Практичне заняття "Обчислення границь. Дослідження функції на неперервність. Визначення точок розриву та асимптот"

Про матеріал

Розробка практичного заняття "Обчислення границь. Дослідження функції на неперервність. Визначення точок розриву та асимптот" містить:

- перевірку базових знань студентів (учнів) за даною темою;

- структурований теоретичний матеріал;

- приклади розв'язання завдань;

-різноуровневі індивідуальні завдання.

Дана розробка може застосовуватися в профільних класах ( 11 клас) так і при вивченні вищої математики.

Перегляд файлу

Практичне заняття

Тема: Обчислення границь. Дослідження функції на неперервність, визначення точок розриву та асимптот.

Мета: набуття практичних навичок при:

Обчисленні границь з використанням основних теорем та правил позбавлення невизначеностей;
Дослідженні функції на неперервність;
Встановленні типів точок розриву;
Дослідженні асимптот та їх побудови.

Робоче місце – учбове місце в кабінеті;

Тривалість заняття – 90 хв;

Обладнання та наочність: інструкція до виконання практичного заняття №10.

Хід заняття:

І. Організаційні моменти.

ІІ. Вхідний контроль.

Тестування:

Визначити тип невизначеності.

А		Б	В		Г
2. Встановити відповідність між границями та значеннями

А		Б	В		Г
3. Функція в точці має розрив ІІ роду. Причому відомо, що . Схематично зобразити, як поводить себе функція в околі точки , якщо
Варіант 1	Варіант 2		Варіант 3	Варіант 4

ІІІ. Основні поняття.

ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ПРО ГРАНИЦІ ФУНКЦІЇ

Розкриття невизначеностей

Невизначеність виду - задана відношенням двох многочленів Правило: потрібно чисельник і знаменник розділити на найвищий степінь у цих многочленах.
Висновки:
Вигляд відношення	Значення границі
Степінь чисельника дорівнює степені знаменника	Відношенню коефіцієнтів при старших степенях
Степінь чисельника менше степені знаменника
Степінь чисельника більше степені знаменника
Невизначеність виду - задана відношенням двох многочленів Означення: Множник через який чисельник і знаменник прямують до нуля називається критичним множником. Правило: Потрібно у чисельнику і знаменнику, заданого відношення, виділити критичний множник і скоротити на нього дріб. Якщо при цьому розкладання на множники виявиться утрудненим, то треба розділити чисельник і знаменник на критичний множник «у стовпчик».
Невизначеність виду - задана ірраціональними виразами. Правило: крок 1 – позбутися ірраціональності в чисельнику ( помножити на спряжене до чисельника чисельник і знаменник; шляхом введення нової змінної); крок 2 - скоротити на критичний множник .
Невизначеність виду - задана ірраціональними виразами Правило: Невизначеність виду шляхом рівносильних перетворень потрібно звести до невизначеності ,яку позбавитись за вище описаним алгоритмом.

Важливі границі

І важлива границя		Наслідки

ІІ важлива границя		Наслідки

Алгоритм дослідження функції на неперервність

Обчислити значення функції в точці х₀;
Обчислити границю функції при ;
Перевірити виконання рівності: (значення функції в точці х₀ співпадає з границею функції в т.х₀)

Класифікація точок розриву

Асимптоти

Означення: Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань від змінної точки М кривої до цієї прямої при віддаленні точки М у нескінченність прямує до нуля.

Асимптоти

Вертикальні

Похилі

Якщо

або

то пряма є вертикальною асимптотою для графіка функції

Зауваження: якщо функція дробового виду то її обов’язково потрібно обстежити на наявність вертикальних асимптот в точках при яких знаменник обертається в нуль.

Рівняння дотичної в загальному вигляді , тоді

Зауваження: якщо хоча б одна з границь не існує, то крива похилих асимптот у відповідній півплощині не має.

IV. Систематизація та узагальнення знань студентів.

Приклад 1.1: Визначити тип невизначеності та знайти границі:

; ;

Розв'язання

ІІ спосіб:

Приклад 1.2 Визначити тип невизначеності та знайти границі:

;

Розв’язання

Приклад 1.3 Визначити тип невизначеності та знайти границі:

; .

Розв’язання

Приклад 1.5 Визначити тип невизначеності та знайти границі:

; .

Розв’язання

Приклад 2: Дослідити функцію на неперервність. Визначити тип точок розриву та схематично побудувати графік функції.

Розв’язання:

. Обстежимо функцію в т. х₀=0.

знайдемо значення функції в точці х₀=0: ;
знайдемо границі справа і зліва: - тому т.х₀=0 є точкою розриву І роду. Розрив у вигляді «стрибка»
Робимо висновок: функція розривна в т. х₀=0 .

Будуємо схематично графік

Приклад 3. Дослідити функцію на неперервність, наявність асимптот. Визначити тип точок розриву та побудувати схематично графік функції.

Розв'язання:

Обстежимо функцію в т. х₀=0:

знайдемо значення функції в точці х₀=0: невизначена;
знайдемо границі справа і зліва: - тому т.х₀=0 є точкою розриву ІІ - роду.
Робимо висновок: функція не є неперервною в т. х₀=0 .

Обстежимо функцію в т. х₀= -1:

знайдемо значення функції в точці х₀= -1: невизначена;
знайдемо границі справа і зліва: - тому т.х₀= -1 є точкою розриву ІІ - роду.
Робимо висновок: функція розривна в т. х₀= -1 .

Будуємо схематично графік:

V. Практична частина. Виконання індивідуальних завдань відповідно власного варіанту.

Рекомендації:

Одержати у викладача номер свого варіанту (номер за списком);
Виписати числові значення a, b, c, m, n, k з таблиці варіантів параметрів (доданок 1 з практичного заняття №1), які відповідають вашому варіанту;
Записати умови задач з підставленими в них значеннями параметрів;
Розв’язати завдання.