Презентація на тему: "Показникова функція. Показникові рівняння та нерівності"

Про матеріал

Матеріал сприяє повторити та узагальнити властивості показникової функції, способи розв'язування показникових рівнянь та нерівностей. А також удосконалити практичні уміння та навички розв'язування показникових рівнянь та нерівностей.

Перегляд файлу

Повторення. Показникова функція. Показникові рівняння та нерівності

«Діяльність єдиний шлях до знань»

Б. Шоу

Показникова функція y= ах , a>0, a≠1.

Функцію виду y= ах, a>0, a≠1 називають показниковою.

Основні властивості

1.Область визначення – множина всіх дійсних чисел R.

2.Область значень – (0;+∞).

3.Якщо х =0, то у =1. 4.Функція не є ні парною, ні не парною.

5.Якщо а>1, тоді функція y=ах зростає; якщо 0<а<1, то функція спадає. 6.При а>1 і х>1, ах >1 при х<0, ах <1. При 0<а<1 ах <1, якщо х>0; ах >1 при х<0.

7.Графік функції y=ах.

Показниковими називаються рівняння, в яких невідоме міститься в показнику степеня при сталих основах.

Наприклад: рівняння 2х +3=0;      3х+1−3х−1=0 є показниковими.

Найпростішим показниковими рівнянням є рівняння ах=b, a>0, a≠1.

Оскільки множина значень функції y= ах множина додатних чисел, то рівняння ах =b: 1)     має один корінь, якщо b>0; 2) не має коренів, якщо b≤0.

Для того, щоб розв’язати рівняння ах=b, a>0, a≠1, b>0, треба b подати у вигляді b= ас, тоді  маємо ах = ас , звідси х=с.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 5х = 125.

Розв’язання.

Оскільки 5х = 125, а 125=53, то маємо 5х=53, звідси х=3. Відповідь: 3.

                Приклад 2. Розв’яжіть рівняння (    .

Розв’язання.

Оскільки 49=7²; то маємо , звідси х= -2.

Відповідь: -2.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 15х2−5х+6 =1.                   

Розв’язання.

Оскільки 150 =1, то   15х2−5х+6= 150, x²−5x+6=0, звідси х1=2, х2=3. Відповідь: 2; 3.


 

Деякі способи розв’язування показникових рівнянь

І спосіб. Приведення рівняння до спільної основи, тобто до рівняння а𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥)

Як відомо, показникова функція y=𝑎𝑥>0, a≠0 монотонна, тому кожне своє значення вона приймає тільки при одному значенні аргументу. Із рівності випливає, що f(x)=g(x).

ІІ спосіб. Винесення спільного множника за дужки.

ІІІ спосіб. Приведення рівняння до квадратного.

IV спосіб. Графічний спосіб роз’взування показникових рівнянь.

Приклад 1. Розв’яжіть графічно рівняння .

Розв’язання

Побудуємо графіки функцій y= , y=x+1 в одній системі координат.

Графіки цих функцій перетинаються в точці, абсциса якої х=0. Відповідь: 0.

Зауваження. Корінь цього рівняння легко знайти усно, однак треба пам’ятати, що в цьому випадку необхідно доводити той факт, що знайдений корінь єдиний.


 

 

Системи показникових рівнянь

При розв’язуванні систем показникових рівнянь використовуються традиційні способи розв’язування показникових рівнянь і знайомі Вам способи розв’язування систем рівнянь.

Приклад 1. Розв’яжіть систему рівнянь

3х - 7у =2;

3х+7у =16.

Розв’язання.

Зробимо заміну 3х=а, 7у = 𝑏. Розв’яжемо систему рівнянь:

a−b=2,       2a=18,            a=9, a+b=16;    −2b=−14;b=7.

Отже,

3х =9,           х=2 ,                                               

7у=7;             у=1. Відповідь: (2;1).

Показникові нерівності

Розв’язування показникових нерівностей часто зводяться до розв’язування нерівностей ах > а𝑏 (ах ≥ а𝑏) або ах < а𝑏 (ах ≤ а𝑏). Ці нерівності розв’язують, використовуючи монотонність (зростання, спадання) показникової функції. Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність        3х<27.

Розв’язання

Запишемо дану нерівність у вигляді  3х < 33. Оскільки 3>1, то функція y=3х є зростаючою. Отже, при х<3 виконується нерівність 3х<27.

Відповідь: (-∞;3).

             Приклад 2. Розв’яжіть нерівність        .

Розв’язання

Запишемо дану нерівність у вигляді .  Оскільки y=  – спадна функція, то x<−. Відповідь: (−∞;−1,5).

Зведення показникових нерівностей до найпростіших шляхом ділення обох частин на одну із цих частин

Розв’язати нерівність 53х−2 = 73х−2.

Розв’язання

Поділимо обидві частини нерівності на 73х−2 > 0. Одержимо:.

Оскільки . Так як .

Відповідь: .

Нерівності виду а𝒇(𝒙)> 𝒂𝒈(𝒙)

Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Маємо: . Оскільки основа 0, то отримаємо: х≤ 5; х ∈ (−∞; 5].

Відповідь: (−∞; 5].





Відповідь: (-2; ).

Домашнє завдання. Повторити властивості показникової функції, способи розв’язування показникових рівнянь та нерівностей. Розв’язати: №24.156 (1, 2), №24.157(2), №24.158(3), №24.159 (1, 2).

Бажаю успіху!

pdf
Додано
1 травня 2020
Переглядів
4841
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку