Посібник-співбесідник 4

Давай пограємо у гру.

Задумай число.

Я задумав.

Додай до задуманого числа , помнож результат на , відніми , відніми задумане число, помнож на , відніми .

Що у тебе вийшло в результаті?

В мене вийшло .

Значить, ти задумав число .

Вірно. А як ти відгадала?

Все дуже просто. Запропоновані дії з числом можна записати на мові алгебри:

Задумай число,
додай ,
помнож результат на ,
відніми ,
відніми задумане число,
помнож на ,
відніми .

 

Задумане число ми позначили через  . Якщо в результаті виходить , то потрібно розв’язати простеньке рівняння , звідки отримаємо, що .

І справді нічого складного. Якби, наприклад, в мене вийшов результат , то ми б отримали інше рівняння: . Тоді, ; ; ; .

В основі даного “фокуса” лежать рівняння. Як бачите, все дуже просто: фокусник заздалегідь знає, що потрібно зробити з результатом, щоб знайти задумане число. Зрозумівши це, ви можете ще більше здивувати ваших друзів, запропонувавши їм самим, на свій розсуд, вибрати характер дій над задуманим числом.

Метод рівнянь, що застосовують для розв’язування задач не лише в математиці, а й в інших науках, полягає в тому, що за умовою задачі встановлюють залежність між даними та невідомими значеннями величин і цю залежність записують у вигляді рівняння. Розв’язуючи складене рівняння, дістають значення одного з невідомих, а потім, у разі потреби, користуючись встановленими відношеннями, визначають й інші невідомі величини.

Щоб успішно користуватися методом рівнянь, треба володіти елементарними специфічними уміннями. Пригадаємо їх.

1. Запис за допомогою рівності відношення «більше» або «менше» між двома числами.

Запишіть за допомогою рівності відношення між числами і , що виражається фразою: «число більше від числа на одиниць».

.

Помилка. Міркуємо так: щоб з даних чисел утворити рівні між собою числа, можна менше число збільшити на або більше число зменшити на . Маємо такі рівності:

1) ;

2) ;

3) .

Такі самі рівності є записом відношення, що виражається фразою: «число менше від числа на одиниць».

Запишіть за допомогою рівності відношення між числами і , що виражається фразою: «число більше від числа у рази».

1) ;

2);

3) .

Вірно. Такі самі рівності є записом відношення, що виражається фразою: «число менше від числа у рази».

2. Вираження за даними умови задачі одних числових значень через інші.

Наприклад: cума двох чисел дорівнює . Одне з цих чисел . Запишіть друге число.

Друге число дорівнює — різниці суми двох чисел і першого числа.

Вірно. В одному ящику кг яблук, а в другому — на кг більше. Яка маса яблук в обох ящиках?

Виходячи з умови задачі, у другому ящику () кг яблук, тоді в обох ящиках — () кг.

Вірно. Власна швидкість човна — км/год, швидкість течії річки —            км/год. З якою швидкістю човен рухається за течією і яку відстань він при цьому долає за год?

км.

Помилка. Швидкість руху човна за течією складається з власної швидкості човна і швидкості течії, тобто становить () км/год. Рухаючись з такою швидкістю протягом год, човен подолає відстань (км).

Один із основних етапів розв'язування задач за допомогою рівнянь — складання рівняння за умовою задачі, що, по суті, означає переклад цієї умови на мову математики.

   Складання рівняння передбачає:

  1) Вибір основного невідомого і позначення його буквою.

  2) Вираження за допомогою цієї букви і даних в задачі чисел інших невідомих чисел, про які йдеться в задачі.

3) Утворення двох виразів, які відповідно до умови задачі, перебувають у відношенні «більше», «менше» або «дорівнює».

4) Запис цього відношення за допомогою рівняння.

Наприклад, розглянемо задачу.

Задача 1. На нижній полиці в рази більше книжок, ніж на верхній. Якщо з нижньої полиці переставити на верхню книжок, то їх на полицях стане порівну. Скільки книжок було спочатку на верхній полиці?

Про що йдеться в умові задачі?

Про те, що на нижній полиці було в рази більше книжок, ніж на верхній. Після перестановки книжок з нижньої полиці книг стане порівну.

Вірно. Що потрібно знайти?

Скільки книжок було спочатку на верхній полиці?

Вірно. Що доцільніше позначити через ?

Кількість книжок, яка була спочатку на верхній полиці, тому що це шукана величина і книжок на верхній полиці було менше.

Вірно. Тоді скільки книжок було на нижній полиці?

