паралельність прямої і площини

Математик, подібно до художника чи поета, -

творець форм… Перше випробування – краса.

Г. Харді

Питання

1. Основні поняття, аксіоми стереометрії
2. Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії
3. Взаємне розміщення прямих у просторі
4. Властивості і ознака паралельності прямих
5. Розміщення прямої та площини у просторі

 

Література

Істер О.С. Математика: (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту): Підручник для 10 класу закладів загальної середньої освіти. Київ: Генеза, 2018 рік, розділ Геометрія, §§1 – 2, 4, стор. 224 – 248, 259 – 267.

1. Основні поняття, аксіоми стереометрії та найпростіші наслідки із них
1.1	Стереометрія – це розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур у просторі.
1.2	Основними фігурами стереометрії є  точка, пряма і площина.
1.3	Яка б не була площина, існують точки, які їй належать, і які їй не належать.
1.4	. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то й кожна точка цієї прямої лежить у даній площині.
1.5	Якщо дві різні площини мають одну спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку.
1.6	Через будь – які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну.
2. Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії
2.7	Наслідок 1. Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести площину, і до того ж тільки одну.
2.8	Наслідок 2. Через дві прямі, що перетинаються можна провести площину і до того ж тільки одну.
2.9	Площину можна задати: трьома точками, що не лежать на одній прямій; прямою і точкою, яка не лежить на ній; двома прямими, що перетинаються.
3. Взаємне розміщення прямих у просторі
3.10		Якщо дві прямі у просторі мають одну спільну точку, то кажуть, що вони перетинаються.			a                                 A                b
3.11		Прямі, які лежать в одній площині і не перетинаються, називаються паралельними.
3.12		Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіжними.
4. Властивості і ознака паралельності прямих
Властивості паралельних прямих
4.13		Теорема Основна властивість паралельних прямих у просторі Через точку простору, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну.
4.14		Якщо прямі паралельні, то: 1) внутрішні різносторонні кути, утворені цими прямими і січною, рівні; 2) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°; 3) відповідні кути рівні;  і навпаки, якщо дві прямі перетнуто січною і: 1) внутрішні різносторонні кути, утворені при цьому, рівні, то ці прямі паралельні; 2) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то ці прямі паралельні; 3) відповідні кути рівні, то ці прямі паралельні.			1) ; 2) ; 3)
4.15		Теорема Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то і друга пряма перетинає цю площину.
4.16		Теорема Ознака паралельності прямих Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.
4.17		Теорема Ознака мимобіжних прямих Якщо одна з двох прямих лежить у деякій площині, а друга пряма перетинає цю площину у точці, що не належить першій прямій, то ці прямі – мимобіжні.
5. Розміщення прямої і площини у просторі
5.18			Якщо пряма має з площиною безліч спільних точок, то кажуть, що вона належить площині.
5.19			Якщо пряма має з площиною лише одну спільну точку, то кажуть, що вони перетинаються.
5.20			Якщо пряма і площина не мають спільних точок, то вони називаються паралельними.
5.21			Теорема Ознака паралельності прямої і площини Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій – небудь прямій в цій площині, то вона паралельна і самій площині.
5.22			Теорема Обернена до ознаки паралельності прямої і площини Якщо дана пряма паралельна площині, то в цій площині знайдеться пряма, паралельна даній прямій.
5.23			Наслідок. Якщо пряма паралельна площині, то через будь-яку точку цієї площини можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

 

Урок №2 

І все, що тільки чините, робіть від душі,

немов Господеві, а не людям!

Послання до колосин 3:23

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Основні поняття стереометрії. Аксіоми стереометрії та наслідки з них

 

І. Робота над засвоєнням термінів, понять і правил

Завдання 1.

Повторіть тези 1.1. – 2.9 блоку №1 і дайте відповіді на запитання:

1. Назвіть основні фігури стереометрії.
2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то ________, що проходить через цю точку.
3. Через пряму і точку, _________, можна провести площину, і до того ж тільки одну.
4. Через три точки, які ________, можна провести площину, і до того ж тільки одну.
5. Скільки площин можна провести через точки А, В, С? Відповідь обґрунтуйте.
6. Дайте визначення стереометрії.

Завдання 2.

Усно дайте відповіді на питання:

1. На рисунку зображено куб . Вкажіть точку, яка належить площині і точку, яка не належить площині .

2. На рисунку зображено чотирикутну піраміду . Укажіть пряму, по якій перетинаються площини .

 

 

3. На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед . Укажіть пряму, яка належить площині .

 

 

 

 

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач, застосування правил

 

Завдання 3.

Письмово розв’язати вправи:

1. Площини перетинаються по прямій . У площині проведено пряму , яка перетинає площину . Доведіть, що точка перетину прямої  і площини належить прямій .
2. Прямі АD і ВС не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АС і ВD не лежать в одній площині.
3. Доведіть, що через дві довільні точки можна провести хоча б одну площину.
4. Через три точки можна провести дві різні площини. Як розташовані ці точки?
5. Площини перетинаються по прямій . Доведіть, що існує ще одна площина, відмінна від площин , яка містить пряму с.

 

 

 

Урок №3 

 “Коли добре щось умієте – того

не забувайте, а чого не вмієте – того учітесь…”

 Володимир Мономах

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Аксіоми стереометрії

 

І. Робота над засвоєнням термінів, понять і правил

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 2.9 блоку № 1.
2.  Дайте відповіді на питання:

1. Як можна задати площину?
2. Яке мінімальне число точок визначає пряму в просторі?
3. Чи можуть дві площини мати тільки одну спільну точку?
4. Скільки площин можна провести через одну пряму?
5. Скільки площин можна провести через пряму і точку?
6. Як розміщені пряма а і точка А , якщо через них можна провести дві різних площини?
7. П’ять точок не лежать в одній площині. Яке найбільше число цих точок може лежати на одній прямій?

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування вправ, застосування правил

Завдання 2.

Усно виконайте вправи:

1. Скільки площин можна побудувати через виділені елементи?

 

2. Виконайте усно вправу 1.7 на ст. 232.

 

Завдання 3.

1.          Користуючись даним малюнком назвіть:

2.          Площини α та  β перетинаються по прямій b. Пряма а лежить у площині α та перетинає площину β у точці М. Доведіть, що точка М лежить на прямій b.              

 

Підказка до рішення задачі

Заповніть пропуски:

1) М α, М а,  α ∩ β = b (за умовою)

2) Тоді, М … (якій площині?).

3) Отже, М – спільна точка … (яких площин?);

4) А значить, М b (чому ? за якою аксіомою?)

 

3.          Виконати письмово вправи 1.25, 1.33, 1.51 ст. 233

Готуємось до індивідуального опрацювання

1. Скільки різних площин можна провести через точки А, В і С, якщо вони не лежать на одній прямій?
2. Зобразіть куб . Вкажіть пряму, по якій перетинаються площини і .
3. Дано пряму а і точку А поза нею. Доведіть, що пряма с, яка проходить через точку А і перетинає пряму а, лежить із ними в одній площині.
4. Прямі АD і ВС не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АС і ВD не лежать в одній площині.

 

 

Урок №5 

«Геометрія — це інтуїція»

Г. Гельмгольц

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Розміщення двох прямих у просторі

 

І. Робота над засвоєнням термінів, понять і правил

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 3.12 блоку №1.
2. Дайте відповідь на питання:

1. Назвіть основні поняття стереометрії.
2. Стереометрія – це …
3. Як зображають площину?
4. Назвіть три способи задання площини.
5. Як можуть бути розміщені прямі у просторі? Дайте визначення кожному розміщенню.

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок, застосування правил

Завдання 2.

Користуючись рисунком, визначте взаємне розміщення прямих i заповнiть таблицю.

Прямі	AB	BB1	A1D1
MN
C1A1
C1B1

 

 

 

 

 

 

Завдання 3.

Допишіть розв’язування задачі:

Дано чотири точки, що не лежать в одній площині. Скільки можна провести різних площин, які проходять через три з цих точок. Відповідь поясніть.

Нехай точки А, В, С, D не лежать … Ці точки і                          ніякі три з них … на одній прямій (чому?), тому кожна із чотирьох можливих трійок точок: А,В,С; …;…; …;  визначають ….                                                             Ці чотири площини різні. Відповідь: _____________

 

 

Завдання 4.

1. Точки А, В, С і D не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АВ і СD мимобіжні.
2. Прямі паралельні. Через точку М, що не належить цим прямим, проведено пряму, яка перетинає прямі . Чи лежать прямі та точка М в одній площині?
3. Точки M, N, P i Q – середини відрізків BD, CD, AB i AC відповідно, AD=16 см, ВС=18 см. Знайдіть периметр чотирикутника MNQP.

 

 

Уроки №6, 7 

Природа і життя людини формулює

власні закони мовою математики

                                           Г.Галілей

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Властивості паралельних прямих. Ознака паралельності прямих у просторі

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторити тези 1.1 – 4.17 блоку №1.
2. Продовжи речення:

1. Властивості основних геометричних фігур виражаються…
2. Основними фігурами стереометрії є…
3. Якщо дві прямі не мають спільних точок і не лежать на одній площині, то вони…
4. Через дві мимобіжні прямі можна провести  площину …
5. Систему координат на площині увів…
6. Єдину площину можна провести через…
7. Властивості паралельних прямих на у просторі …
8. Скільки  середніх ліній в трикутнику, а в трапеції?
9. Які взаємні розміщення прямих на площині ви знаєте?
10. Сформулюйте ознаку паралельності прямих у просторі.
11. Сформулюйте ознаку мимобіжних прямих.

Завдання 2.

Чи правильно що:

1. Якщо дві прямі лежать в одній площині, то вони не мимобіжні?
2. Якщо дві прямі не перетинаються, то вони паралельні?
3. Дві прямі завжди лежать в одній площині?
4. Якщо пряма у просторі перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона обов’язково перетинає другу паралельну пряму?

 

Завдання 3.

1. Прямii перетинаються. Як можуть бути розташовані прямі i , якщо прямi i:

а) паралельнi;

б) перетинаються;

в) мимобiжнi?

2. Прямi a i b паралельнi. Як можуть бути розташовані прямі b i c,якщо прямі a i c:

а) паралельнi;

б) перетинаються;

в) мимобiжнi?

3. Прямi a i b мимобiжнi. Як можуть бути розташовані прямі b i c,якщо прямі a i c:

а) паралельнi;

б) перетинаються;

в) мимобiжнi?

4. Сформулюйте твердження про дві прямi, що не мають спільних точок, яке:

а) правильне в просторi, але неправильне в площинi;

б) правильне в площинi, але неправильне в просторi.

 

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок, застосування правил

Завдання 4.

1. Через точку O перетину діагоналей паралелограма ABCD проведено пряму OK, яка не перетинає його сторін. Доведіть, що прямі OK i BC — мимобіжні.
2. Пряма a, що паралельна прямiй b, перетинає площину α. Пряма c паралельна прямiй b. Чи може пряма c лежати в площинi α?
3. Ромб AMND і трапеція ABCD з основою ВС не лежать в одній площині. Визначте взаємне розміщення прямих MN i BC. Знайдіть площу ромба, якщо MN=5см, ВС=3 см, а висота ромба дорівнює середній лінії трапеції.
4. Сума двох із восьми кутів, які утворились при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 82°. Знайдіть кожний з восьми кутів.

 

 

Завдання 5.

1. Зобразіть куб . Серед наведених пар прямих вкажіть: 1) пару паралельних прямих; 2) пару мимобіжних прямих.                                                                                                                 а) АВ і ВС;          б) ВD і ;    в) і;     г) ВD і ;     д) .
2. Зобразіть чотирикутну піраміду SABCD (ABCD – квадрат). Серед наведених пар прямих вкажіть: 1) пару паралельних прямих; б) пару мимобіжних прямих.                                                                            а) SA і АС;          б) SA i АB;         в) SC і BD;           г) SA і АD;       д) ВС і AD.
3. Дано куб . Доведіть, що прямі паралельні.
4. Через кінець А відрізка АВ проведено площину α. Через кінець В і точку С цього відрізка проведено паралельні прямі, які перетинають площину α відповідно у точка . Знайдіть довжину відрізка АС, якщо
5. Доведіть, що середини сторін просторового чотирикутника є вершинами паралелограма.

 

Завдання 6.

Самостійно виконати індивідуальне завдання, запропоноване вчителем.

 

 

Готуємось до індивідуального опрацювання

1. Через кінці відрізка АВ і його внутрішню точку С проведено паралельні прямі, що перетинають площину в точках відповідно. Знайдіть , якщо .
2. Дано куб . Доведіть, що прямі паралельні.
3. Відрізок АВ не перетинає площину. Через кінці відрізка АВ проведено паралельні прямі, які перетинають площину у точках А₁ та В₁. Через точку С, яка ділить відрізок АВ у співвідношенні АС:СВ = 1:2, також проведено пряму, яка паралельна до прямих АА₁ та ВВ₁. Знайдіть довжину відрізка СС₁, якщо АА₁ = 2 см та ВВ₁=8 см.

 

 

 

 

 

 

 

Урок №9 

«Вивчай  усе не заради

марнославства, а заради практичної користі»

Г. Ліхтенберг

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Паралельність прямої і площини

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повтори тези 5.18 – 5.23 блоку № 1.
2. Усно дай відповідь на питання:

1. Як можуть розміщуватись пряма і площина у просторі?
2. Дайте означення: прямої, яка належить площині; прямої і площини, які перетинаються; паралельних прямої і площини.
3. Як читається ознака паралельності прямої і площини?

