Картка-підказка №1

ЕЛЕМЕНТАРНІ  ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ   ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

Згадай   геометричні твердження

Прочитай уважно задачу

Розв’яжи самостійно

Основними геометричними фігурами на площині є точка  і пряма.

Яка б не була пряма, існують точки, які їй належать, і точки, які їй не належать.

Через будь-які дві точки можна провести пряму і до того ж тільки одну.

3 трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

Відрізком називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома її точками, разом із цими точками. Ці точки –  кінці відрізка.

Кожний відрізок має певну довжину, більшу за нуль.

Основна властивість вимірювання відрізків

Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його внутрішньою точкою. Кут – це геометрична фігура, яка складається з двох  променів, що виходять з однієї точки.

Промені називають сторонами кута, а їх спільний  початок – вершиною кута.

Кожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль.

Розгорнутий кут дорівнює 180°.

Основна властивість вимірювання кутів.

Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

∠АОВ=∠АОС+∠СОВ

∠СОВ =∠АОВ-∠АОС

1.Точки  В і О належать відрізку  РК. Знайдіть довжину відрізка  ВО, якщо РК = 42см,  РО= 24см, ВК= 30см.

Дано:            РК = 42см,  

РО= 24см, ВК= 30см         

                                                                       Знайти: ВО.                             

                          Розв’язання:

ОК=РК –РО = 42 -24=18(см);   РВ=РК-ВК=42-28=14(см) ВО=42-(14+18)=42-32=10(см) Відповідь: 10 см.

1.Точка К належить відрізку ВМ довжина якого     дорівнює 18 см. Знайди довжину відрізка ВК, якщо  КМ =11см.

2. Точки  М і К належать відрізку АВ. Знайдіть довжину відрізка МК, якщо АВ = 46см,  АК= 27см, МВ = 32см.

2.Точка М належить  відрізку  LN= 9,3см. Визначте  довжини відрізків LM і MN, якщо LM у два рази менший за MN.

Дано:           LN= 9,3см  

 LM у два рази менший за MN   

Знайти:          LM, MN                                 

Розв’язання:

Нехай LM = х см, тоді MN= 2х см, LN= LM + MN;   х+2х=9,3; 

3х=9,3;  х=9,3 : 3;  х=3,1. Отже, LM =3,1 см,  MN= 2·3,1=6,2(см).

Відповідь:  3,1 см; 6,2 см.

3.Точка О належить  відрізку  АС = 25см. Визначте  довжини відрізків АО і ОС, якщо  АО:ОС =2:3.

3. Промінь ОВ проходить між сторонами кута КОС, який дорівнює 126º. Знайдіть кути КОВ і ВОС, якщо ∠ КОВ на 14º більший за  ∠ВОС.

Дано: ∠КОС=126º

∠ КОВ на 14º більший за ∠ВОС

Знайти: ∠ КОВ, ∠ВОС Розв’язання:

Нехай ∠ВОС= хº, тоді ∠ КОВ=х+14 . ∠КОС=∠ВОС+∠КОВ х+х+14=126;  2х=126-14;  2х=112;  х=112 : 2=56º.  Отже, ∠ВОС= 56º, тоді ∠ КОВ=56º+14º=70º Відповідь: 56º, 70º.

4. Промінь ОС проходить між сторонами кута АОВ, який дорівнює 132º. Знайдіть кути АОС і ВОС, якщо ∠ АОС у  3 рази  більший за ∠ВОС.

Картка-підказка №2

СУМІЖНІ     КУТИ.                        ВЛАСТИВОСТІ       СУМІЖНИХ КУТІВ           

Згадай   геометричні твердження

Прочитай уважно задачу

Розв’яжи самостійно

Два кути називають суміжними, якщо одна сторона в них є спільною, а дві інші сторони цих кутів є доповняльними променями.

ТЕОРЕМА Сума суміжних кутів дорівнює

180°.

∠АОК +∠КОВ=180°  

3.Знайдіть суміжні кути, якщо один з них  у 4 рази більший за другий. 

  Дано: ∠МОЕ у 4 рази            більший за ∠EОN     Знайти: ∠МОЕ і        ∠EОN

              Розв’язання:  

Нехай ∠EОN= хº,  тоді ∠МОЕ= 4хº

∠МОЕ +∠EОN=180º (властивість суміжних кутів) х+ 4х=180º;  5х=180º ;  х=180º:5;  х=36º. Отже, ∠EОN =36º ,   тоді     ∠МОЕ =4·36º=144º Відповідь: 36º; 144º.

1.                  Знайди кут, суміжний з кутом 83º.

2.                  Знайдіть суміжні кути, якщо один з них на 38º більший за другий. 

3.Знайдіть суміжні кути, якщо один з них у 11 разів більший за другий.

4.Зайдіть суміжні кути, якщо їхні градусні міри відносяться як 12:18.

Прочитай уважно задачу

1.Знайди кут, суміжний з кутом 123º.

           Дано: ∠АОК=123º                Знайти: ∠КОВ      Розв’язання:  

∠АОК +∠КОВ=180°

∠КОВ= 180°- ∠АОК;  ∠КОВ= 180° - 123º=57º Відповідь: 57º.

4.Зайдіть суміжні кути, якщо їхні градусні міри відносяться як 19:26.

    Дано: ∠МОЕ:∠EОN=19:26

    Знайти: ∠МОЕ і ∠EОN

            Розв’язання: 

Введемо коефіцієнт пропорційності х. 

Тоді  ∠МОЕ= 19х, а  ∠EОN=26х.

∠МОЕ +∠EОN=180º (властивість суміжних кутів) 19х+26х=180º;  45х=180º;  х=180º : 45;  х=4.

Отже, ∠МОЕ=19 ·4=76º , тоді ∠EОN= 26 · 4=104º. Відповідь: 76º; 104º.

2.Знайдіть суміжні кути, якщо один з них на 70º більший за другий 

  Дано: ∠МОЕ на 70º            більший за ∠EОN     Знайти: ∠МОЕ і ∠EОN

              Розв’язання:  

Нехай ∠EОN= хº,  тоді ∠МОЕ= х+70.