Кількість книжок на  нижній полиці, яка була спочатку, дорівнює . 

Вірно. Якщо з нижньої полиці переставити на верхню книжок, то скільки книжок стане на нижній та на верхній полицях?     

На нижній полиці залишиться книжок, а на верхній буде книжок.

Вірно. На основі якої залежності можна скласти рівняння?  

Після перестановки книжок з нижньої полиці на верхню книг стане порівну.   

Вірно. Яке рівняння отримаємо?

.

Вірно. Розв’яжемо це рівняння:

;

  ;

  .

Отже, на верхній полиці було спочатку книжок.

Рівняння , складене за умовою задачі, — це математична модель даної задачі.

Модель завжди подібна до оригіналу. У ній відображаються ті чи інші важливі властивості досліджуваного об'єкта. Такими є зменшені моделі автомобіля, літака, будинку. Глобус — модель Землі, лялька — модель людини. Якщо модель побудовано на основі рівнянь, формул чи інших математичних понять, її називають математичною моделлю.

Для розв'язування задач на рух також використовують різні моделі. Бажано пам'ятати, що при рівномірному русі пройдена тілом відстань дорівнює добутку швидкості на час (). При цьому всі значення величин слід виражати у відповідних одиницях вимірювання. Наприклад, якщо час дано в годинах, а відстань — у кілометрах, то швидкість треба виражати в кілометрах за годину.

Розглянемо задачу, скласти рівняння до якої допомагає таблиця — ще один вид математичних моделей.

Задача 2. Катер мав пройти відстань між містами зі швидкістю км/год, а насправді йшов зі швидкістю км/год і тому запізнився на год. Знайдіть відстань між містами.

Розв’язання. Побудуємо таблицю і заповнимо її відповідно до умови задачі.

Умова	Відстань, км	Швидкість, км/год	Час, год
Мав пройти
Пройшов

 

За таблицею складіть рівняння.

.

Вірно. Розв’яжіть дане рівняння.

;

;

.

Відповідь: км.

Вірно. Крім того, корінь складеного рівняння слід співвіднести з умовою задачі. Залежно від того, що позначає невідоме, на його значення можуть накладатися певні обмеження. Так, кількість предметів не може виражатися від’ємним або дробовим числом. Від'ємними не можуть бути також відстань, час тощо.

Розв’язування прикладних задач методом математичного моделювання здійснюється в три етапи:

1) створення математичної моделі даної задачі;

2) розв'язування відповідної математичної задачі;

3) аналіз відповіді.

 

Додаткові відомості

Розглянемо задачу:

На светр, шапку і шарф витратили 555 г вовни, причому на шапку пішло у 5 раз менше вовни, ніж на светр і на 5 г більше, ніж на шарф. Скільки вовни витратили на кожен виріб?

Складемо таблицю. При складанні рівняння в одній колонці візьмемо за основне невідоме кількість вовни, що пішла на светр, в іншій — кількість вовни, необхідна для шапки, в останній — для шарфа.

Светр	x	5х	5( х + 5 )
Шапка	х	x	x + 5
Шарф	х – 5	x – 5	x
Рівняння	x+х+(х–5) =555	5х+х+(х-5)= 555	x+(х+5)+5(х+5) = 555

 

З таблиці видно, що через х доцільно було позначити кількість вовни, що пішла на виготовлення шапки, оскільки при цьому отримується найпростіше рівняння. Під час розв’язування задач на поділ числа на нерівні частини для зручності беруть за основне невідоме найменшу величину (якщо це можливо).

Перевірте себе

 

 

 

Виконаємо разом

Задача 1:

На двох токах 1000 т зерна. Скільки зерна на кожному току, якщо на першому його на 200 т менше, ніж на другому.

Нехай на першому току є х т зерна. Тоді на другому його (х+200) т, а на обох (х+х+200) т. Маємо рівняння:

х+х+200 = 1000; звідси 2х = 800, х = 400, х+200 = 600.

Відповідь: 400 т і 600 т.

Часто, розв’язуючи задачі, нам допоможе схема або малюнок.

Дану задачу можна розв’язати й іншим способом.

Якщо на другому току у т зерна, то на першому (1000 –у) т. Через те,   що на другому току зерна на 200 т більше, то:

1000–у+200 = у; звідси у = 600,

1000–у = 400.

Задача 2:

З міста А в місто В виїхав вантажний автомобіль. Через 30 хв з міста В у місто А виїхав легковий автомобіль, швидкість якого на 20 км/год більша за швидкість вантажного. Автомобілі зустрілися через дві години після виїзду легкового автомобіля. Знайдіть швидкість кожного автомобіля, якщо відстань між містами дорівнює 310 км.