 

Завдання 2.

Усно розв’яжи вправи:

1. Дано куб . Встановіть відповідність між заданими прямими (1 – 3) та паралельними їм площинами (А – Г):

 

1  ВС               А  Г 

2  AC               Б 

3.           В
   2. Точка А не належить площині . Скільки існує прямих, які проходять через точку А і паралельні площині ?
   3. Прямі паралельні. Як розміщена пряма відносно площини , якщо пряма :

1. Належить площині ;
2. Перетинає площину ;
3. Паралельна площині .

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок, застосування правил

 

Завдання 3.

Письмово розв’яжи вправи:

 

1. Зобрази трикутну піраміду МАВС. Познач точку К – середину ребра МА. У площині АМС через точку К проведи пряму, паралельну площині МВС.
2. Площина β перетинає сторони АВ і АС трикутника АВС в точках K і L відповідно та паралельна  стороні ВС. Знайди сторону АВ, якщо ВС : КL = 5 : 3, АК = 15 см.
3. Площина α перетинає сторони АВ і АС трикутника АВС у точках М і К відповідно, причому АК : КС = 3 : 2 і МК = 5 см. Знайди довжину відрізка ВС, якщо пряма ВС і площина α паралельні.
4. Виконай вправу 4.18 на ст. 264.
5. Виконай вправу 4.27 на ст. 265.

 

 

Уроки №10, 11  

«Як приємно дізнатися,

що ти чогось навчився»

Ж.  Мольєр

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Властивості прямої, паралельної площині

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

Завдання 1.

1. Повтори тези блоку № 1.
2. Усно дай відповіді на питання:

1. Як можуть бути розміщені прямі у просторі?
2. Які прямі називаються паралельними, а які – мимобіжними?
3. Чи завжди можна провести площину через чотири точки?
4. Які ознаки паралельності прямих у просторі ви знаєте?
5. Як можуть бути розміщені прямі у просторі відносно площини?
6. Яка пряма називається паралельною площині?
7. Як можуть бути розміщені дві прямі, якщо одна з них паралельна площині, а інша – перетинає цю площину?

 

Завдання 2.

Усно виконай вправи:

1. Відомо, що пряма лежить у площині . Поставте до кожної умови (А – В) висновок (1 – 3) про розміщення прямих .

А) Пряма перетинає площину у точці, що не належить прямій

Б) Пряма не перетинає пряму і належить площині

В) Пряма перетинає площину у точці, що  належить прямій

 

 

1) Перетинаються

2) Мимобіжні

3) Паралельні

 

2. Дано трикутник . Площина перетинає сторони у його серединах – точка А  і В відповідно. . Поставте у відповідність кожному елементу трикутника його значення.

А) Довжина

Б) Довжина

В) Довжина

Г) периметр

Д) периметр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) 18 см

2) 46 см

3) 12 см

4) 16 см

5) 23 см

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок, застосування правил

Завдання 3.

Письмово виконай вправи:

1. У трикутнику АВС відрізок DЕ паралельній стороні АС Знайти:

1. АС, якщо ВD = 4, ДЕ = 3, АВ = 12.
2. ВЕ, якщо ВD= 3, АВ=6,6; ВС=5,5.
3. АС, якщо , DE= 15.
   2. Через кінець А відрізка АВ проведено площину , а через кінець В і точку С відрізка АВ проведено паралельні прямі, які перетинають площину у точках . Знайти:

1. , якщо АС = 3 см, АВ = 6 см, см.
2. , якщо , см.
   3. Дано трикутник АВС. Площина перетинає його сторони АВ і ВС відповідно у їх серединах К і М. Довести, що пряма АС паралельна площині .
   4. Точка М не належить площині прямокутника АВСD. Довести, що пряма АВ паралельна площині МDC.
   5. Площина перетинає сторони АВ і АС трикутника АВС у точка М і К так, що  . Довести, що пряма ВС паралельна площині .
   6. Дано трикутник АВС. Площина , яка паралельна прямій АС, перетинає сторону АВ у  точці К, а сторону ВС – у точці М. Довести, що пряма КМ паралельні прямій АС.
   7. Дано трикутник АВС. Площина , яка паралельна прямій АВ, перетинає сторону АС у точці , а сторону АВ – у точці Е. Обчислити:

1. АВ, якщо DC = 8 см, АС = 24 см, АE = 6 см.
2. АE, якщо ,АВ = 15 см.

 

 

 

 

Готуємось до індивідуального опрацювання

1. У трикутнику АВС – середня лінія. Через пряму АС проведено площину , яка не збігається з площиною АВС. Доведіть, що .

 

2. Площина β перетинає сторони АВ і АС трикутника АВС в точках К і L відповідно та паралельна стороні ВС. Знайдіть сторону АС, якщо ВС : КL = 5 : 1, АL = 4 см.

 

3. Дано трикутник АВС. Площина , яка паралельна прямій ВС, перетинає сторону АВ у точці , а сторону АC – у точці М. Обчисли АC, якщо АК = 4 см, АВ = 7 см, МС = 12 см.

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок №13 

«Серед усіх наук, які відкривають шлях до пізнання законів

природи, найвеличнішою є математика»

С. Ковалевська

Внутрішньопредметне узагальнення матеріалу

 

Аксіоми стереометрії. Паралельність прямих у просторі. Паралельність прямої і площини

 

І. Систематизація та узагальнення теоретичних знань

Завдання 1.

1. Повтори блок № 1.
2. Письмово дай відповідь на питання, запропоновані вчителем.      

 

Завдання 2.

Усно виконай вправи:

1. Дано куб . Серед наведених пар

прямих вкажи пару: а) паралельних прямих;  б) мимобіжних прямих.

 

А	Б	В	Г	Д

 

2. Дано чотирикутну піраміду SABCD. Серед наведених прямих    

 вкажи пару: а) паралельних прямих; б) мимобіжних прямих.

 

А	Б	В	Г	Д

 

3. Дано прямокутний паралелепіпед . Визнач

       взаємне розміщення прямих .

А	Б	В	Г	Д
Паралельні	Мимобіжні	Паралельні або перетинаються	Мимобіжні або перетинаються	Паралельні або мимобіжні

 

ІІ. Систематизація та узагальнення практичних умінь та навичок

Завдання 3.

Письмово виконай вправи:

1. Через кінець А відрізка АВ проведено площину α. Через кінець В і точку С відрізка АВ проведено паралельні прямі, які перетинають площину α в точках відповідно. Знайти , якщо = 30 см, АС : АВ = 3 : 14.
2. Дано трикутник МРК. Площина α, що паралельна прямій МР, перетинає сторону МК у точці А, а сторону РК – у точці В. Знайди МР, якщо АВ = 25 см, АК : АМ = 5 : 2.
3. Дано трикутник АВС. Площина, яка паралельна прямій ВС, перетинає сторону АВ у точці К, а сторону АС – у точці М. Обчислити АС, якщо АК = 8 см, АВ = 14 см, МС = 24 см.