∠МОЕ +∠EОN=180º (властивість суміжних кутів).  Маємо рівняння: х+ х+70=180º;  2х=180º -70º; 2х=110º; х=110º : 2=55º. Отже,

∠EОN =55º, тоді ∠МОЕ =55º+70º=125º Відповідь: 55º; 125º.

Картка-підказка №3

ВЕРТИКАЛЬНІ       КУТИ.            КУТ    МІЖ               ДВОМА                     ПРЯМИМИ,                                      ЩО     ПЕРЕТИНАЮТЬСЯ          

Згадай   геометричні твердження

Прочитай уважно задачу

Розв’яжи самостійно

Два кути називають вертикальними, якщо

сторони одного з них є доповняльними променями сторін другого.

ТЕОРЕМА (властивість вертикальних кутів). 

Вертикальні кути рівні.

∠LOA=∠BOP;  ∠РОА=∠LOB,

При перетині  двох прямих утворюється  чотири кути. Якщо  ∠LOA=110º, тоді  ∠РОА=70º,  ∠BOP =110º, ∠LOB=70º.

Кутом між прямими, що

перетинаються, називають менший з кутів, що утворилися при перетині цих прямих.

1.Один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 48º. Знайдіть інші кути.

Дано:         ∠РОА=48º

Знайти: ∠LOA, ∠LOB, ∠BOP

 Розв’язання: 

∠РОА +∠АОL=180º (властивість суміжних кутів), тоді   48º +∠АОL=180º;  ∠АОL=180º- 48º=132º; ∠LOA= ∠BOP=132º (вертикальні кути рівні).

∠LOB=∠РОА=48º.

Відповідь: 48º, 132º, 132º.  

1.Один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 118º. Знайдіть інші кути.

2.Знайдіть градусну міру кожного з кутів, які утворилися  при перетині двох прямих, якщо сума двох з них дорівнює 164º.

 Дано: ∠КАN+∠BAD =164º

Знайти: ∠КАN, ∠BAD, ∠DАN, ∠BAK         Розв’язання:

∠КАN=∠BAD =164º: 2=82º;   ∠DАN=∠BAK= 180º- 82º=98º

Відповідь. 82º, 98º, 82º, 98º.

2. Знайдіть градусну міру кожного з кутів, які утворилися  при перетині двох прямих, якщо різниця двох з утворених кутів дорівнює 24º.

3.Прямі АР, BL і СК перетинаються в точці М, ∠BMC =20º,    ∠LMP = 60º. Знайдіть ∠AMK.

Дано: ∠BMC = 20º,  ∠LMP = 60º. Знайдіть:

∠AMK.

Розв’язання:

∠BMC=∠КМL (вертикальні   кути).

∠АМР= 180º, ∠КМР= ∠КМL+∠MLP ∠КМР= 20º+ 60º=80º. ∠AMK= 180 - 80º=100º Відповідь.100º.

3. Прямі АВ, СD і LN перетинаються в точці О,  ∠ DON= 30º ∠ AOL= 70º.

Знайдіть ∠АОС.

Картка-підказка №4

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ПРЯМІ. ПЕРПЕНДИКУЛЯР.  ВІДСТАНЬ ВІД ТОЧКИ ДО ПРЯМОЇ

Згадай   геометричні твердження  

Прочитай уважно задачу

Розв’яжи самостійно

Дві прямі називають перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом. На малюнку  прямі а і b перпендикулярні.

Запис  а b читають так: пряма а перпендикулярна  до прямої b Через будь-яку точку площини проходить лише одна  пряма, перпендикулярна до даної прямої. На малюнку  з точки  А проведено перпендикуляр АВ до прямої m. Тока В — основа перпендикуляра, а довжина відрізка  АВ — відстань від точки А до прямої т.   

1.Прямі AD, LC і KB перетинаються в точці О. Чи є перпендикулярними   прямі AD і LC, якщо ∠АОВ=26º, ∠ВОС=65º.

Дано: ∠АOВ= 26º, ∠ВОС=65º.

                                       Знайдіть: Чи  AD  LC

                                        AD            LC. Перевіримо чи 

∠АОС= 26º +65º=91º. Отже,  прямі AD і LC не перпендикулярні.

1.Прямі AD, LC і KB перетинаються в точці О. Чи є перпендикулярними   прямі AD і LC, якщо  ∠LОK=34º, ∠KОD=56º.

2.Прямі АВ, MN і KL перетинаються в точці О, причому  AB             MN. Знайти  ∠LOB, якщо  ∠MOK = 140°.

                                               Дано: ∠MOK= 140º,  AB         MN Знайдіть:

                                              MN

то ∠MOA = 90°.

2)  ∠ AOK =  ∠MOK - ∠MOA;  ∠ AOK = 140º – 90º = 50°.

3)  ∠AOK = ∠BOL (як вертикальні), тому ∠LOB = 50°.

Відповідь: 50°.

2.Прямі KL, MN  і PF перетинаються в точці О, причому 

KL MN. Знайти  ∠KOF, якщо  ∠PON = 57°.

Дві прямі на площині називають паралельними, якщо  вони не перетинаються.

Паралельність прямих записують за допомогою знака ||. 

Запис а || b читають так:  « пряма а паралельна прямій b»

Через точку, що не лежить на даній прямій, проходить  тільки одна пряма, паралельна даній.

3. На малюнку КС ВМ,  ∠LOP=115°. Знайдіть  ∠BOL, якщо ∠COP=25°.

Дано: КС ВМ,  ∠LOP=115°, ∠COP=25°. Знайдіть: ∠BOL Розв’язання:

                                               1) Оскільки КС     ВМ , то ∠ВOК =90°.

∠КОС=180°,   ∠KOL = 180°- (115°+25°)=40°

∠ВОL=∠BOK+∠KOL;  ∠ВОL= 90°+40°=130°.

Відповідь: 130°

3.На малюнку ВС  LМ,

∠LON=145°. Знайдіть  ∠FON, якщо ∠BOF=35°.

