Посібник-співбесідник 2

Розв’язування будь-якого рівняння зводиться до виконання певних перетворень, у результаті яких дане рівняння замінюють більш простим.

Розв’яжемо, наприклад, рівняння:

.                                   (1)      

1. Розкриємо дужки.

2. Зведемо подібні доданки в лівій частині рівняння.

.     (2)

.                  (3)

А що далі???

Пригадай, ми вчили у 6 класі, що доданки можна переносити з однієї  частини рівняння в іншу, змінюючи їх знаки на протилежні.

3. Перенесемо доданки зі змінною у ліву частину рівняння, а без змінної — у праву, змінивши їх знаки на протилежні.

4. Зведемо подібні доданки у кожній частині рівняння.

5. Знайдемо невідомий множник. Для цього поділимо обидві частини рівняння на .

.                  (4)

.                                (5)

.

Отже, рівняння (1) має єдиний корінь — число .

Подивись уважно. Розв’язуючи рівняння (1), ми виконували певні перетворення: розкривали дужки, зводили подібні доданки, переносили доданки з однієї частини рівняння в іншу, ділили обидві частини рівняння на число.

Із цими перетвореннями пов’язані такі основні властивості рівнянь:

Властивість 1. У будь-якій частині рівняння можна розкрити дужки або звести подібні доданки.

Властивість 2. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу,  змінивши його знак на протилежний.

       Властивість 3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне і те ж, відмінне від нуля, число.

Якщо в деякому рівнянні виконати одне з перетворень, вказаних у властивостях 1, 2 або 3, то отримаємо рівняння, яке має ті ж корені, що й початкове рівняння.

Розв’язуючи рівняння (1), ми послідовно отримували рівняння (2), (3), (4), (5). Усі вони разом з рівнянням (1) мають один і той же корінь — число .

Такі рівняння називають рівносильними.

Якщо всі корені одного рівняння є коренями другого, і навпаки — всі корені другого є коренями першого, то такі рівняння називаються рівносильними.

Наприклад, рівняння, що мають корені ; ; і ; ; є рівносильними. Рівняння з коренями ; ; і ; ; ; не є рівносильними, бо не всі корені другого рівняння є коренями першого .

         Рівняння, які не мають коренів, також вважаються рівносильними.

Використовуючи основні властивості рівнянь, розв’яжемо рівняння:

Розв’язання. Помножимо обидві частини рівняння на 6:

.

Перенесемо у ліву частину рівняння, а — у праву, змінивши їх знаки на протилежні:

.

Зведемо подібні доданки у кожній частині рівняння:

.

Поділимо обидві частини рівняння на :

.

Відповідь: .

   Додаткові відомості

Звідки походить назва науки — алгебра? Від назви книжки про рівняння узбецького математика IX ст. Мухаммеда аль-Хорезмі (Мухаммед з Хорезма). В ті далекі часи від’ємні числа не вважались справжніми. Тому коли в результаті перенесення від'ємного члена рівняння з однієї його частини в іншу цей член ставав додатним, вважалося, що він відновлювався, переходив із несправжнього в справжній. Таке перетворення рівнянь Мухаммед аль-Хорезмі назвав відновленням (аль-джебр). Властивість про знищення однакових членів рівняння в обох частинах він назвав протиставленням (аль-мукабала). Книжка про ці перетворення мала назву “Кітаб мух-тасар аль-джебр ва-л-мукабала” (“Книжка про відновлення і протиставлення”). Згодом її переклали латинською мовою, взявши для назви тільки одне слово, яке почали писати Algebr. Звідси і пішла назва науки — алгебра. Перетворення “аль-джебр” стало важливим кроком у розвитку алгебри, бо спростило розв'язування рівнянь.

Перевірте себе

Виконаємо разом

Розв’яжемо декілька рівнянь:

а) 10(х–4)+42=6х+18.

а) 10(х–4)+42=6х+18;

10х–40+42=6х+18;

10х+2=6х+18;

10х–6х=18–2;

4х=16;

х=4.

Відповідь: х=4.

б) +=.

Я не вмію розв’язувати таке рівняння.

Це рівняння неважко розв’язувати.

+=; потрібно помножити обидві частини рівняння на 6     (6 — найменше спільне кратне знаменників цих дробів).

Отримаємо: +=;

3(х+1)+2(5–х)=х+13; далі розкриваємо дужки

3х+3+10+2х=х+13;

Перенесемо доданки, що містять змінну, у ліву частину, а інші – в праву, змінивши знаки доданків, які перенесемо, на протилежні:

3х–2х–х=13–3–10;

Зведемо подібні доданки:

0х=0;

Розв’яжемо отримане рівняння: х – будь яке число.

Усно

17. Назвіть властивість рівняння, на основі якої здійснено перехід від першого рівняння до другого:

а) 7х–3=1;  7х=1+3;                        б) 4х+3=6х+5;  4х–6х=5–3;

в) 9(х–5)=х;   9х–54=х;                   г) =х;   1–3х=2х.

18. Перенесіть доданок із змінною з правої частини рівняння в ліву:

а) 4х=5+2х;            б) –7х=4х–2;           в) х=5–4х.

Поясніть кожен крок розв’язування рівняння:

а) 2(4х–3)=6х+13;                        б) =5+х;

8х–6=6х+13;                                3()=3(5+х);   

8х–6х=13+6;                                1+4х=15+3х;

2х=19;                                          4х–3х=15–1;

х=19:2;                                         7х=14;

х=9,5.                                            х=2.

Рівень А

 Розв’яжіть рівняння:

20.   а) 7х+14=0;                        б) 4х+2(х+1)=13.

21.   а) 4х+3=6х-13;                   б) 5(3х-7)=10.

22.   а) 18(3х+2)=9(8х+6);         б) 400(х-1)=500.

23.   а) 216(2х+1)=216х;            б) 70(х+5)=350(х+2).

24.   а) х=9;                    б) (х+1)=;                 в) (х-5)=х.

25.   а) х=0;                   б) (х-10)=1;                   в) х-2=х+1.

Рівень Б

Розв’яжіть рівняння:

26.   а) 400(х–10)=300(х+1)+200;                 б) 550+450(2х–1) – 600=0.

27.   а) 330(х–11)+260(х+5)=90;                   б) (1–х) –(1+х)=.

28.   а) =;                                       б) =.

29.   а) =;                                      б) =.

Рівень В

Розв’яжіть рівняння:

30.   а) (х+5)(х+6)(х+7)(х+8)=(х+5)(х+6)(х+7)(х+9);

 б) =.