Посібник-співбесідник 1

ДОРОГІ ДРУЗІ!

Ви тримаєте в руках посібник з алгебри для учнів 7 класів. Працюючи з цією книгою, ви разом з новими друзями — семикласниками Софійкою, Іванком та їхнім вчителем — зможете вирушити у подорож країною Алгебри.

Даний посібник складається з двох розділів, які містять п’ять параграфів і двадцять два пункти.

Кожний пункт розпочинається викладом теоретичного матеріалу. Під час його вивчення звертайте увагу на тексти, виділені жирним шрифтом, або курсивом. Це математичні терміни, означення, правила, математичні закони. Їх потрібно добре знати.

Деякі пункти містять матеріал під рубрикою «Додаткові відомості» для тих, хто цікавиться математикою.

Далі — рубрика «Перевірте себе». Це запитання, відповідаючи на які ви зможете повторити теоретичний матеріал, закріпити здобуті знання.

У рубриці «Виконаємо разом» подано зразки розв’язання деяких видів вправ. Слід ознайомитися з ними після вивчення теоретичного матеріалу.

У посібнику наведено вправи різних рівнів складності («Рівень А», «Рівень Б» та «Рівень В»). Варто спочатку розв’язувати усні вправи та простіші задачі (рівень А), а після цього переходити до складніших (рівень Б). Задачі  рівня В — для найкмітливіших — тих, хто добре володіє навчальним матеріалом, цікавиться математикою,  прагне поглиблювати свої знання.

Крім того пропонуються завдання для тематичного оцінювання з алгебри. Вони складені у 2-х рівноцінних варіантах, містять елементи тестування.

Кожен блок тематичного оцінювання представлений завданнями чотирьох рівнів складності:

І.^• — завдання початкового та середнього рівня. Виконання завдань цього рівня можна оцінювати по 1 балу за кожне. 

ІІ.^•• — завдання достатнього рівня. За виконання цих завдань можна отримати 6 балів.

ІІІ.^••• — завдання високого рівня. Виконується на вибір одне із завдань, яке оцінюється 3 балами.

* — задачі підвищеної складності передбачають дослідницький характер діяльності, нестандартні способи розв’язання, активізують мислення, вимагають творчого підходу. Виконання даних вправ не є обов’язковим, тому доцільно оцінювати їх окремо.

Бажаємо успіхів вам у вивченні алгебри!

— вчитель.

— Софійка.

— Іванко.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Важливу роль у вивченні алгебри відіграють рівняння. У 5-6 класах ви ознайомилися із поняттям рівняння та навчилися розв’язувати деякі види рівнянь.

Як ви уявляєте собі, що таке рівняння?

Рівність, яка містить невідоме число.   

Вірно. Наведіть приклади рівнянь. 

, , , .

Помилки: це числова рівність (не має невідомого); це нерівність (не має знаку «дорівнює»).                  

А я можу записати ще такі рівняння: , □ , ... .

Ха – ха - ха! Теж мені рівняння! Це ми в початкових класах такі завданнячка розв’язували.

В цьому випадку в ролі невідомих чисел виступають знаки: , □, ....

Як називають значення невідомого, яке перетворює рівняння у правильну числову рівність?

Розв’язком або коренем рівняння.

Вірно. Як перевірити, чи правильно розв’язане рівняння?

Я не пам’ятаю.

Зробити перевірку, тобто підставити в дане рівняння знайдений корінь.

Отже, можна дати таке означення рівняння:

Рівняння — це рівність, яка містить невідоме значення змінної.

 

Невідоме число в рівнянні називають змінною. Змінні найчастіше позначають буквами х, у, z (ікс, ігрек, зет), хоч їх можна позначати й іншими буквами.

Підставте в рівнянні  замість змінної х число . Яку числову рівність ви отримаєте?

Отримаємо правильну числову рівність: .

Кажуть, що число задовольняє рівняння .

Число, яке задовольняє рівняння, називається коренем, або розв’язком рівняння.

Вираз, записаний у рівнянні ліворуч від знака рівності, назива­ють лівою частиною рівняння, а вираз, записаний праворуч, — правою частиною рівняння. Наприклад:

 

 

 

 

Досі вам доводилося розв’язувати рівняння, які мали один або два корені. Наприклад: рівняння має лише один корінь — число ; рівняння має два корені — числа і , оскільки при цих значеннях один із множників у лівій частині рівняння дорівнює .

Чи існують рівняння, що мають три розв’язки?

Звісно ж, існують. Таке рівняння легко скласти, подавши його ліву частину у вигляді добутку трьох множників, а в правій записати нуль. Наведіть приклад такого рівняння.

Я знаю: .

Вірно. Коренями цього рівняння є числа , і . Аналогічно можна скласти рівняння, що мають чотири, п’ять і більше розв’язків.

А чи існують рівняння, що не мають розв’язків?

Так, існують. Наприклад, рівняння не має коренів, оскільки при кожному значенні змінної значення лівої частини рівняння на більше від значення правої . А ось рівняння задовольняє будь-яке число , тому це рівняння має безліч коренів. 