Тема №2. Паралельність площин

Урок №1 

Паралельність площин

…щоб слухало мудрості вухо твоє,

своє серце прихилиш до розуму

Приповісті Соломонові 2:2

Питання

1. Паралельність площин.
2. Властивості паралельних площин.
3. Паралельне проектування і його властивості.
4. Зображення фігур у стереометрії.

Література

Істер О.С. Математика: (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту): Підручник для 10 класу закладів загальної середньої освіти. Київ: Генеза, 2018 рік, розділ Геометрія, §§3, 5, стор. 248 – 258, 268 – 276.

1. Паралельність площин
1.1	Дві площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.
1.2	Теорема (ознака паралельності площин) Якщо дві прямі, що перетинаються однієї площини, відповідно паралельні двом прямим, які перетинаються, другої площини, то ці площини паралельні.		Якщо,, то
2. Властивості паралельних площин
2.3	1.Теорема (основна властивість паралельних площин) Через точку, яка не лежить у площині, можна провести площину, паралельну даній площині, і тільки одну.
2.4	2.Теорема Якщо дві паралельні площини перетнути третьою, то прямі їх перетину паралельні.		Якщо то .
2.5	3. Теорема Відрізки паралельних прямих, кінці яких належать двом паралельним площинам, рівні між собою.		Якщо,                ,                                     то
2.6	Взаємне розміщення площин: 1) мають спільну точку – перетинаються по прямій – 2) не мають спільних точок – паралельні –
3. Паралельне проектування і його властивості
3.7	Для зображення фігур у просторі користуються паралельним проектуванням: проектування здійснюється паралельними прямими.		α – площина проекцій, – напрям проектування – проектуюча пряма - проекція точки А на площину α
3.8	Основні властивості паралельного проектування Паралельною проекцією прямої є пряма. Проекцією відрізка є відрізок. Проекцією паралельних відрізків є паралельні відрізки або відрізки, що лежать на одній прямій. Проекції паралельних прямих паралельні між собою або збігаються. Якщо відрізки лежать на одній прямій або на паралельних прямих, то відношення їх проекцій дорівнює відношенню самих відрізків.
4. Зображення фігур у стереометрії
4.9	Паралелограм, квадрат, прямокутник, ромб зображуються паралелограмом.
	Всі види трикутників зображуються довільним трикутником.
	Коло зображується еліпсом
	Всі види трапецій зображуються довільною трапецією

 

 

 

 

Урок №2 

«Не роби ніколи того, що не знаєш.

Але вчись усьому, що потрібно знати,

і тоді будеш вести спокійне життя»

Піфагор

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Взаємне розміщення двох площин у просторі

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

Повторивши тези 1.1 – 2.6 блоку № 2, дай відповіді на питання:

1. Яким може бути взаємне розміщення двох площин у просторі? (Опиши, покажи, обґрунтуй).
2. У якому випадку дві площини називаються паралельними? Такими, що перетинаються?
3. Як через дану точку провести площину, паралельну даній площині?
4. Сформулюй ознаку паралельності площин.
5. Чи має істотне значення в ознаці паралельності площин те, що дві прямі перетинаються?
6. Сформулюй теорему про перетин двох паралельних площин третьою площиною.
7. Сформулюй теорему про відрізки паралельних прямих, які містяться між паралельними площинами.

 

Завдання 2.

Побудуй куб . Назви площину, паралельну:

1. площині ;
2. площині ;
3. площині , де М – середина AD, N–середина DC, K–середина .

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 3.

Письмово виконайте вправи:

1. Точка D не лежить у площині трикутника АВС. Точки М, К, Р – відповідно середини відрізків АВ, АС і AD. Довести, що площини ВСD і MKP паралельні.
2. Дано куб . Довести, що площини i паралельні.
3. Дві паралельні площини перетинають сторону ВА кута АВС у точка Di, а сторону ВС – у точках Е і . Як розташовані прямі ? Відповідь обґрунтувати. Знайти DE, якщо BD= 3 cм, .

 

 

Урок №3 

«Не роби ніколи того, що не знаєш.

Але вчись усьому, що потрібно знати,

і тоді будеш вести спокійне життя»

Піфагор

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Ознака паралельності площин

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторити тези 1.1 – 1.2 блоку № 2.
2. Усно дати відповіді на питання:

1. Яким може бути взаємне розміщення двох площин у просторі? (Опиши, покажи, обґрунтуй).
2. У якому випадку дві площини називаються паралельними? Такими, що перетинаються?
3. Сформулюй ознаку паралельності площин.

 

Завдання 2.

Усно виконати вправи, стор. 271 підручника: 5.4, 5.6.

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 3.

Письмово виконати вправи, стор. 272 підручника: 5.14, 5.16, 5.30, 5.42.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок №4 

«Хто стереже уста свої і язика

свого, той береже від лиха душу свою»

Приповісті Соломонові 20:23

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

 Властивості паралельних площин

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 2.6 блоку № 2.
2. Дайте відповіді на питання графічного диктанту, запропонованого вчителем.

      Якщо твердження правильне, ставите  знак             , якщо неправильне – знак          .

 

Завдання 2.

1. Знайдіть в кабінеті модель двох паралельних площин, які перетинаються третьою площиною.
2. Покажіть лінії перетину цих площин третьою площиною.
3. Що можна сказати про взаємне розташування цих прямих ?
4. Знайдіть в кабінеті модель двох паралельних площин, які перетинають паралельні прямі.
5.  Що можна сказати про відрізки, які відтинають паралельні площини від паралельних прямих ?

 

Завдання 3.

Дивлячись на малюнки, скажіть, якому правилу вони відповідають або сформулюйте свою правило.

             

        

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 4.

1. Площини α і ß  паралельні. У площині α вибрано точки M і N, а в площині ß – точки M₁ і N₁ такі, що прямі ММ₁ і NN₁ паралельні. Знайти довжини відрізків NN₁ і М₁N₁, якщо МN = 5см,           ММ₁ = 6см.
2. Сторона АВ трикутника АВС лежить у площині α. Площина β паралельна площині α і перетинає сторони АС і ВС у точках і відповідно. Знайдіть довжину відрізка , якщо АВ = 12 см, .
3. Побудуйте переріз прямокутного паралелепіпеда площиною, що проходить через точки , які належать відповідно ребрам .