Картка-підказка №5

КУТИ,          УТВОРЕНІ    ПРИ    ПЕРЕТИНІ   ДВОХ ПРЯМИХ       СІЧНОЮ.     

ОЗНАКИ      ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ.  ВЛАСТИВОСТІ         ПАРАЛЕЛЬНИХ          ПРЯМИХ      

Згадай   геометричні твердження

Прочитай уважно задачу

Розв’яжи самостійно

Кути, утворені   при  перетині  двох прямих  січною.

5 і 3, 4 і 6 – внутрішні різносторонні 

5 і 4,  6 і 3 – внутрішні односторонні  

6 і 2,  5 і 1 -    відповідні

Ознаки паралельності   прямих

1.Якщо  5 = 3,то прямі a i b паралельні  

2.  Якщо  6+ 3=180°, то  прямі a i b паралельні  

3.  Якщо 6= 2,то прямі паралельні

1.На малюнку   КМВ = 50º,  CNM=130º.  Знайдіть всі кути, що утворилися при перетині двох    прямих АВ і СD  січною LK. Чи паралельні прямі АВ і СD?  

Дано:  КМВ = 50º,  CNM=130º   

Знайдіть: AMK, BMN, MND, DNL, LNC, AMN

Розв’язання:

Оскільки КМВ+ АМК=180º 

( вл. суміжних кутів), тоді 

АМК= 180º-50º= 130º; BMN= АМК=130º;

 AMN = КМВ=50º (як вертикальні); MND=180º-130º= 50º, MND= LNC=50º (як вертикальні); 

DNL= CNM=130º ( як вертикальні).  

 Прямі паралельні.

1.На малюнку   LND = 150º, 

KMB=30º.  Знайдіть всі кути, що утворилися при перетині двох прямих АВ і СD січною LK. Чи паралельні прямі АВ і СD?  

Властивості паралельних прямих 

Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні одна одній.

Властивість відповідних кутів, що утворилися при перетині паралельних прямих січною 

Відповідні  кути, що утворилися при перетині паралельних прямих  січною, рівні. Властивість внутрішніх різносторонніх кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною

Внутрішні різносторонні кути, утворені при перетині паралельних прямих січною, рівні. Властивість внутрішніх односторонніх кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною

Сума внутрішніх односторонніх кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною, дорівнює 180°.

2.Знайдіть градусну міру кута х на малюнку.

Дано: 1= 2=70º, 3=128º                      Знайти: х.

Розв’язання: 1= 2=70º - відповідні кути, тоді  за ознакою паралельності прямих а || b.

3+ 4= 180º (вл. суміжних кутів),

 4 = 180º-128º= 52º. Якщо а || b , то 4= х= 52º.  Відповідь: х=52°.

2.Знайдіть градусну міру кута х на малюнку.

3. Знайдіть градусну міру кожного з двох внутрішніх односторонніх кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, якщо один з них на 22° більший за другий.

Розв’язання:  За властивістю  внутрішніх односторонніх кутів, їх сума дорівнює 180º. Нехай один кут хº, тоді другий – х+22.  Маємо рівняння: х+х+22= 180º; 

2х=180º-22º;  х= 158º;   х=158 : 2; х= 79º. 

Отже, 1=79º;  2=79º +22º=101º.

Відповідь: 79º; 101º.

3.Знайдіть градусну міру кожного з двох внутрішніх односторонніх кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, якщо один з них у 4 рази більший за другий.

Картка-підказка №6

ТРИКУТНИК           І           ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ.                                                РІВНІСТЬ            ГЕОМЕТРИЧНИХ  ФІГУР           

Згадай   геометричні твердження

Прочитай уважно задачу

Розв’яжи самостійно

Трикутником називають фігуру, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які сполучають ці

точки.

Елементи трикутника:

Точки А,В,С – вершинами. AB, BC,AC – сторонни 

Кути трикутника: ВАС, ABC і ВСА  або ∠A, ∠B, ∠C

Периметр позначають буквою Р, наприклад, периметр   трикутника АВС можна позначити так:

 P∆_ABC = AB+BC+AC

Види трикутників

Прямокутний     Тупокутний   Гострокутний  Геометричні фігури називають рівними, якщо їх можна сумістити накладанням.

∆ABC = ∆MNP

 AB=MN;     BC=NP;  AC=MP.

∠A=∠M; ∠B=∠N; ∠C=∠P

1. Одна сторона трикутника  вдвічі менша за другу і на 4 см менша за третю. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 46 см.

Дано:    ∆ MNS 

MS у два рази менша за МN  і на 4см менша за

NS.  Р=48см                                          

  Знайти:   MS, МN, NS

Розв’язання:

Нехай  сторона  MS = х см, тоді МN = 2х см, NS= (х+4)см.

Оскільки периметр дорівнює 46см, маємо рівняння:

х+2х+х+4= 48;  4х+4=48; 4х=48-4;  4х=44;  х=44:4;   х=11 Отже, сторона  MS = 11 см, тоді МN = 2·11=22 (см), NS= 11+4=15(см).

Відповідь: 11см; 22см; 15см.

1.Одна сторона трикутника    на 6 см менша за другу і втричі менша за третю. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 61 см.

2.  Знайдіть сторони трикутника, якщо вони пропорційні числам 3, 5 і 6, а периметр трикутника дорівнює 56 дм.

Дано: ∆ АВС AB:BC:AC=3:5:6

            Р=56 дм

Знайти: AB, BC, AC

Розв’язання:

Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді AB=3х, BC=5х, AC=6х.

AB+BC+AC=56;  3х+5х+6х=56; 14х=56;  х=56:14;  х=4.

Отже, AB=3·4=12(дм), BC=5·4=20(дм), AC=6·4=24(дм).

Відповідь: 12дм, 20дм, 24дм. 

2.Периметр трикутника дорівнює 68 см. Знайдіть сторони трикутника, якщо вони пропорційні числам

4, 5 і 8.

3.Відомо, що  ∆ АВС =  ∆КLР, АВ = 6 см, LР = 11 см, АС =9см Знайдіть невідомі сторони трикутників АВС і КLР.

