Пояснюючий матеріал до "Теорема Вієта"

                                     Моя найулюбніша теорема

     У багатьох людей є улюблені вірші, книги. У мене є улюблена теорема.

     Це теорема Вієта для повних квадратних рівнянь, які мають раціональні корені. Уміння швидко знаходити корені квадратного рівняння має велике практичне значення не тільки в 8-9 класах, де учні тільки освоюють і закріплюють необхідні формули, але й у старших класах, де квадратні рівняння виникають як допоміжні при розв’язку  значно більш складних завдань, при розв’язку тригонометричних, логарифмічних рівнянь і нерівностей. І тому особливо важливо,  щоб учні максимально швидко справлялися з розв’язком цих  рівнянь.

    Відомо, що в більшості «шкільних» квадратних рівняннях, із цілими коренями, ці корені без особливих труднощів  знаходять добором, заснованим на теоремі зворотній теоремі Вієта.

   Я у своїй практиці вважаю досить важливим і необхідним  рекомендувати учням саме таким  способом розв’язувати рівняння. Якщо розв’язок квадратного рівняння за формулою вимагає в середньому 3-5хв., то це  нестандартне розв’язання дозволяє знайти корені за 30-40 секунд. І це дозволяє розв’язувати більшу кількість вправ на уроках алгебри. Спираючись на свій досвід  впевнена, що учня 10-11 класу ,  який  має слабку базу по математиці,  можна  дуже  швидко   навчити розв’язувати повні квадратні  рівняння, які мають раціональні корені,  і  при цьому дуже мала ймовірність одержання невірної відповіді.

       Як я на уроках пропоную вивчати цю чудову теорему?

  При вивченні теми “Квадратні рівняння” , згідно програми, спочатку відпрацьовую розв’язок неповних квадратних рівнянь; використовую теорему Вієта для розв’язку зведених квадратних рівнянь. Потім розв’язуємо повні квадратні рівняння по загальній формулі й по формулі з парним другим коефіцієнтом  Учні порівнюють раціональність  цих формул. Коли цей матеріал відпрацьований , я показую доведення теореми Вієта, для повного квадратного рівняння, що має раціональні корені й метод використання цього способу при розв’язуванні вправ.

      Учні приходять у захват від простоти. В очах їх радість від отриманого відкриття. Цей урок для нас урок-свято. Проходить час і ця теорема стає улюбленою теоремою моїх учнів. Вони вільно нею володіють.

      Деякі мої колеги теж користуються цією теоремою на уроках математики й вона допомагає їм розв’язувати складні завдання нашого предмета.

  Математика-наука точна, вимагає точних доведень, науковості.

  Приведу доказ теореми Вієта для розв’язку квадратних рівнянь , що мають раціональні корені.(див. посібник для вчителя. О.Г. Гайштук, Г.М. Литвинченко. «Розв’язування алгебраїчних задач», 1990).

    Нехай дане повне квадратне рівняння: ax²+bx+c=0 (1) яке має раціональні корені х₁ і х_2.

   Помноживши обидві частини рівняння на а,, одержимо

 а² х²+abx+ac=0

Позначимо ах=у, одержимо рівняння: у² + by + ac=0 (2)

Це рівняння відрізняється від даного (1) тим, що перший коефіцієнт рівний 1, а останній – добутку крайніх коефіцієнтів. Рівняння (2)

 стало зведеним і таким, що має цілі корені. Їх легко знайти усно, використовуючи теорему Вієта.

Нехай це будуть значення у1 і у2 . Тоді вертаючись до підстановки , знайдемо:

ах=у1;                   ах=у2

Маємо    х₁₌=   у_{1 /а} ,              ;                    х₂= у_2/а

Висновок: щоб повне квадратне рівняння, яке має дробові корені, розв’язати усно, використовуючи теорему Вієта, треба:

1. Звести дане рівняння ax²+bx+c=0, до рівняння виду: у²+by+ac=0.
2. Кожний отриманий після розв’язку зведеного квадратного рівняння корінь поділити на перший коефіцієнт повного квадратного рівняння.

Приклад: розв’язати усно рівняння.

                            2х²- 9х+10=0

                                   -9х+20=0

                                               х1=4/2=2

                                                х2=5/2=2,5

                       Відповідь:    2;2,5                                                                                                                            

Приклади на використання теореми Вієта.

1. 5х² -3х -2=0
2. 16х²-6х-1=0
3. 3х²-8х+4=0
4. 3х² +5х-8=0
5. 3х² -х-4=0
6. 5х² -3х-8=0
7. 4х²+3х-7=0

   У класах з поглибленим вивченням математики можна запропонувати для усного знаходження коренів наступні рівняння:

1. х²-7ax+12=0
2. х²-5bx+6=0
3. 7 х²-4ax+3=0
4. 7 х²+13bx+6=0
5. х²-(2+1)x+2  =0
6. х²+(3  -2)x-23 =0
7. х²+(2 +6)+22 =0
8. х²-(5 +15)x +5 3 =0

Бажаю  успіхів