Пояснюючий матеріал до "Теорема Вієта"

Про матеріал

Доведення теореми Вієта, для повного квадратного рівняння, що має раціональні корені й метод використання цього способу при розв’язуванні вправ.

Перегляд файлу

Моя найулюбніша теорема

У багатьох людей є улюблені вірші, книги. У мене є улюблена теорема.

Це теорема Вієта для повних квадратних рівнянь, які мають раціональні корені. Уміння швидко знаходити корені квадратного рівняння має велике практичне значення не тільки в 8-9 класах, де учні тільки освоюють і закріплюють необхідні формули, але й у старших класах, де квадратні рівняння виникають як допоміжні при розв’язку значно більш складних завдань, при розв’язку тригонометричних, логарифмічних рівнянь і нерівностей. І тому особливо важливо, щоб учні максимально швидко справлялися з розв’язком цих рівнянь.

Відомо, що в більшості «шкільних» квадратних рівняннях, із цілими коренями, ці корені без особливих труднощів знаходять добором, заснованим на теоремі зворотній теоремі Вієта.

Я у своїй практиці вважаю досить важливим і необхідним рекомендувати учням саме таким способом розв’язувати рівняння. Якщо розв’язок квадратного рівняння за формулою вимагає в середньому 3-5хв., то це нестандартне розв’язання дозволяє знайти корені за 30-40 секунд. І це дозволяє розв’язувати більшу кількість вправ на уроках алгебри. Спираючись на свій досвід впевнена, що учня 10-11 класу , який має слабку базу по математиці, можна дуже швидко навчити розв’язувати повні квадратні рівняння, які мають раціональні корені, і при цьому дуже мала ймовірність одержання невірної відповіді.

Як я на уроках пропоную вивчати цю чудову теорему?

При вивченні теми “Квадратні рівняння” , згідно програми, спочатку відпрацьовую розв’язок неповних квадратних рівнянь; використовую теорему Вієта для розв’язку зведених квадратних рівнянь. Потім розв’язуємо повні квадратні рівняння по загальній формулі й по формулі з парним другим коефіцієнтом Учні порівнюють раціональність цих формул. Коли цей матеріал відпрацьований , я показую доведення теореми Вієта, для повного квадратного рівняння, що має раціональні корені й метод використання цього способу при розв’язуванні вправ.

Учні приходять у захват від простоти. В очах їх радість від отриманого відкриття. Цей урок для нас урок-свято. Проходить час і ця теорема стає улюбленою теоремою моїх учнів. Вони вільно нею володіють.

Деякі мої колеги теж користуються цією теоремою на уроках математики й вона допомагає їм розв’язувати складні завдання нашого предмета.

Математика-наука точна, вимагає точних доведень, науковості.

Приведу доказ теореми Вієта для розв’язку квадратних рівнянь , що мають раціональні корені.(див. посібник для вчителя. О.Г. Гайштук, Г.М. Литвинченко. «Розв’язування алгебраїчних задач», 1990).

Нехай дане повне квадратне рівняння: ax²+bx+c=0 (1) яке має раціональні корені х₁ і х_2.

Помноживши обидві частини рівняння на а,, одержимо

а² х²+abx+ac=0

Позначимо ах=у, одержимо рівняння: у² + by + ac=0 (2)

Це рівняння відрізняється від даного (1) тим, що перший коефіцієнт рівний 1, а останній – добутку крайніх коефіцієнтів. Рівняння (2)

стало зведеним і таким, що має цілі корені. Їх легко знайти усно, використовуючи теорему Вієта.

Нехай це будуть значення у1 і у2 . Тоді вертаючись до підстановки , знайдемо:

ах=у1; ах=у2

Маємо х₁₌= у₁_/а , ; х₂= у₂_/_а

Висновок: щоб повне квадратне рівняння, яке має дробові корені, розв’язати усно, використовуючи теорему Вієта, треба:

Звести дане рівняння ax²+bx+c=0, до рівняння виду: у²+by+ac=0.
Кожний отриманий після розв’язку зведеного квадратного рівняння корінь поділити на перший коефіцієнт повного квадратного рівняння.

Приклад: розв’язати усно рівняння.

2х²- 9х+10=0

-9х+20=0

х1=4/2=2

х2=5/2=2,5

Відповідь: 2;2,5

Приклади на використання теореми Вієта.