Розв’язання:

Оскільки  ∆ АВС =∆КLР, то AB=KL=6 см, BC=LP=11 см,  AC=KP=9 см.

Відповідь: KL=6 см,  BC=11 см,  KP=9 см.

3.Відомо, що  ∆ВСK =  ∆NLO, ВC= 7 см, LO = 12 см, NO =8см

Знайдіть невідомі сторони трикутників ВСK і NLO.

Картка-підказка №7

ОЗНАКИ       РІВНОСТІ     ТРИКУТНИКІВ      

Згадай ознаки

Прочитай  уважно  задачу

Розв’яжи самостійно

Перша ознака рівності трикутників.

HK=LM ,    HF=LN,  ∠H= ∠L

1.Відрізки АВ і СD перетинаються в точці О так, що АО=ВО, СО=ОD. Доведіть, що ∆АОС = ∆DOB.

Дано: АО=ВО, СО=ОD. 

Довести: ∆АОС = ∆DOB.

Доведення: 

Оскільки АО=ВО, СО=ОD ( за умовою)

∠СOA=∠BOD (як вертикальні)

Тому за першою ознакою рівності трикутників  ∆АОС = ∆DOB

1.На малюнку LC=AC

∠LCD=∠DCA

Доведіть, що ∆LDС = ∆ADC.

Друга ознака рівності трикутників

AC=KL, ∠A= ∠K,  ∠C= ∠L

2.На малюнку ОВ=ОС, ∠ОВА=∠ОСD.  Доведіть, що ∆АОВ = ∆DOС. 

Дано: ОВ=ОС, ∠ОВА=∠ОСD.

Довести: ∆АОВ = ∆DOС. 

Доведення:

Оскільки ОВ=ОС,∠ОВА=∠ОСD (за умовою), а

∠BOA=∠DOC (як вертикальні). Тому 

∆АОВ = ∆DOС за другою ознакою рівності трикутників.

2.На       малюнку       ОD=OB,

∠OBC=ODA. Доведіть, що   ∆АОD = ∆OСВ.

Третя ознака рівності трикутників

AB=MN,  BC=NP,  AC=MP.  ∠A= ∠M,  ∠B= ∠N,  ∠C= ∠P.

3.На малюнку АВ = ВС, АР = РС. Доведіть, що ВР — бісектриса кута АВС.

Дано: АВ = ВС,  АР = РС

Довести: ВР — бісектриса кута АВС. Доведення: Сполучимо точку  В з точкою  Р  отримаємо два трикутники АВР і ВРС. (мал.2)  У  них  АВ = ВС,  АР = РС ( за умовою), сторона ВР

– спільна, тому ∆АВР= ∆ВРС ( за

третьою ознакою). 

У рівних трикутників відповідні кути рівні. 

Отже, ∠ АВР = ∠РВС.

Звідси випливає, що  ВР — бісектриса кута АВС. 

Що й треба було довести.                                                       мал. 2         

3. На малюнку АВ=АD, BC=CD. Доведіть, що ∠В=∠D.

Картка-підказка  №8

РІВНОБЕДРЕНИЙ             ТРИКУТНИК.                      ВЛАСТИВОСТІ       ТА       ОЗНАКИ      

Згадай   геометричні твердження

Прочитай уважно  задачу

Розв’яжи самостійно

Трикутник називають рівнобедреним, якщо в нього дві  сторони рівні.  

Рівні сторони рівнобедреного трикутника називають бічними сторонами, а його третю сторону — основою.

На малюнку КО=ОМ - бічні сторони  

КМ-основа 

Р∆ком=2КО+КМ

Властивість кутів рівнобедреного трикутника.

У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Трикутник, усі сторони якого мають різні довжини, називають різностороннім. Трикутник, усі сторони якого рівні, називають рівностороннім.

Якщо у трикутнику всі кути рівні, то він рівносторонній. Р=3a

Ознака рівнобедреного трикутника Якщо у трикутнику два кути  рівні, то він рівнобедрений.

 1.Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, основа якого дорівнює 12 см, а бічна сторона на 5 см більша за основу.

Дано: ∆KOM – рівнобедрений 

 KM=12cм

 KO на 5 см більша за КМ   Знайти: Р∆ком - ? 

                                     Розв’язання:  

 Р∆ком = KO+OM+KM;  KO=OM =12+5 =17(cм)

 Р=  17+17+12=46 (см)    

Відповідь: 46 см                                 

1.Периметр    рівнобедреного трикутника AMK з основою MK  дорівнює 28 дм. Знайдіть довжину основи МK, якщо  АМ = 8 дм.

2.Знайдіть бічну сторону рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює 17 см, а основа - 5 см. Дано: ∆ АВС – рівнобедрений 

 АВ=5 cм

 Р∆АВС = 17 см

Знайти: АС

                                     Розв’язання:  

 Р_∆АСВ= 2АС+АВ;  АС = (Р-АВ): 2;  АС =(17 - 5): 2=6(см) 

  Відповідь: 6 см.                                

2.Знайдіть основу  рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює 28 см, а бічна сторона – 9 см.

3.Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює  42 дм, а основа втричі менша від бічної сторони.

Дано: ∆ АВС – рівнобедрений;   сторона АС у 3 рази менша від АВ

 Р_∆АВС = 42 дм

Знайти: АВ, ВС, АС

Розв’язання:

Нехай АС = х дм, тоді АВ=ВС=3х дм. 

Р_∆АВС = 42 дм. х+3х+3х=42; 7х=42; х=42:7;  х=6. 

Отже, АС=6 дм, АВ=ВС=3·6=18(дм).

Відповідь: 6 дм, 18 дм,18 дм.   

3.Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює  38 см, а  бічна сторона  на 4 см більша від основи.

Картка-підказка  №9

МЕДІАНА,    БІСЕКТРИСА                       І           ВИСОТА        ТРИКУТНИКА       

Згадай   геометричні    твердження

Прочитай уважно  задачу

Розв’яжи самостійно

Медіаною трикутника  називають відрізок, що сполучає  вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

У будь-якому трикутнику медіани перетинаються в одній точці (її називають центроїдом трикутника) і діляться цією точкою у відношенні 2 : 1 , починаючи від вершини.

Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони. в будь-якому трикутнику бісектриси перетинаються в одній точці (її називають інцентпром).

Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону. в будь-якому трикутнику три висоти або їх продовження перетинаються в одній точці (її називають ортоцентром трикутника).

Властивість бісектриси рівнобедреного трикутника

1.У трикутнику OPS  відрізок PB – медіана,   OB = 7 см. Знайдіть довжину відрізка OS.

Дано: ∆ OPS

PB- медіана, OB = 7 см  

Знайти: OS

Розв’язання: ОВ=BS =7 см; OS=

ОВ+BS =14( см)   Відповідь: 14 см

1.У трикутнику ВОС  відрізок ОК — медіана, BС = 16 см. Знайдіть довжину відрізків   ВК і КС.

2.У трикутнику АВС відрізок  ВК — бісектриса. Кут АВС дорівнює 80°. Знайдіть градусну міру кута АВК.

 Дано: ∆АВС,    ВК — бісектриса.  

 АВС = 80° 

Знайти:  АВК.

Розв’язання: ВК – бісектриса за умовою, тоді  АВК.=  КВС=

80°:2=40°.   

Відповідь:   АВК=40º.

2.У трикутнику КМР відрізок  МО — бісектриса. Кут КМО дорівнює 38°.

Знайдіть градусну міру кута  КМР.

3.Відрізок   FL є бісектрисою рівнобедреного трикутника KFС (KF=FС), KFL =28º, KС = 34см.

Знайдіть кути  KFC,  KLF  і відрізок KL.

Дано: ∆АВС, FL – бісектриса  

КС=24см, 

 СFL = 26° 

Знайти:  КFC,  KLF,  KL Розв’язання:. 

За властивістю  бісектриси

рівнобедреного трикутника (FL  - висота), КLF =90º,

KFC=26º+26º=52º.  КL = КС : 2= 24:2=12(см) (FL – медіана).

Відповідь:  КLF = 90º, KFC=52º, КL=12см

3.Відрізок ЕК є медіаною рівнобедреного  трикутника DEF

(DF=EF), 

DEF=70º, DK=15см. Знайдіть кути DEK,  DKE і основу DF.

.

4. Проведемо висоти у тупокутному трикутнику.

4.Накресли тупокутний  трикутник. За допомогою креслярського косинця

проведіть його  висоти

Картка-підказка №10

СУМА КУТІВ            ТРИКУТНИКА       

Згадай   теорему

Прочитай уважно задачу

Розв’яжи самостійно

Сума кутів трикутника дорівнює 180°.

У будь-якому трикутнику принаймні два кути гострі; трикутник не може мати більше ніж один прямий  або тупий кут.

3.У ∆АВС проведено бісектрису СР. Знайдіть РСВ, якщо В=58º, А=38º.

Дано: ∆АВС, СР – бісектриса,  В=58º, А=38º. Знайти: РСВ

Розв’язання:

С=180º - ( А+ В); С =180º - (58º+38º)=180º -

96º=84º, АСР= РСВ  (СР – бісектриса)  РСВ = С : 2 ; РСВ = 84º:2=42º.

Відповідь: 42º.    

1.                Знайдіть третій кут трикутника, якщо перший і

другий кути дорівнюють 29º і 91º

2.                Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 82º. Знайдіть кут при основі.

3.У ∆КВР проведено бісектрису РО. Знайдіть  К, якщо КРО=34º, В=26º.

4.Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо кут при основі на 14º менший за кут при вершині.

5.Кути трикутника відносяться як  1:2:3. Знайдіть менший з кутів, утворених  при перетині бісектрис більших кутів.  

Прочитай уважно задачу

1.Знайдіть третій кут трикутника, якщо перший і другий кути дорівнюють 17º і 59º. Дано: К =17º, М=59º Знайти: О

        Розв’язання:  

 К+ О+ М=180º.

17º+ О +59º=180º; О=180º-(17º+59º)=180º-76º=104º.

Відповідь: 104º. 

4. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо кут при вершині на 18º більший за кут при основі.

Дано: ∆MNP – рівнобедрений. 

N на 18º > за М.

Знайти: M, N, P.

        Розв’язання:  

Нехай M = хº. ∆MNP – рівнобедрений, тоді M = P = хº.

N = (х+18º), M+ N+ P=180º.

х+х+х+18º=180º;  3х=180º-18º;  3х=162º;  х=54º Отже, M = P =54º, N=54º+18º=72º. 

Відповідь: 54º, 54º, 72º.   

2. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 62º. Знайдіть кут при вершині.

Дано: ∆АВС – рівнобедрений  А=62º.

Знайти: В.

        Розв’язання:  

∆АВС – рівнобедрений за умовою, тоді А= С=62º.

В=180º-(62º+62º)=180º-124º=56º.

Відповідь: 56º.     

5.У трикутнику два кути дорівнюють 56° і 62°. Знайдіть кут між прямими, на яких лежать бісектриси цих кутів.

Дано: А=56º

С=62º

АМ і СL – бісектриси.

 Знайти: LОА.

Розв’язання:

ВАМ= МАС=56º : 2=28º.  (АМ – бісектриса)

LСА= ВСL=62º : 2=31º.  (СL– бісектриса) У ∆АОС знайдемо АОС.

АОС=180º-(28º+31º)=180º-59º=121º LОА=180º-121º=59º.

Відповідь: 59º.  

Картка-підказка  №11

          ЗОВНІШНІЙ            КУТ    ТРИКУТНИКА        ТА       ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ.          СПІВВІДНОШЕННЯ          МІЖ   СТОРОНАМИ          І           КУТАМИ          ТРИКУТНИКА                               

Згадай правило

Прочитай уважно  задачу

Розв’яжи самостійно

Зовнішнім кутом трикутника називають кут, суміжний з кутом цього трикутника.

Властивість зовнішнього кута трикутника

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не

суміжних з ним

Зовнішній кут трикутника більший за будь-який внутрішній кут, не суміжний з ним.