Позначимо швидкість вантажного автомобіля х км/год. Дані задачі попробуємо подати в таблиці.

Оскільки автомобілі зустрілися, то разом вони проїхали 310 км. Маємо рівняння:

2,5х+2(х+20) = 310.

Автомобіль	v, км/год	t, год	S, км
Вантажний	x	2,5	2,5х
Легковий	х+20	2	2(х+20)

 

Розв’яжемо рівняня:

2,5х+2х+40 = 310; 4,5х = 270; х = 60.

Отже швидкість вантажного автомобіля 60 км/год, а легкового            

60+20 = 80 (км/год).

Усно

56. Одне число на 20 більше від другого. Менше з цих чисел позначимо х. Виразіть через х більше число.

57. Учень виготовив х деталей, а майстер — на 18 деталей більше. Виразіть через х кількість деталей, виготовлених майстром.

Рівень А

58. У двох цистернах 58 тон бензину, причому в першій на 4 т менше, ніж у другій. Скільки тон бензину в кожній цистерні?

59. Одне з додатніх чисел утричі більше від другого. Знайдіть ці числа, якщо їх різниця дорівнює 28.

60. Сума двох чисел 360, а їх відношення дорівнює 5:7. Знайдіть ці числа.

61. Периметр трикутника дорівнює 20 дм. Дві його сторони рівні між собою і кожна з них на 1 дм більша від третьої. Знайдіть сторони трикутника.

62. У автопарку вантажних автомобілів у 6 раз більше, ніж легкових. Скільки легкових автомобілів у автопарку, якщо всіх автомобілів – 91?

63. Бабусі і мамі разом 99 років. Скільки років кожній з них, якщо бабуся старша за маму на 25 років?

64. За пральну машину та її встановлення заплатили 1470 грн. Вартість установлення становить 5% від вартості машини. Скільки коштує пральна машина?

65. Ящик з апельсинами на 3 кг важчий, ніж ящик з лимонами. Яка маса кожного з них, якщо маса 4 ящиків з апельсинами така сама, як маса 5 ящиків з лимонами.

66. Сергій мав грошей удвічі більше, ніж Петро. Коли Петрові дали ще 4 грн., то грошей у хлопців стало порівну. Скільки грошей мав кожний з хлопців спочатку?

67. Батько в 5 раз старший від сина, а син на 32 роки молодший від батька. Скільки років кожному з них?

Рівень Б

68. У трьох цехах заводу працює 430 робітників. У другому цеху на 12 робітників більше, ніж у першому, а у третьому – на 31 робітника більше, ніж у другому. Скільки робітників працює в кожному цеху?

Задача.

Катер пройшов відстань між пристанями за течією річки за 2 год, а назад, а назад — за 3 год. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість катера течії річки 2 км/год.

Я не знаю як це розв’язати.

Розв’язання. Нехай власна швидкість катера х км/год. Тоді

(х+2) км/год — його швидкість за течією,

(х-2) км/год — швидкість катера проти течії,

(х+2)2 км — катер пройшов за течією,

(х-2)3 км — катер пройшов проти течії.

Відстані (х–2)3 і (х+2)2 рівні. Отже, маємо рівняння

Та це неважко. Я вже знаю.

3(х–2)=2(х–2), звідси 3х–6 = 2х+4, х = 10.

Відповідь. 10 км/год.

69. Чи можна розкласти 68 банок в три ящики так, щоб у другому було удвічі більше банок, ніж у першому, а у третьому — на 3 банки менше, ніж у першому?

70. На одній садовій ділянці в 3 рази більше кущів малини, ніж на другій. Коли з першої ділянки пересадили на другу 12 кущів, то на обох ділянках кущів малини стало порівну. Скільки кущів малини  було на кожній ділянці спочатку?

71. Купили 24мзошити в лінійку та клітинку. За все заплатили 6 грн. 60 к. Зошит у клітинку коштує 24 к., а в лінійку — 30к. Скільки купили зошитів кожного виду.

72. Одна сторона трикутника на 9 дм менша за другу і в 2 рази менша за третю. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 105 дм.

73. Чи можна 90 книжок розставити на трьох полицях так, щоб на третій було на 3 книжки більше, ніж на другій, і на 5 книжок менше, ніж на першій.

74. Купили 12 ручок по 50 копійок і 65 копійок, заплативши за все 6 грн. 75 к. Скільки купили ручок кожного виду?