 Отже, ми приходимо до такого означення:

Розв’язати рівняння — означає знайти всі його корені або показати, що їх не існує. 

Додаткові відомості

Рівняння бувають різних видів, зокрема такі, що містять невідому змінну в квадраті, в кубі, під знаком модуля тощо. Розв’яжемо, наприклад, рівняння:

1 )  ;  2) ;  3) .

1) Відповімо на запитання: яке число треба піднести до квадрата, щоб отримати ? Такими є числа і . Це і є корені даного рівняння.

2) Поділимо обидві частини рівняння   на , отримаємо . Яке число в кубі дорівнює ? Таким є число . Отже, розв’язок даного рівняння .

3) Дане рівняння не має розв’язків, тому що модуль будь-якого числа є невід’ємним числом і не може дорівнювати .

Перевірте себе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виконаємо разом

Приклад 1.  Чи є число 5 коренем рівняння 6х–2=4(х+2)?

Я знаю, якщо число є коренем рівняння, коли ми підставимо його замість значення змінної, то рівняння перетвориться в правильну рівність.

Розв’язання:

Значення лівої частини дорівнює: 6∙5–2=30–2=28;

Значення правої частини дорівнює: 4(5+2)=28;

Значення обох частин рівні, тому х=5 — корінь даного рівняння.

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

а) 1,5(х–3,5)=6;           б) (8х+4)(8х–16) =0;           в) х²+9 = 5.

а)1,5(х–3,5)=6;  х–3,5=6:1,5;  х – 3,5 = 4;  х=4+3,5;  х=7,5.

Відповідь: х=7,5.

б) (8х+4)(8х–16)=0;

Хмм! Я не вмію розкривати такі дужки.

А тут їх і не потрібно розкривати, оскільки добуток дорівнює нулю лише тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, 8х+4=0 або     8х–16=0 звідки х= –0,5 або х=2.

Відповідь: – 0,5; 2.

в) х²+9=5;  х² = 5 – 9;  х² = – 4;  х=2.

Ти не знаєш, що квадрат числа не може дорівнювати від’ємному числу. Тому дане рівняння коренів не має.

Відповідь: рівняння коренів немає.

Усно

1. Які із записів є рівняннями:

а) 12х + 7;                  б) 3х – х = 15;           в) 14 – 2,5 = 11,5;

г) 16 (х–5) = 34;         д) 7х–3х+5;               е) х>4?

2. Чи є число 3 коренем рівняння:

а) 3х=9;                   б) х–7=4;                в) 4х+6=16;             г)27: х=9?

3. Скільки коренів має рівняння:

а) 3х=1;                       б) 64х=0;                   в) х(х–35)=0?

Я придумала рівняння, яке не має коренів: х=х+7.

Чому?

Якщо ми від обох частин рівності віднімемо х, то одержимо: 0≠7.

А це невірно.

А я придумав рівняння теж, коренем якого буде будь-яке число: 4+х=х+4.

Я теж придумала: (– 0,4)(х–2)=0.

Рівень А

4. Перевірте, для яких рівнянь число 2 є коренем рівняння:

а) х+7=9;                        б) 5+х=12;             в) х–8= – 6.

5. Вкажіть рівняння, для якого число 2,5 є коренем:

а) 3х–0,5=2(х+1);            б) х–2=х+3;          в) х+1= –1+х.

6. Вкажіть рівняння, для якого число –1 є коренем:

а) х²=2х+3;                      б) 7х+4=х²;          в) х=5+2х.

7. Розв’яжіть рівняння:

а) 8(х–1)=5;                      б) х+2=2+9;         в) 1,6х–3=4,5;

г) 0∙х=0;                            д) 0(х–1)=3;         е) 5(х–1)=12;

є) 12,6=6(х+2,5);              ж) m:3=8;             з) 2(х–2)=2х+7.

8. Розв’яжіть рівняння:

а) 3х+7=14;                      б) 9х– 4= –3;            в) 9–8х=15;

г) 5(3х+2)= –5;                  д) –2(3+z)=10;       е) (4z+3):2= –16.

Рівень Б

9. Запишіть рівняння, яке має:

а) єдиний корінь – число 2;                  б) два корені – числа 2; –2.

10. Чи є число 4 коренем рівняння:

а) х–2=|2–х|;                                 б) х+|–х|=0?

11. Доведіть, що число 4 є коренем рівняння:  8–х=|–х|.

12. Розв’яжіть рівняння:

а) (4х+8)(4х–3)=0;                    б) х²+12=6.

13. Розв’яжіть рівняння:

а) (8х–9)(4х+6)=0;                    б) 6х²+21=3.

Рівень В

14. Знайдіть таке число z, щоб коренем рівняння x–z=4 було число 3.

15. Рівняння 5х=а–3 має той же корінь, що й рівняння 2х–7=1. Знайдіть а.

16. Розв’яжіть рівняння:

а) 3(х+4)+6(11–х)=9;                  б) х²(х–2)(х–3)(х–4)(х–5)=0.