Співвідношення між сторонами і кутами трикутника 

У трикутнику: 1) проти більшої сторони лежить більший кут; 

2) проти більшого кута лежить  більша сторона.

 В > А С > А

С > В

Найбільший С, найменший - А

1.Зовнішній кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 98º. Знайдіть кут при основі трикутника.

Дано: ∆АВС – рівнобедрений ; АВК=98º.

Знайти: А.

        Розв’язання:  

 За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо: 

АВК= А+ С; тоді А+ С=98º;  

А= С  (∆АВС – рівнобедрений, за умовою)   А= С = 98º : 2=49º.

Відповідь: 49º.        

1.Зовнішній кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 116º. Знайдіть кут при вершині трикутника.

2.Один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює 126º. Знайдіть внутрішні кути, не суміжні з ним, якщо вони відносяться як 4:5.   Дано: ∆АВС  ВCL=126º.

Знайти: А і В.

        Розв’язання:  

ВCL= А+ В (за властивістю зовнішнього кута) Нехай А=4х, а В=5х; ВCL=126º.

Маємо рівняння: 4х+5х=126º;  9х=126; х=126 : 9;  х=14.

Отже, А=4 · 14=56º, В=5 ·14=70º.

Відповідь: 56º; 70º.

2.Один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює 130º. Знайдіть внутрішні кути, не суміжні з ним, якщо вони відносяться як 3:7. 

3.  Один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює 105º. Знайдіть внутрішні кути, які не суміжні з ним, якщо один з них на 15º більший за інший.  Дано: ∆LMN КLМ=105º.

М > за N на 15º  Знайти: М і N.

        Розв’язання:  

КLМ= М + N=105º (за властивістю зовнішнього кута) Нехай  N =х, тоді М=(х+15)º; КLМ=105º.

Маємо рівняння:  х+х+15º=105º;  2х=105-15;   2х=90;  х=45º.

Отже,  N =45º, М=45+15=60º.

Відповідь: 45º; 60º.

3.Один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює 128º. Знайдіть внутрішні кути, які не суміжні з ним, якщо один з них утричі більший за інший.

Картка-підказка  №12

ПРЯМОКУТИЙ        ТРИКУТНИК.           ВЛАСТИВОСТІ                     ПРЯМОКУТНОГО                ТРИКУТНИКА        

Згадай властивості 

Прочитай уважно  задачу

Розв’яжи самостійно

Трикутник називають прямокутним, якщо один з його кутів прямий.

 Сторона, яка лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою, а дві  інші сторони — катетами. 

Властивості :

1.Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

2.Гіпотенуза більша за будь-який з його катетів.

3.Катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

4.Якщо катет  дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.

Якщо  КМ=ОМ:2,то ∠О=30º

5.У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.   

АВ

СО =

2

1. У прямокутному трикутнику FPK (∠F=90º) ∠К=30º. Знайти 𝐅𝐏, якщо РК=14 дм.

Дано: ∆ FPK (∠F=90º),  ∠К=30º, РК=14дм Знайти: FP.

Розв’язання:   FP = ^РК                                                (за властивістю); FP = ^#$=7(дм).

                                                                "                                                               "

Відповідь:7 дм.

1.У прямокутному трикутнику АВО (∠В=90º) ∠А=30º. Знайти АО, якщо  ВО =11дм.

2. У прямокутному трикутнику АВС (∠А=90º) ∠С=60º. Знайти ВС, якщо АС=6 см.

Дано: ∆АВС (∠А=90º); ∠С=60º,  АС=6 см.

Знайти: ВС.

Розв’язання:   ∠В=90º - ∠С;∠В=90º- 60º=30º; тоді               АС = ^ВС;

" ВС=2·АС;  ВС=2·6=12(см).

Відповідь:12 см.

2.У      прямокутному                        ∆АКС (∠К=90º) ∠А=60º. Знайти КА, якщо АС=14см.

3.У трикутнику АВС ВО – висота, ∠АВО=43º, ∠ОВС=59º.

Знайти кути трикутника.

Дано: ∆АВС  ВО – висота 

∠АВО=43º ∠ОВС=59º

Знайти: ∠А, ∠В, ∠С.

        Розв’язання:  

У ∆АВО ∠ВОА=90º, ∠АВО=43º (за умовою),  тоді ∠ВАО=90º- 43º=47º.

У ∆ВОС ∠ВОС=90º, ∠ОВС=59º (за умовою),  тоді ∠ВСО=90º - 59º=31º.

∠А=47º, ∠В=31º; ∠С=180º-(47º+31º)=180º-78º=102.º Відповідь: 47º, 31º, 102º.

3.У прямокутному трикутнику гострий кут дорівнює  60º, а бісектриса цього кута – 10 см. Знайдіть довжину катета, який лежить проти цього кута.

Картка-підказка  №13

ПРЯМОКУТИЙ       ТРИКУТНИК.                                   ОЗНАКИ        РІВНОСТІ           ПРЯМОКУТНИХ      ТРИКУТНИКІВ                   

Згадай  ознаки

Прочитай уважно  задачу

Розв’яжи самостійно

ОЗНАКИ:

1.Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катетам іншого, то такі трикутники рівні.

2.Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного  трикутника відповідно дорівнюють катету і прилеглому до нього куту іншого, то такі трикутники рівні.

3.Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й гострому куту іншого, то такі трикутники рівні.

4.Якщо катет і протилежний йому кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і

протилежному йому куту іншого, то такі трикутники рівні.

5.Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету і гіпотенузі іншого, то такі трикутники рівні.

1.На малюнку АВ┴АО, ОМ┴СО, ВС=СМ. Доведіть, що

∆АВС=∆СОМ

Дано:  

АВ┴АО

ОМ┴СО

ВС=СМ

Доведіть, що ∆АВС=∆СОМ

        Доведення:  

 Розглянемо  ∆АВС і ∆СОМ

А=90º (АВ┴АС за умовою), О=90º

(ОМ┴СО за умовою) ВС=СМ

ВСО= ОСМ (як вертикальні)

∆АВС=∆СОМ (за гіпотенузою і гострим кутом).

Відповідь: ∆АВС=∆СОМ.

1.Відрізки АВ і СD  перетинаються  під прямим кутом  у точці О. Доведіть рівність трикутників ODB та

OAC,  якщо ОD=ОС , D= С.

2.У трикутнику РОС, ОК – висота, РОК= КОС. Довести, що

∆РОК=∆КОС.

Дано: 

КО┴РС

РОК= КОС

Доведіть, що ∆РОК=∆КОС

        Доведення:  

∆РОК=∆КОС – прямокутні (ОК – висота за умовою),

ОК – спільний катет,

РОК= КОС за умовою, тому ∆РОК=∆ОКС за катетом і прилеглим кутом.

Відповідь: ∆РОК=∆КОС.

2.У  рівнобедреному трикутнику АКО проведено бісектрису КС. Доведіть, що  ∆АКС=∆КСО.

Картка-підказка  №14

НЕРІВНІСТЬ           ТРИКУТНИКА       

Згадай правило

Прочитай уважно  задачу

Розв’яжи самостійно

АВ<ВС+АС

ВС<АВ+АС

АС<АВ+ВС

Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін.

Кожна зі сторін трикутника більша за різницю двох інших його сторін

Кожна сторона трикутника менша

від суми двох інших сторін, але більша за модуль їх різниці.

1.Чи існує трикутник із сторонами:

а) 2 см, 5см, 6 см.

б) 3 см, 6 см, 10 см.

                                     Розв’язання:

а) 2<5+6, 5<2+6, 6<2+5

      2<11,    5<8,    6<7.   Так існує. б) 3<6+10, 6<3+10, 10<3+6

      3<16,       6<13,    10<9.  Ні, не існує.

1.Чи існує трикутник із сторонами:

а) 5 см, 9см, 12см.

б) 6 см, 4 см, 11 см.

2.Чи існує трикутник з периметром 20 см, одна сторона якого на 2 см більша за другу і на 4 см менша від третьої?

Дано: Р_∆АВС =20 см

АВ на 2 см > за ВС

АВ на 4 см < за АС Чи існує такий трикутник?

        Розв’язання:   

Нехай АВ =х см, тоді ВС=(х-2) см, АС =(х+4);  Р_∆АВС =20 см, маємо рівняння: х+х-2+х+4=20;  3х+2=20; 3х=18;  х=6.

Отже, АВ=6 см, ВС=6-2=4 (см), АС =6+4=10 (см).

Перевірмо: 10<6+4;  10=10.   Ні, не існує.

2.Чи існує трикутник з периметром 34 см, одна сторона якого на 4 см менша за другу і у 3 рази менша від третьої?

3.Чи можуть сторони трикутника бути пропорційними числам: а) 2, 3, 7.

б) 4, 5, 11.

Розв’язання:

а) Позначимо сторони трикутника через 2х, 3х, 7х. Тоді 7х<2х+3х, 3х<7х+2х,  2х<3х+7х;  7х<5х,  3х<9х,  2х<10х.  Так, можуть.

б) 4х<5х+11х,  7х<5х;  5х<4х+11х;  5х<15х;  11х<4х+5х, 11х<9х – не вірно

Ні, не можуть

3.Чи можуть сторони трикутника бути пропорційними числам:

а) 4, 3, 8.

б) 5, 7, 11.

Картка-підказка  №15

КОЛО І           КРУГ.             ДОТИЧНА    ДО      КОЛА

Згадай  твердження

Прочитай уважно  задачу

Розв’яжи самостійно

Колом називають геометричну фігуру, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки.

Цю точку називають центром кола. Відрізок, що сполучає центр з будьякою точкою кола, називають радіусом.

Відрізок, що сполучає дві точки кола, називають хордою.

Хорду, що проходить через центр кола, називають діаметром. Діаметр  є найбільшою з хорд. Діаметр з будь-якої точки кола видно під прямим   кутом.  Властивість діаметра кола, перпендикулярного до хорди

Діаметр кола, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл.

Властивість діаметра кола, що проходить   через середину хорди. Діаметр кола, що проходить через середину хорди, яка не є діаметром, перпендикулярний до  цієї хорди. Дотичною до кола називають пряму, яка має з колом лише одну спільну точку (точка дотику)

Властивість дотичної Дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, який проведений в точку дотику. Відрізки дотичних, проведених з однієї  точки до кола, рівні між собою. 

1.Точка О – центр кола, ∠AОC =42º. Знайти ∠AВC. Дано: ∠AОC =42º Знайти: ∠AВC.

        Розв’язання:  

 Оскільки точка О – центр кола, то АО=ОВ 

(як радіуси). Тоді ∆АОВ – рівнобедрений, а ∠А=∠В. За властивістю зовнішнього кута 

∠AОС=  ∠A+∠В; ∠A+∠В=42º : 2=21º.

Відповідь: 21º.

1.Точка О - центр кола,

∠AВC=36º    Знайдіть            ∠AОC  

 2.На малюнку ∠AОВ =108º, LC – дотична. Знайдіть  кут ВAC.

Дано:

∠AОВ =108º,  LC – дотична  Знайти: ∠ВAC.

        Розв’язання:

 АО=ОВ (як радіуси), тоді ∆АОВ – рівнобедрений,  ∠ОAВ=∠ОВА=(180º-138º) : 2=72º : 2=36º.

∠ОАС=90º, AО┴ LC (за властивістю дотичної) ∠ВАС=90º-36º=54º.

Відповідь: 54º.

2. На малюнку КN – дотична до кола з центром у точці О. 

∠LPK=38º. Знайдіть ∠ОРL

3.Діаметр АВ і хорда СD перетинаються у точці F так, щоAF=10 см, FВ= 4 см, ∠AFC =30º. Знайти відстань від центра кола до хорди.

 Дано:

АВ – діаметр, CD – хорда;  AF=10 см;FB=4 см ∠AFC =30º

Знайти: ОЕ.

        Розв’язання:  

OЕ┴CD (відстань від О до СD) АВ=10+4=14 (см)  ОВ=14 : 2=7 (см) ОF=7-4=3(см).

Так, як ∠AFC =30º, тоді ОЕ= ОF : 2 ОЕ=7 : 2=3,5 (см).

Відповідь: 3.5 см.

3. Хорда кола КС перетинає його діаметр у точці L, ∠КLA=30º,  КL= 16см,  LC= 9см. Знайдіть довжини відрізків КМ і ТС.

Картка-підказка  №16

КОЛО,            ВПИСАНЕ     В         ТРИКУТНИК.          КОЛО,            ОПИСАНЕ    НАВКОЛО            ТРИКУТНИКА       

Згадай теореми

Прочитай уважно  задачу

Розв’яжи самостійно

Коло називають вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх сторін цього трикутника.

 У будь-який трикутник можна вписати коло.

АО і СО – бісектриси  Центром кола, вписаного у трикутник, є точка перетину бісектрис цього трикутника.

Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі вершини цього трикутника

КО┴ВС, 

МО┴АВ

OL┴AC

AM=MB, BK=KC МО, КО і LО серединні перпендикуляри.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло.

Центром кола, описаного навколо трикутника, є точка перетину серединних перпендикулярів до його сторін.

 1.У ∆АВС вписано коло з центром у точці О. Знайдіть кути трикутника АВС, якщо ∠MСО=36º, ∠КВО=28º.

Дано: ∆АВС 

О – центр кола вписаного в ∆АВС ∠MСО=36º,  ∠КВО=28º.

Знайти: ∠А, ∠В, ∠С.

        Розв’язання:  

Оскільки коло вписано в трикутник, то ОС, АО, і

ВО – бісектриси кутів. Тому ∠MСО=∠LСО=36º,

∠С=36º+36º=72º

∠КВО=∠LВО=28º, ∠В=28º+28º=56º

∠А=180º-(56º+72º)=180º-128º=52º Відповідь: 52º, 56º, 72º.  

1. У ∆АВС вписано коло з центром у точці О. Знайдіть кути трикутника АВС, якщо ∠LВО=38º, ∠KAО=32º.

2. Периметр трикутника РКС, описаного навколо кола дорівнює  68см. Точка дотику кола до сторони РК ділить цю сторону у відношенні 3:4, рахуючи від вершини Р. Точка дотику до сторони КС віддалена від вершини С на 6см. Знайти сторони трикутника.

Дано: коло вписане в ∆РКС; А,E,O - точки дотику 

Р∆РКС= 68см; РА:АК= 3:4; ЕС=6см Знайти: РК, КС, РС.

                         Розв’язання:

Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді   РА=3х,

АК= 4х.     

За властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї

точки, маємо: РА=РО=3х;  АК=КЕ= 4х; ЕС=СО=6см. За властивістю вимірювання відрізків:  РК= РА+АК=4х+3х=7х; КС=КЕ+ЕС= 4х+6 ; РС=РО+ОС= 3х+6.  

Р=68 см, маємо рівняння: 7х+4х+6+3х+6=68; 14х+12=68; 14х=68-12; 14х=56;  х=56:14; х=4.

РК=7·4=28(см) , КС=4·4+6=22(см),  РС=3·4+6=18(см).

Відповідь: 28см, 22см,  18см

2. Точка дотику вписаного кола рівнобедреного трикутника ділить його бічну сторону у відношенні 4:7  рахуючи від вершини  рівнобедреного трикутника. Знайти сторони трикутника, периметр якого 76см.

Картка-підказка  №17

ВЗАЄМНЕ     РОЗМІЩЕННЯ        ДВОХ КІЛ    

Згадай   геометричні твердження

Прочитай уважно  задачу

Розв’яжи самостійно

І.Два кола можуть не перетинатися

 О₁ О₂  > r₁+r₂

О₁ О₂  < r₁-r₂

ІІ. Два кола можуть мати одну спільну точку

 Кола мають зовнішній дотик.  

1)  О₁ О₂ = r₁+r₂

2)  l ┴ О₁ О₂  

2. Кола мають внутрішній дотик.  

О₁ О₂ = r₁-r₂

III. Два кола можуть мати дві спільні точки,  тобто кола перетинаються.  

r₁-r₂< О₁ О₂ < r₁+r₂

1.Відстань   між  центрами двох кіл дорівнює 14 см. Визначте взаємне розміщення цих кіл, якщо їх радіуси дорівнюють:

1)               8см і 4 см;   2)    19см і 3 см;      3) 8см і 6 см;    4) 8см і 9см 

         1)   Дано:  О₁О₂=14см;  r₁=8см,  r=4см             Визначити взаємне розміщення кіл               Розв’язання: 

14>4 8+4; 14 >12,  тобто  О₁О₂  > r₁+r₂  Два кола  не перетинаються.

2)               Дано:  О₁О₂=14см;  r₁=19см,  r=3см             Визначити взаємне розміщення кіл               Розв’язання: 

14 < 19-3;  14 < 16

 О₁ О₂  < r₁-r₂._.    Два кола  не перетинаються

3)Дано:  О₁О₂=14см;  r₁=8см,  r=6см

            Визначити взаємне розміщення кіл               Розв’язання: 

14=8+6 ;   О₁ О₂ = r₁+r_2. Два кола мають зовнішній дотик.

4) Дано:  О₁О₂=14см;  r₁=10см,  r=7см             Визначити взаємне розміщення кіл               Розв’язання:  10 - 7 < О₁ О₂ < 10+7

r₁-r₂< О₁ О₂ < r₁+r₂

Два кола перетинаються 

1.Відстань   між  центрами двох кіл дорівнює 18 см. Визначте взаємне розміщення цих кіл, якщо їх радіуси дорівнюють:

1) 9см і 5 см;    2)  27см і 5 см;      3) 8см і 10 см;  4)  12см і 9см.

2. Кола, радіуси яких 6 см і 

2 см, мають внутрішній дотик. Знайдіть відстань між їх

центрами 

3. Два кола мають зовнішній дотик, а відстань між їх центрами  дорівнює 19 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо радіус одного з них на 5 см більший за радіус другого.