 

 

 

Урок №5 

«Людина, що не знає математики, не здатна ні до яких  інших наук. Більш того, вона навіть не здатна оцінити рівень свого невігластва, а тому не шукає від нього ліки»

Роджер Бекон

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Паралельне проектування, його властивості. Зображення плоских і просторових фігур у стереометрії

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1.          Повторіть тези 3.7 – 4.9 блоку № 2.
2.          Продовжте речення:

1. Паралельне проектування – це…
2. Проекцією правильного трикутника на площину є…
3.  Проекцією тупокутного трикутника на площину є…
4.  Проекцією прямокутної трапеції на площину є…
5.  Проекцією ромба на площину є…
6.  Проекцією кола на площину є…
7.  Проекцією правильного шестикутника на площину є…
8. За допомогою чого здійснюється паралельне проектування?
9. Назвіть основні властивості паралельного проектування.

Завдання 2.

Виконайте усно:

1. Які геометричні фігури можуть бути паралельними проекціями: 1) прямої; 2) двох паралельних прямих; 3) трикутника?
2. Чи можна при паралельному проектуванні прямокутника отримати: 1 )квадрат; 2) трапецію?

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

Завдання 3.

1. Усно виконати вправи, запропоновані вчителем у презентації.
2. Поділіться на 3 групи. За допомогою ліхтариків у ваших мобільних телефонах, виконайте практичне завдання, запропоноване вчителем у презентації.

Завдання 4.

1. Точки є паралельними проекціями відповідно точок А, В, С, які лежать на одній прямій (точка В лежить між точками А і С). Знайдіть відрізок .
2. Трикутник проекція рівнобедреного трикутника АВС (АВ=АС). Побудувати проекцію висоти, бісектриси та медіани трикутника, проведеної з вершини В.
3. Дано проекції вершин трикутника АВС на площину. Побудуйте проекцію бісектриси кута В, якщо .

 

 

 

 

Урок №6 

«Новий Заповіт є найвеличнішою книгою

тепер і в майбутньому для всього світу»

Чарльз Діккенс

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Паралельність площин. Паралельне проектування

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези блоку №2.
2. Дайте відповіді на питання:

1. Які дві площини називаються паралельними?
2. Сформулюйте ознаку паралельності площин.
3. Як можуть розміщуватись площини у просторі?
4. Сформулюйте основну властивість паралельності площин.
5. Якщо дві паралельні площини перетнути третьою, то…
6. Відрізки паралельних прямих, що відтинаються паралельними площинами…
7. Що називають паралельним проектуванням? Які його властивості?
8. Як у просторі зображають правильний трикутник; квадрат; рівнобічну трапецію?

 

Завдання 2.

Усно виконайте вправи:

1. Дано дві паралельні площини α і β. Визначте, скільки в площині α існує прямих, які паралельні площині β.

 

А	Б	В	Г	Д
Жодної	Тільки одна	Жодної або нескінченна множина	Жодної або одна	Нескінченна множина

 

 

 

2. Вкажіть, яка з наведених фігур не може бути проекцією прямокутника:

 

А	Б	В	Г	Д
Квадрат	Паралелограм	Прямокутник	Трапеція	Ромб

 

3. Вкажіть, яка з наведених фігур може бути паралельною проекцією основ трапеції.

 

А	Б	В	Г	Д
Одна точка	Дві точки	Одна пряма	Два відрізки, які перетинаються	Дві прямі

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 3.

1. Зобразіть куб . Яка площина паралельна площині ?
2. Трикутник – проекція рівнобедреного трикутника АВС (АВ = АС). Побудувати проекцію висоти трикутника, проведеної з вершини А.
3. Паралельні площини α і β перетинають сторони кута АВС в точках відповідно. Знайдіть , якщо .
4. Через точку О, що лежить між паралельними площинами, проведено прямі , які перетинають площину α відповідно у точках , а площину β – у точках . Обчислити , якщо .

 

 

 

 

Готуємось до індивідуального опрацювання

1. Зобразіть куб . Яка площина паралельна площині ?
2. Паралелограм – проекція квадрата АВСD. Побудувати проекцію перпендикуляра, проведеного із точки перетину діагоналей квадрата до сторони AD.
3. Паралельні площини α і β перетинають сторони кута АВС в точках відповідно. Знайдіть , якщо .
4. Два промені з початком у точці О перетинають одну з паралельних площин відповідно у точках , а другу – у точках . Обчислити , якщо .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок №8 

«Не роби ніколи того, що не знаєш.

Але вчись усьому, що потрібно знати,

і тоді будеш вести спокійне життя»

Піфагор

 

Внутрішньопредметне узагальнення матеріалу

 

Паралельність площин

 

І. Узагальнення теоретичних знань

 

Завдання 1.

1. Повторіть блок № 2.
2. Письмово дайте відповіді на питання, запропоновані вчителем.

 

ІІ. Узагальнення практичних умінь та навичок

 

Завдання 2.

Усно виконайте вправи:

 

1. Намалюйте прямокутний паралелепіпед . Вкажіть площину, яка паралельна площині .

А	Б	В	Г	Д

 

2. Вкажіть, яка з наведених фігур може бути паралельною проекцією рівнобічної трапеції.

А	Б	В	Г	Д
Ромб	Квадрат	Довільна трапеція	Прямокутник	Довільний трикутник

 

3. Зазначте, як розміщені площина паралелограма АВСD і площина α, якщо діагоналі паралелограма паралельні площині α.

А	Б	В	Г	Д
Паралельні	Перетинаються	Збігаються	Збігаються або перетинаються	Паралельні або збігаються

 

Завдання 3.

Письмово виконайте вправи:

1. Трикутник – проекція рівнобедреного трикутника АВС (АВ = АС). Побудувати проекцію перпендикуляра, проведеного із середини бічної сторони до основи трикутника.
2. Дві паралельні площини α і β перетинають сторону АВ кута ВАС у точках D і , а сторону AC – у точках E і . Знайти DE, якщо
3. Дано дві паралельні площини α і β. Точки А і В належать площині α, а точки С і D – площині β. Відрізки АD і ВС перетинаються в точці S. Знайдіть довжину відрізка СD, якщо АВ = 20 см, АS = 4 см, DS = 2 см.
4. Два промені з початком у точці О перетинають одну з паралельних площин відповідно у точках , а другу – у точках . Обчислити , якщо .

Тема №3. перпендикулярність прямих у просторі. Перпендикулярність прямої і площини

Урок №1 

«Геометрія є пізнання всього існуючого»

Платон

 

Перпендикулярність прямих у просторі. Перпендикулярність прямої і площини

 

Питання

1. Перпендикулярність прямих, прямої і площини.
2. Перпендикуляр і похила до площини.
3. Теорема про три перпендикуляри.
4. Залежність між паралельністю і перпендикулярністю прямих і площин.

 

Література

Істер О.С. Математика: (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту): Підручник для 10 класу закладів загальної середньої освіти. Київ: Генеза, 2018 рік, розділ Геометрія, §§6, 7, стор. 278 – 297.