75. У двох пачках була однакова кількість зошитів. Після того, як з першої пачки переклали у другу 24 зошити, в ній стало в 4 рази менше зошитів, ніж у другій. Скільки зошитів було в кожній пачці спочатку?

76. У двох мішках була однакова кількість цукру. Після того, як з першого мішка до другого пересипали 8 кг цукру, в ньому стало у 2 рази менше цукру,ніж у другому. Скільки кілограмів цукру було у кожному мішку спочатку?

77. Батькові 40 років, а сину 10. Через скільки років батько буде в три рази старший від сина?

Рівень В

78. Бригада повинна була виконати завдання з виготовлення деталей за 5 днів, а виконала роботу за 4 дні, бо виготовляла щодня на 12 деталей більше. Скільки деталей виготовила бригада?

79. Один кавун на 5 кг легший за другий і в 3 рази легший за третій. Перший і третій кавуни разом у 2 рази важчі за другий. Знайдіть масу кожного кавуна?

80. У трьох кошиках 54 кг яблук. У першому кошику на 12 кг менше, ніж у другому, а в третьому – вдвічі більше, ніж у першому. Скільки кілограмів яблук у кожному кошику?

81. Вертоліт пролетів відстань між двома містами при попутному вітрі за 5,5 год, а при зустрічному — за 6 год. Знайдіть відстань між містами і власну швидкість вертольота, якщо швидкість вітру тоді дорівнювала 10 км/год.

82. Перший учень розв’язав на 3 задачі менше, ніж другий і у 2 рази менше, ніж третій. Перший і третій учні разом розв’язували у 2,1 раза більше задач, ніж другий. Скільки задач розв’язав кожний учень?

 

 

 

 

 

Завдання для самоперевірки № 1

Варіант 1

І.^•

1.   Яка пара рівнянь є рівносильними рівняннями?

      А)  2х – 10 = 6;     Б)  3у = 0;       В) ;         Г) х + 2 = 2 – х; 

            3х = х –16             0у = 3             5 а = 125            2х = 4

2.  Яке  значення є розв’язком рівняння  4(х – 3) = х + 6 ?

А)  0            Б)  – 2             В)   6           Г)  немає розв’язку;                   

3.   При яких значеннях х виконується рівність: │х – 2│=  х – 2?

       А)  при будь-якому х, не меншому за 2;

       Б)   при будь-якому х;   

       В)   при будь-якому х, меншому за 2; 

       Г)   при будь-якому х,  більшому за 2;  

ІІ. ^••

4.    Розв’яжіть рівняння:

       а)  3(4 у – 5) – 10(2 у – 1) = 43;         б)  

5.   За три дні продали 15 т картоплі. За перший день продали на 1 т менше, ніж за другий, а за третій день продали того, що було продано за перший і другий день разом. Скільки тон картоплі продавали щодня?

ІІІ.^•••

6. При якому значенні  а  рівняння (а – 2)х + 2 = 15 не має   коренів?

7.   Розв’яжіть рівняння:  │1 – 5х│=  9   

__________________________________________________________

 8.*    Розв’яжіть рівняння відносно змінної х:

      

 

 

 

 

Варіант 2

 І.^•

1.   Яка пара рівнянь є рівносильними рівняннями?

      А)  3х – 9 = 6;     Б)  6 – х = х + 6;         В) ;         Г) 4у = 0;

            2х = х –15           2х = 12                       3 а = 27              0у = 4           

 2.  Яке  значення є розв’язком рівняння  3(х + 2) = х + 4 ?

А)  0            Б)  – 1             В)   4           Г)  немає розв’язку;                   

3.   При яких значеннях х виконується рівність: │х + 5│=  х + 5 ?

       А)  при будь-якому х, не більшому за –5;

       Б)   при будь-якому х;   

       В)   при будь-якому х, не меншому за   –5; 

       Г)   при будь-якому х,  більшому за  5 ;

ІІ.^••

4.    Розв’яжіть рівняння:

       а)  30 + 5(3k – 1) = 35k  – 25;         б) 

5.   У першому штабелі в 2 рази більше дощок, ніж у другому. Коли з першого штабеля взяли 30 дощок, а у другий доклали 5 дощок, то в першому стало на 45 дощок більше, ніж у другому. Скільки дощок було у кожному штабелі спочатку?

ІІІ.^•••  

6.  При якому значенні  а  рівняння  (5 – а)х + а = 5 має  безліч розв’язків?

7.   Розв’яжіть рівняння:  │4х – 3│=  5   

__________________________________________________________

 8.*    Розв’яжіть рівняння відносно змінної х: