Презентація на тему: "Показникова функція. Показникові рівняння та нерівності"
Матеріал сприяє повторити та узагальнити властивості показникової функції, способи розв'язування показникових рівнянь та нерівностей. А також удосконалити практичні уміння та навички розв'язування показникових рівнянь та нерівностей.
Повторення. Показникова функція. Показникові рівняння та нерівності
«Діяльність єдиний шлях до знань»
Б. Шоу
Показникова функція y= ах , a>0, a≠1.
Функцію виду y= ах, a>0, a≠1 називають показниковою.
Основні властивості
1.Область визначення – множина всіх дійсних чисел R.
2.Область значень – (0;+∞).
3.Якщо х =0, то у =1. 4.Функція не є ні парною, ні не парною.
5.Якщо а>1, тоді функція y=ах зростає; якщо 0<а<1, то функція спадає. 6.При а>1 і х>1, ах >1 при х<0, ах <1. При 0<а<1 ах <1, якщо х>0; ах >1 при х<0.
7.Графік функції y=ах.
Показниковими називаються рівняння, в яких невідоме міститься в показнику степеня при сталих основах.
Наприклад: рівняння 2х +3=0; 3х+1−3х−1=0 є показниковими.
Найпростішим показниковими рівнянням є рівняння ах=b, a>0, a≠1.
Оскільки множина значень функції y= ах множина додатних чисел, то рівняння ах =b: 1) має один корінь, якщо b>0; 2) не має коренів, якщо b≤0.
Для того, щоб розв’язати рівняння ах=b, a>0, a≠1, b>0, треба b подати у вигляді b= ас, тоді маємо ах = ас , звідси х=с.
Розглянемо приклади.
|
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 5х = 125. Розв’язання. Оскільки 5х = 125, а 125=53, то маємо 5х=53, звідси х=3. Відповідь: 3. Приклад 2. Розв’яжіть рівняння ( Розв’язання. Оскільки 49=7²; то маємо Відповідь: -2. Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 15х2−5х+6 =1. Розв’язання. Оскільки 150 =1, то 15х2−5х+6= 150, x²−5x+6=0, звідси х1=2, х2=3. Відповідь: 2; 3. |
|
Деякі способи розв’язування показникових рівнянь І спосіб. Приведення рівняння до спільної основи, тобто до рівняння а𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) Як відомо, показникова функція y=𝑎𝑥>0, a≠0 монотонна, тому кожне своє значення вона приймає тільки при одному значенні аргументу. Із рівності випливає, що f(x)=g(x).
ІІІ спосіб. Приведення рівняння до квадратного. IV спосіб. Графічний спосіб роз’взування показникових рівнянь. Приклад 1. Розв’яжіть графічно рівняння Розв’язання Побудуємо графіки функцій y= , y=x+1 в одній системі координат. Графіки цих функцій перетинаються в точці, абсциса якої х=0. Відповідь: 0. Зауваження. Корінь цього рівняння легко знайти усно, однак треба пам’ятати, що в цьому випадку необхідно доводити той факт, що знайдений корінь єдиний. |
|
Системи показникових рівнянь При розв’язуванні систем показникових рівнянь використовуються традиційні способи розв’язування показникових рівнянь і знайомі Вам способи розв’язування систем рівнянь. Приклад 1. Розв’яжіть систему рівнянь 3х - 7у =2;
Розв’язання. Зробимо заміну 3х=а, 7у = 𝑏. Розв’яжемо систему рівнянь:
Отже,
|
Показникові нерівності
Розв’язування показникових нерівностей часто зводяться до розв’язування нерівностей ах > а𝑏 (ах ≥ а𝑏) або ах < а𝑏 (ах ≤ а𝑏). Ці нерівності розв’язують, використовуючи монотонність (зростання, спадання) показникової функції. Розглянемо приклади.
Приклад 1. Розв’яжіть нерівність 3х<27.
Розв’язання
Запишемо дану нерівність у вигляді 3х < 33. Оскільки 3>1, то функція y=3х є зростаючою. Отже, при х<3 виконується нерівність 3х<27.
Відповідь: (-∞;3).
Приклад 2. Розв’яжіть нерівність 
.
Розв’язання
Запишемо дану нерівність у вигляді 
. Оскільки y= 
– спадна функція, то x<−
. Відповідь: (−∞;−1,5).
Зведення показникових нерівностей до найпростіших шляхом ділення обох частин на одну із цих частин
Розв’язати нерівність 53х−2 = 73х−2.
Розв’язання
Поділимо обидві частини нерівності на 73х−2 > 0. Одержимо:
.
Оскільки 
. Так як 
.
Відповідь: 
.
Нерівності виду а𝒇(𝒙)> 𝒂𝒈(𝒙)
Розв’язати нерівність 
.
Розв’язання
Маємо: 
. Оскільки основа 0
, то отримаємо: х≤ 5; х ∈ (−∞; 5].
Відповідь: (−∞; 5].
Відповідь: (-2; 
).
Домашнє завдання. Повторити властивості показникової функції, способи розв’язування показникових рівнянь та нерівностей. Розв’язати: №24.156 (1, 2), №24.157(2), №24.158(3), №24.159 (1, 2).
Бажаю успіху!
про публікацію авторської розробки
Додати розробку