1. Перпендикулярність прямих, прямої і площини
1.1	Дві прямі, які перетинаються під прямим кутом, називаються перпендикулярними прямими.
1.2	Пряма, яка перетинає площину, називають перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна  до кожної  прямої, яка лежить у площині і проходить через точку перетину.
1.3	Теорема (ознака перпендикулярності прямої і площини) Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна до площини.
2. Властивості взаємно перпендикулярних прямих і площин
2.4	Теорема (про паралельні прямі та перпендикулярну площину) Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої
2.5	Теорема (про паралельні площини і перпендикулярну пряму) Якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних площин, то вона перпендикулярна і до другої
3. Перпендикуляр і похила
3.6	Перпендикуляром, проведеним з даної точки до даної площини, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини.	АH – перпендикуляр H – основа перпендикуляра АM – похила M – основа похилої HM – проекція похилої
3.7	Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називають будь-який відрізок, який сполучає цю точку з точкою площини і не є перпендикуляром.
3.8	Відрізок, який сполучає основи перпендикуляра і похилої, називають проекцією похилої на площину.
3.9	Теорема 1) Довжина перпендикуляра, проведеного з точки до площини, менша за довжину будь-якої похилої, проведеної з цієї самої точки до площини; 2) проекції рівних похилих рівні і, навпаки, похилі, що мають рівні проекції, рівні; 3) з двох похилих більша та, проекція якої більша.
4. Теорема про три перпендикуляри
4.10	Теорема ( про три перпендикуляри) Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до самої похилої.
4.11	Теорема (обернена до теореми про три перпендикуляри) Якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок №2 

«З усіх утрат втрата часу найтяжча»

Григорій Сковорода

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Перпендикулярність прямих у просторі. Перпендикулярність прямої і площини

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1. – 2.5 блоку № 3.
2. Усно дайте відповіді на питання:

1. Які прямі в просторі називаються перпендикулярними?
2. Сформулюйте означення прямої, перпендикулярної до площини.
3. Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої і площини.
4. Сформулюйте властивості взаємно перпендикулярних прямих і площин.
   3. Перегляньте інформацію, надану вчителем у презентації.

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування вправ і задач

 

Завдання 2.

Усно виконайте вправи, стор. 282 підручника: 6.1, 6.2.

 

Завдання 3.

Письмово виконайте вправи, стор. 283 підручника: 6.11, 6.35.

 

Завдання 4.

Письмово виконати вправи:

1. В трикутнику АВС дано, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медіана. Через вершину С проведено пряму СК, перпендикулярну до площини трикутника АВС, причому СК = 12 см. Знайдіть КМ.  
2. Через вершину А трикутника АВС проведено площину, яка паралельна ВС, , , СС₁ = 4, АС₁ =, АВ₁ = , . Знайдіть ВС.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок №3 

«Якщо ти змудрів – то для себе змудрів»

Книга приповістей Соломонових 9:12

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Ознака перпендикулярності прямої і площини

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 2.5 блоку № 3.
2. Дайте відповіді на питання:

1. Які прямі у просторі називаються перпендикулярними?
2. Які пряма і площина у просторі називаються перпендикулярними?
3. Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої і площини.
4. Укажіть в оточуючому просторі моделі площин і прямих, які перпендикулярні.

 

Завдання 2.

1. Назвіть усі ребра куба, які перпендикулярні до ребра
2. Доведіть, що пряма, яка проходить через вершину куба

      і центр грані , перпендикулярна до прямої .

 

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 3.

Виконати усно вправи за готовими малюнками, запропоновані вчителем.

 

Завдання 4.

1. Через точку О перетину діагоналей паралелограма АВСD проведено пряму ОМ так, що МА = МС, МВ = МD. Доведіть, що пряма МО перпендикулярна до площини паралелограма.
2. В трикутнику АВС сума кутів А і В дорівнює 90⁰. Пряма ВD перпендикулярна до площини АВС. Доведіть, що .    
3. АВСD – прямокутник. Відрізок АЕ перпендикулярний до площини АВС. ВЕ = 15 см, ЕС = 24 см,  ЕD = 20 см. Доведіть, що трикутник ЕDС прямокутний і знайдіть АЕ.

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок №4 

«Більше думай і тоді вирішуй»

Григорій Сковорода

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Перпендикуляр і похила

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 3.9 блоку № 3.
2. Усно дайте відповідь на питання:

1. Сформулюйте означення перпендикулярних прямих.
2. Дайте означення прямої, перпендикулярної до площини.
3. Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої та площини.
4. Що називають перпендикуляром до даної прямої у просторі?
5. Що називають похилою?
6. Що називають проекцією похилої?
7. Які властивості мають перпендикуляр  і похила?

 

Завдання 2.

Користуючись рисунком, дайте відповідь на питання:

1. Як називають відрізок АН?
2. Як називають відрізок АМ?
3. Як називають точку Н, точку М?
4. Як називають відрізок НМ?
5. Скільки перпендикулярів можна провести з даної точки до даної площини?
6. Скільки похилих можна провести з даної точки до даної площини?
7. Скільки рівних похилих можна провести з даної точки до даної площини?
8. Якщо до площини з однієї точки проведені перпендикуляр і похила, то що більше: перпендикуляр чи похила?
9. Якщо похилі, проведені з однієї точки до даної площини, рівні, то що можна сказати про їх проекції?
10.  Якщо проекції похилих різні, то яка похила буде більша?

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування вправи

 

Завдання 3.

Усно виконати вправи:

1. З точки М, що не належить площині, проведені дві похилі МВ і МА та перпендикуляр МО.

1. Яка точка є проекцією точки М?
2. Назвіть відрізок, довжина якого дорівнює відстані від точки М до площини α.
3. Якщо МА = 9 см, МВ = 12 см, то яка проекція буде більша?
4. Якщо ОА = 3 см, ОВ = 1 см, то яка похила більша?
5. Якщо МА : МВ = 5 : 6, то яка проекція буде менша?
   2. Дано куб АВСDA'B'C'D'. Укажіть проекцію діагоналі B'D на площину:

      1) АВС;  2) ВВ'С'

 

Завдання 4.

Письмово виконати вправи:

1. Знайдіть довжину похилої, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 6 см, а проекції похилої на площину – 8 см.
2. З вершини A квадрата АВСD проведено перпендикуляр KA до його площини. Знайдіть відстань CK, якщо KA дорівнює 6 см, а сторона квадрата – 4 см.
3. З точки до площини проведені дві похилі, які дорівнюють 10 см і 17 см, а їх проекції відносяться, як 2 : 5. Знайдіть відстань від даної точки до площини.

 

 

Урок №5 

«Якщо ти змудрів – то для себе змудрів»

Книга приповістей Соломонових 9:12

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Перпендикулярність прямої і площини. Перпендикуляр і похила

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1

1. Повторити тези 1.1 – 3.9 блоку № 3.
2. Усно дати відповідь на питання:

1. Які прямі називаються перпендикулярними?
2. Яка пряма називається перпендикулярною до площини?
3. Сформулювати ознаку перпендикулярності прямої і площини.
4. Дати означення перпендикуляра до площини, похилої, проекції похилої.
5. Сформулювати властивості перпендикулярів і похилих.

 

Завдання 2.

Усно виконати вправи:

1. Користуючись зображенням куба , вкажіть пряму, яка перпендикулярна до прямої BD.

 

А	Б	В	Г	Д
АВ	ВС		АС	ВD

 

2. Користуючись зображенням куба на дошці, вкажіть площину, яка перпендикулярна до прямої AD.

 

А	Б	В	Г	Д

 

 

 

 

3. З точки А до площини проведено дві похилі АВ і АС та перпендикуляр АO. Відомо,що . Який з поданих записів є правильним?

 

А	Б	В	Г	Д

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування вправи

 

Завдання 3.

Письмово виконати вправи:

1. Встановіть відповідність між умовою твердження (1 – 4) та його висновком (А – Д) так, щоб утворилось істинне твердження.

 

1  Якщо з точки проведено дві рівні похилі, то                      А   більша похила має більшу проекцію         

2  Якщо з точки проведено дві різні похилі, то                      Б   більша похила має меншу проекцію

3  Якщо з точки проведено перпендикуляр і похилу, то       В   вони мають рівні проекції

4  Якщо з точки проведено два перпендикуляри, то              Г    вони збігаються

                                                                                                     Д   похила більша від проекції

 похилої

2. Відрізок МА перпендикулярний до площини прямокутника АВСD, у якого АВ = 6 см, ВС = 8 см. Знайдіть відстань від точки М до точки А, якщо МС = 26 см.
3. З точки А до площини проведено дві похилі АВ і АС та перпендикуляр АО. Знайдіть АВ і АС, якщо АВ : АС = , ВО = 8 см, СО = 4 см.
4. З точки А до площини проведено дві похилі АВ і АС та перпендикуляр АО. Знайдіть ВО і СО, якщо ВО – СО = 3 см, см, АС =3 см.

 

 

Готуємось до індивідуального опрацювання

1. Відрізок МА перпендикулярний до площини прямокутника АВСD, у якого АВ = 6 см, ВС = 8 см. Знайдіть відстань від точки М до точки С, якщо МА = 24 см.
2. З точки А до площини проведено дві похилі АВ і АС та перпендикуляр АО. Знайдіть ОВ і СD, якщо ВО – СО = 2 см, см, АС = см.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уроки №7, 8 

«Хто думає про науку, той любить її,

а хто її любить, той ніколи не перестає вчитися»

Григорій Сковорода

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Теорема про три перпендикуляри

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези 1.1 – 4.11 блоку № 3.
2. Усно дайте відповіді на питання:

1. Які прямі називаються перпендикулярними?
2. Які пряма і площина називаються перпендикулярними?
3. Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої і площини.
4. Дайте визначення перпендикуляра і похилої.
5. Сформулюйте властивості перпендикуляра і похилої.
6. Сформулюйте теорему про три перпендикуляра.
7. Сформулюйте теорему, обернену до теореми про три перпендикуляри.

 

Завдання 2.

Усно виконати вправи:

1. До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр                                                                                          SA (див. рисунок). Вкажіть пряму, яка перпендикулярна                                                                                    до прямої SD.                                                                                                                         

 

А	Б	В	Г	Д
AC	DB	BC	CD	SA

 

2. Зобразіть  куб , О – центр грані АВСD, вкажіть пряму, яка перпендикулярна до прямої .

 

А	Б	В	Г	Д

 

3. На рисунку зображено куб . Вкажіть проекцію похилої на площину .

 

А	Б	В	Г	Д

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 3.

Виконайте письмово вправи:

1. В трикутнику кут С прямий, кут А дорівнює 60⁰, AС=12см. . Знайдіть відстань:   1) від точки С до прямої АВ,  2) від точки D до прямої АВ.
2. Через вершину прямого кута С рівнобедреного прямокутного трикутника АВС проведено пряму СМ, яка перпендикулярна до його площини. Знайдіть відстань від точки М до прямої АВ, якщо АС = 4 см, а см.
3. З точки М проведено перпендикуляр МВ до площини прямокутника АВСD. Доведіть, що трикутники АМD і МСD прямокутні.

 

Завдання 4.

Виконати письмово вправи

1.          До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр SB; SВ = 24 см,                     АС = см. Знайдіть відстань від точки S до прямих AD, СD.

 

2.          Дано правильний трикутник АВС зі стороною см. Точка S рівновіддалена від усіх сторін цього трикутника. Знайдіть відстань від точки S до площини АВС, якщо відстань від точки S до сторони ВС дорівнює 5 см.

 

3.          Дано правильний трикутник АВС зі стороною см. Точка S рівновіддалена від усіх сторін цього трикутника. Знайдіть відстань від точки S до сторони АВ, якщо відстань від точки S до площини АВС дорівнює см.

 

 

 

 

Урок №9 

«Батько і мати дали тобі життя й живуть

заради твого щастя. Бережи їх здоров’я і спокій»

В. Сухомлинський

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Теорема про три перпендикуляри

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези блоку № 3.
2. Зіграйте в інтелектуальне лото, запропоноване вчителем.

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 2.

Письмово розв’яжіть задачі, заповнивши пропуски:

1. З деякої точки до площини проведені перпендикуляр і 2 похилі. Визначити довжину перпендикуляра, якщо похилі відносяться як 3:4, а їх проекції дорівнюють відповідно  9 см і 16 см.

Розв’язування                                   

АС, АD-_____________;

ВС і ВD- їх ________________ відповідно;

Так як АС:АD=__________, то                     

 

Нехай АС=______см, АD=______см,

де х- коефіцієнт пропорційності.

Оскільки більшій похилій відповідає _____________ проекція, то

ВС=_____см, ВD=_____см.

З ∆ АВD (<АВD=_____°) за теоремою Піфагора:

АВ²=_______-________, АВ²=_______-________

Аналогічно, з ∆ АВС: АВ²=_______-________, АВ²=_______-________

Складаємо рівняння:___________=____________

                                ________________________________

                                ________________________________

Тоді АВ²=______________________

АВ=±√_______=±_______(-______ не задовольняє умову задачі).

Відповідь: довжина перпендикуляра _____см.

 

2. Телефонний провід завдовжки 15 м протягнуто від телефонного стовпа, де він прикріплений на висоті 8 м від поверхні Землі, до будинку, де його закріпили на висоті 20 м. Знайдіть відстань між будинком і стовпом, вважаючи, що провід не провисає.

Розв’язування

Математична модель поверхні Землі - площина ____,

а відстані 8 м і 20 м від поверхні Землі – прямі, що ___ площині ___.

 За властивістю прямих і площин:

АВ ____СD.

Проведемо BF___AD, тоді  BF=____

і ∆BCF=_________________(<BFC=____°)

CF=____________.

За теоремою _____________: BF²=________________________________

                                           BF=±√ ____=±_____ (____ не задовольняє умову задачі).

Відповідь: відстань між будинком і стовпом _____м.

 

3. Над квадратною будівлею розміром 12 м×12 м потрібно виготовити дах, найвища точка якої знаходиться на висоті 3 м над основою даху. Якою повинна бути довжина основних балок ?

                                                                                 

Розв’язування

  Аналіз умови задачі:                                                               

Всі вершини квадрата повинні знаходитися на однаковій відстані від найвищої точки даху.                                     

Тому маємо математичну модель:

OS площині квадрата, SD- похила, OD-її _______________

Діагональ квадрата BD=_________ м, ВО= =____ м

З ∆SOD (<______=90°) за теоремою ________________:

SD²=2²+ ______=_______________________

SD=±√_______=±_____ (____ не задовольняє умову задачі).

Відповідь: довжина кожної основної балки ____ м.

 

4. З точки М, що міститься від площини α на відстані МО=4, проведені до цієї площини похилі МА, МВ і МС під кутами 30°, 45° і 60° відповідно до прямої МО, МОα. Порівняти довжини похилих ?

Розв’язування

Оскільки перпендикуляр і три похилі проведені з 1 точки до 1 площини, то з трьох похилих більше та, _______________ якої _______________.

МО=4 - катет, прилеглий до кута між перпендикуляром ______ і похилими _____,______

і______, тому довжини похилих обчислюється за формулами:

 АМ= ( З ∆AOM, < AOM=______°), АМ=----------------

ВМ=  =___________( З ∆ВOM, < ВOM=______°),

СМ=  =___________( З ∆СOM, < СOM=______°).

Відповідь:________<________<________

 

Завдання 3.

Виконати графічний диктант, запропонований вчителем.

Записуєте в робочих зошитах відповіді на запитання диктанту, користуючись символами «так»-∩, «ні»- ─, а потім здійснюєте самоперевірку за ключем – відповіддю, запропонованим вчителем.

 

 

 

Урок №10 

« Математика цікава тоді,

                                            коли дає поживу нашій

                                   винахідливості й

                                                здатності до міркувань»

Д. Пойа

 

Фронтальне опрацювання матеріалу

 

Теорема про три перпендикуляри

 

І. Робота над засвоєнням понять, термінів і правил

 

Завдання 1.

1. Повторіть тези блоку № 3.
2. Усно дайте відповіді на питання:

1. Які прямі називаються перпендикулярними?
2. Які пряма і площина називаються перпендикулярними?
3. Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої і площини.
4. Дайте визначення перпендикуляра і похилої.
5. Сформулюйте властивості перпендикуляра і похилої.                                  
6. Сформулюйте теорему про три перпендикуляра.
7. Сформулюйте теорему, обернену до теореми про три перпендикуляри.

 

 

Завдання 2.

 

Усно виконати вправи:

1. До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр SA (див. рисунок). Вкажіть пряму, яка перпендикулярна до прямої SD.                                                                                                                         

                                                                                                                                                                     

А	Б	В	Г	Д
AC	DB	BC	CD	SA

 

2. Намалюйте куб , О – центр грані АВСD, вкажіть пряму, яка                                                                    перпендикулярна до прямої .

 

А	Б	В	Г	Д

 

3. Намалюйте  куб . Вкажіть проекцію похилої   на   площину .

 

А	Б	В	Г	Д

 

ІІ. Відпрацювання умінь і навичок розв’язування задач і вправ

 

Завдання 3.

Виконайте письмово вправи:

1. Намалюйте куб , точка О –  центр грані АВСD. Встановіть відповідність між заданими прямими (1 – 4) та прямими (А – Д), які перпендикулярні до заданих.                                                                                 

      1  пряма       А   пряма   

2  пряма       Б   пряма     

3  пряма          В   пряма       

4  пряма          Г   пряма       

                              Д   пряма    

 

2. До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр SB; SВ = 8 см, АС = см. Знайдіть відстань від точки S до прямої СD.
3. Дано правильний трикутник АВС зі стороною см. Точка S рівновіддалена від усіх сторін цього трикутника. Знайдіть відстань від точки S до сторони АВ, якщо відстань від точки S до площини АВС дорівнює см.

 

 

 

 

 

 

Готуємось до індивідуального опрацювання

1. До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр SB;            SВ = 12 см, АС = см. Знайдіть відстань від точки S до прямої AD.
2. Дано правильний трикутник АВС зі стороною см. Точка S рівновіддалена від усіх сторін цього трикутника. Знайдіть відстань від точки S до площини АВС, якщо відстань від точки S до сторони ВС дорівнює см.

 

 

Урок №12 

«Не роби ніколи того, чого не знаєш. Але вчись усьому,

 що потрібно знати, і тоді будеш вести спокійне життя»

Піфагор

 

Внутрішньопредметне узагальнення матеріалу

 

Перпендикулярність прямих у просторі. Перпендикулярність прямої і площини

 

І. Узагальнення теоретичних знань

 

Завдання 1.

1. Повторити блок № 3.
2. Письмово дати відповідь на питання, запропоновані вчителем.

 

ІІ. Узагальнення практичних умінь та навичок

 

Завдання 2.

Письмово виконати вправи:

1. Точка О – центр квадрата АВСD, , Знайдіть відстань від точки М до площини АВС, якщо МD = 8 см.

 

2. Точка О – центр квадрата АВСD, , Знайдіть відстань від точки М до точки D, якщо відстань від точки М до площини АВС дорівнює 1 см.

 

3. Відстань від точки S до кожної з вершин квадрата АВСD дорівнює 5 см. Знайдіть відстань від точки S до площини квадрата, якщо його діагональ дорівнює 6 см.

 

4. Відстань від точки S до кожної з вершин квадрата АВСD дорівнює 5 см. Знайдіть діагональ квадрата АВСD, якщо відстань від точки S до його площини дорівнює 3 см.

 

5. Точка S рівновіддалена від кожної сторони рівностороннього трикутника АВС, сторона якого дорівнює см. Знайдіть відстань від точки S до сторони АВ, якщо відстань від точки S до площини АВС дорівнює см.

 

6. Відстань від точки S до кожної з вершин правильного трикутника АВС дорівнює 5 см. Знайдіть відстань від точки S до площини трикутника АВС, якщо його медіана дорівнює 12 см.