Посібник-співбесідник 3
В даній розробці подано 3 пункт посібника-співбесідника з алгебри для учнів 7 класу. Кожний пункт розпочинається викладом теоретичного матеріалу. Під час його вивчення звертайте увагу на тексти, виділені жирним шрифтом, або курсивом. Це математичні терміни, означення, правила, математичні закони. Їх потрібно добре знати.
Розглянемо рівняння:
; 
; 
.
Що є спільного між цими рівняннями (порівняйте їх ліві та праві частини)?
Ліва частина кожного із цих рівнянь є добутком деякого числа й змінної, а права частина – деяким числом.
Вірно. Такі рівняння називають лінійними рівняннями з однією змінною.
Рівняння виду 
, де 
і 
— деякі числа, 
— змінна, називається лінійним рівнянням з однією змінною.
Числа 
і 
у рівнянні називають коефіцієнтами.
Якщо 
, то рівняння називають рівнянням першого степеня з однією змінною.
Знайдіть корінь рівняння , якщо .
.
Вірно. Якщо 
, то поділивши обидві частини рівняння на , отримаємо єдиний корінь цього рівняння: .
Розв’яжіть лінійне рівняння , якщо 
і 
.
Отримаємо рівняння 
, 
— будь-яке.
Вірно. Якщо і , то лінійне рівняння має вигляд . Коренем цього рівняння є будь-яке число, оскільки при будь-якому значенні значення лівої частини рівняння дорівнює і дорівнює значенню правої частини. Рівняння має безліч коренів.
Розв’яжіть лінійне рівняння , якщо , а .
Отримаємо рівняння 
, 
.
Помилка: на нуль ділити не можна. Подивись уважно, яке б значення x ми не взяли, ми не отримаємо правильної рівності.
Отже, якщо , а , то лінійне рівняння матиме вигляд . Оскільки значення лівої частини рівняння при будь-якому значенні дорівнює , а значення правої частини — число , відмінне від , то рівняння ( ) не має коренів.
Систематизуємо дані про кількість коренів лінійного рівняння у вигляді таблиці:
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
рівняння не має коренів |
Приклади. Розв’яжіть рівняння: 
.
;
;
.
Рівняння не має коренів.
Ти помиляєшся, рівняння має безліч коренів. Адже, при будь-яких значення лівої та правої частин рівняння завжди рівні.
Вірно. Розв’яжіть рівняння: 
.
;
;
.
Вірно. Розв’яжіть рівняння: 
.
;
.
Рівняння не має коренів.
Але, якщо 
, то одержимо . Отже, буде коренем даного рівняння. Правильно:
;
;
;
;
.
Вірно. Розв’яжіть рівняння: 
.
;
;
.
Рівняння не має коренів.
Вірно.
Додаткові відомості
Рівняння першого степеня — це окремий вид лінійних рівнянь. Співвідношення між цими двома видами рівнянь наочно ілюструє рисунок.
Далі наведемо приклади лінійних рівнянь, які не є рівняннями першого степеня.
або 
.
Рівняння 
; 
; 
не є лінійними, але такі, що зводяться до лінійних.
Перевірте себе
Виконаємо разом
Розв’яжіть рівняння 1: 3(х+3) – 2х=6 – 4х.
3(х+3) – 2х=6 – 4х;
3х+9 – 2х=6 – 4х;
3х – 2х + 4х = 6 – 9;
5х = – 3;
х = – 3:5;
х = – 0,6.
Розв’яжіть рівняння 2: 6х–7= 6(х–3).
6х–7= 6(х–3);
6х–7= 6х –18;
6х–6х= –18+7;
0х = –11;
х = 0, щось тут не так.
Ти не знаєш, що такого бути не може. На нуль ніхто і ніколи не ділить.
Отже, дане рівняння коренів не має.
Розв’яжіть рівняння 3: 9х–8(х–1) = х+8.
9х–8(х–1) = х+8;
9х–8х+8 = х+8;
9х–8х–х = 8–8;
0х = 0, виходить, що дане рівняння знову не має розв’язків.
Запам’ятай, що коли а=0 і b=0, то коренем є будь-яке число.
Усно
31. Які з даних рівнянь є лінійними рівняннями:
а) 17х = 0; б) – 5х = –
; в) х2 = 7х;
г) 0х = 17; д) х+7 = х2; е) 0х = 0?
32. Скільки коренів має рівняння:
а) 2х = 7; б) –5z = 25; в) 0х = 5; г) 7х = –2?
33. Розв’яжіть лінійне рівняння:
а) 7х = 49; б) –5z = 25; в) 2х =– 48;
г) –9m = –81; д) 8у = –6; е) 0k = 0.
Рівень А
Розв’яжіть рівняння:
34. а) 24х = 72; б) 0,08k = 1,6; в) 4z = 
;
г) –1,6m = – 0,08; д) 
х = –
; е) – 3,86n = 7,72.
35. а) 3z–1 = 17; б) 9х+42 = 12х+15; в) 7– 4у = 9у+28;
г) 4z+2 = –2+4z; д) –2,4m–3 = m– 0,7; е) –1,92х+3,74= –2,03х;
є) 8у+4 = 6у+22; ж) 0,66n = 1,72+2,3n.
36. а) 32х = – 196; б) 4х = – 4+8х; в) 1,19–2z = 3,7;
г) 3х–16 = – 4х+64; д) 2х–16 = –2х+34; е) 2,47–3z = 3,7;
є) 8–1,4 = – 6z+152; ж) 1,9х+2,06 = –7х.
37. а) 10(х–5) = 5х; б) 7(х+2) = 8х; в) 1–(3х–1) = 2х.
38. а) 9х– 6 = 2(х–1); б) –(х+1) = 4(4–х); в) 12х–4 = – 4(1–3х).
Рівень Б
Розв’яжіть рівняння:
3(х+3) –2х = 6–4х;
Розв’язання:
Розкриємо дужки:
3(х+3) –2х=6 – 4х;
3х+9–2х = 6 – 4х;
Перенесемо доданки, що містять змінну, у ліву частину, а інші — в праву, змінивши знаки доданків, які перенесемо, на протилежні:
3х–2х+4х = 6 – 9;
Зведемо подібні доданки:
5х = – 3;
Розв’яжемо отримане лінійне рівняння:
х = – 3:5;
х = – 0,6.
39. а) 4(х–12) – 7(7– 2х) = –18; б) 2х+5 = 2(х– 4)+13.
40. а) 7(х-1)-3(2х+1)=-х-15; б) 5(4(х– 5) – 3х) = 9х.
41. а) 8+3(х–5)+х = 2(3+2х); б) z+2(4+z) = 3z+8;
в) 2(– 0,9х+1,4)+1,4(1,5+х) = х; г) 12(5х–8)(х–1) = 120(х+9).
42. Складіть рівняння, рівносильне рівнянню:
7(2х+8) = 5(7х–8).
43. При якому значенні у:
а) значення виразу 5у + 7 у три рази більше від значення виразу у+5.
б) значення виразу 2у – 4 на 7,4 більше від значення виразу 3–7у.
44. При якому значенні а рівняння:
а) 2ах = 16 має корінь, що дорівнює 4;
б) 3х = а має корінь, що дорівнює 
.
Розв’яжіть рівняння:
45. а) 
х+
(х–2) = х; б) +2(n+1) = 3n;
в) 
+
=10; г) 
–
=2.
46. а) 
+
=
-
; б) 
-
=
.
47. а) 
+
=+
; б) 2
(–3х)+
(–3х)=1.
48. а) |x| = 9; б) |x| = –7; в) |x| = 0;
г) |4x-9|=17; д) |18-3x|=5; е) |7x–2| = 0.
49. а) |x|+4 = 9; б) 4|x| = 8; в) |x|+12 = 6.
50. а) |4x| = 16; б) |x–4 |= 9; в) |x+3| = – 3;
г) |x–11| = 10; д) 7|x| – 1 = 4; е) 5–|x| = –17.
Рівень В
Розв’яжіть рівняння:
51. а) 100(3(3(х–1) –1) –1 = – 600; б) 15a–(2a–(3a– (a+1))).
52. а) | – 2(2x– 4)| = – 3; б) |7x– 6(4x+6)| = 12; в) |4x–1|–8(1–|4x–1|) = 16.
53. а) 5x+|x| = 20; б) 7|x|+ = 12; в) |x|+|x| = 4;
г) х–|x| = 18; д) х+|x| = 0; е) х–|–x| = 0.
54. а) |2x–1| = 5; б) х2+|x| = 5; в)|x|+x2 = 0.
55. Одне із двох чисел становить 0,6 другого і менше від другого на 30. Знайдіть ці числа.
про публікацію авторської розробки
Додати розробку