Презентація: " Формула n-го члена арифметичної прогресії. Розв'язування завдань"

Арифметична прогресія Формула n-го члена арифметичної прогресії..9 клас. НВК ЗОШ І-ІІІ ступенів-ліцейм. Добропілля. Учитель ЛОСЄВА Г.І.

𝟏𝟎𝟎;𝟏𝟓𝟎;𝟐𝟎𝟎;𝟐𝟓𝟎;𝟑𝟎𝟎;𝟑𝟓𝟎;𝟒𝟎𝟎;𝟒𝟓𝟎;… Михайло Іванович отримав спадок. У перший місяць він витратив 100$, а кожен наступний місяць він витрачав на 50 доларів більше, ніж в попередній. Скільки доларів він витратив за другий місяць? за третій місяць? за восьмий місяць? за десятий місяць?ЗАДАЧА.

Які з послідовностей є арифметичними прогресіями і чому? А) 3, 6, 9, 12,….. Б) 5, 12, 18, 24, 30,….. В) 7, 14, 28, 35, 49,…. Г) 5, 15, 25,….,95…. Д) 1000, 1001, 1002, 1003,…. Е) 1, 2, 4, 7, 9, 11….. Ж) 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2,….

Які з послідовностей є арифметичними прогресіями? А)3, 6, 9, 12,….. Б)5, 12, 18, 24, 30,….. В)7, 14, 28, 35, 49,…. Г)5, 15, 25,….,95…. Д)1000, 1001, 1002, 1003,…. Е)1, 2, 4, 7, 9, 11….. Ж)5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2,…. Перевір себе!d = 3d = 10d = 1d = - 1

Арифметична прогресія – це числова послідовність, в якій кожен наступний член, починаючи з другого, дорівнює сумі попереднього члена, до якого додається одне й те саме число.- різниця арифметичної прогресії (число)Означення арифметичної прогресії.𝑎1; 𝑎2; 𝑎3;….; 𝑎𝑛;…. 

Різницяарифметичної прогресії- прогресія зростаюча- прогресія спадна

Запишіть перші п'ять членів арифметичної прогресії, якщо1) , Ответ: 7; 12; 17; 22; 272) , Ответ: 11; 9; 7; 5; 3

Завдання арифметичної прогресії формулою n –го членаперший член арифметичної прогресіїрізниця арифметичної прогресії

Завдання №1.𝑎20−? 𝑎20=𝑎1+19𝑑 𝑎11=𝑎1+10𝑑 𝑎11−? 

Усна робота. Дана арифметична прогресія -19; -15; -11; х; -3; …1. Назвіть перший член прогресії.2. Знайдіть різницю прогресії.3. Знайдіть невідомий член прогресії.4. Знайдіть шостий член прогресії.а1=-19d=4х=-7а6=1

Розв'язання. Відповідь. Запишіть формулу n –го члена арифметичної прогресії: 25; 21; 17; 13 …Завдання № 2.

Запишіть формулу n –го члена арифметичної прогресії: 1; -4; -9; -14 …Розв'язання. Відповідь. Завдання №3.

Завдання №4. Дана арифметична прогресія (an), для якої  a10=19, a15=44. Знайдіть різницю прогресії.𝑎10=𝑎1+9𝑑𝑎15=𝑎1+14𝑑 19=𝑎1+9𝑑44=𝑎1+14𝑑 𝑎1+9𝑑=19𝑎1+14𝑑=44 5𝑑=25 𝑑=5 𝟐 спосіб. 𝑎15=𝑎10+5𝑑 44=19+5𝑑 5𝑑=44−19 5𝑑=25 𝑑=5 

Властивість n –го члена арифметичної прогресії. Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів. Якщо  𝒂𝒏−𝟏;𝒂𝒏;𝒂𝒏+𝟏 , тоді 𝒂𝟖=𝟑,𝟓;   𝒂𝟏𝟎=𝟐,𝟕. Знайти 𝑎9. Завдання №5 Розв'язання. Якщо   𝒂𝟖;𝒂𝟗;𝒂𝟏𝟎 - послідовні члени арифметичної прогресії, тоді 𝑎9=𝑎8+𝑎102 𝒂𝟗=𝟑,𝟓+𝟐,𝟕𝟐=𝟔,𝟐𝟐=𝟑,𝟏. Відповідь. 𝒂𝟗=𝟑,𝟏 

Задача№6. Підготовку до іспиту Альоша починає з 15 хв. У кожен наступний день час на підготовку він збільшує на 10 хв. Скільки днів слід Олексію готуватися до іспиту в зазначеному режимі, щоб досягти максимальної тривалості підготовки, що не впливає на стан здоров'я підлітка, 1год 45 хвилин. Розв'язання.          𝒂𝒏= 𝒂𝟏+𝒅(𝒏−𝟏)𝟏𝟎𝟓=15+10∙(𝒏−𝟏)𝟏𝟎𝟓=𝟏𝟓+𝟏𝟎∙𝒏−𝟏𝟎𝟓+𝟏𝟎𝒏=𝟏𝟎𝟓𝟏𝟎𝒏=𝟏𝟎𝟓−𝟓𝟏𝟎𝒏=𝟏𝟎𝟎,   𝒏=𝟏𝟎  Дано: (𝑎𝑛)−арифметична прогресія,  𝑎1=15 хв.   𝑑=10 хв.  ,   𝑎𝑛=1ч 45хв.         Знайти: 𝒏 Відповідь. 10 днів

Чарівне дерево, початкова висота якого 1 м, кожен день збільшує свою висоту в 2 рази. При цьому через 36 днів воно «дістане» до Місяця. Через скільки днів воно дістало б до Місяця, якби його висота в початковий момент часу була 8м?Логічна задача. Розв'язання. Через 33 дня. Один день-2м. Два дня-4м. Три дня-8м. 36-3 = 33 дня.

Дороги не ті знання, які відкладаються в мозку, як жир, дороги ті, які перетворюються в розумові м'язи. Герберт Спенсер, англійський філософ

Довести, що послідовність, яка задана формулою , є арифметичною прогресією. Потрібно довести, що різниця одна і та ж для всіх n (не залежить від n). Завдання №7.

Вкажіть число невід'ємних членів арифметичної прогресії 13;10;7; … . (з такими числами це легко зробити усно, та треба зрозуміти алгоритм розв'язування таких завдань в більш складних випадках )Завдання №8. Розв'язування: 𝑑=𝑎2−𝑎1=10−13=−3 𝑎𝑛=𝑎1+𝑑(𝑛−1)≥0,  𝑎𝑛=13−3(𝑛−1)≥0,13−3𝑛+3≥0, 16−3𝑛≥0, −3𝑛≥−16, 𝑛≤−16−3, 𝑛≤513, Отже, невід'ємні всі члени прогресії до п'ятого. Усі наступні члени прогресії, починаючи з 𝑎6, відємні. Відповідь. 5 чисел. 

В арифметичній прогресії 𝒂𝟏=−𝟕,𝟑 і  𝒂𝟐=−𝟔,𝟒. На якому місці (вкажіть номер) знаходиться число 26? Завдання №9. Розв'язання: 𝑑=𝑎2−𝑎1=−6,4−−7,3=−6,4+7,3=0,9. Число 26 - член нашої прогресії, але не знаємо на якому місці, значить це  𝑎𝑛=26.𝑎𝑛=𝑎1+𝑑(𝑛−1)26=−7,3+0,9(𝑛−1)26=−7,3+0,9𝑛−0,9−8,2+0,9𝑛=260,9𝑛=26+8,20,9𝑛=34,2𝑛=34,2:0,9=342:9=38. Отож, 𝒂𝟑𝟖=𝟐𝟔. Відповідь. На 38. 

Завдання №10. Які чотири числа треба вставити між числами 𝟒 і -𝟓, щоб вони разом з даними числами утворювали арифметичну прогресію. Розв'язування: 𝟒;𝒂𝟐;𝒂𝟑; 𝒂𝟒;𝒂𝟓;−𝟓. Тобто 𝑎1=4;𝑎6=−5. Тоді, 𝑎6=𝑎1+5𝑑; −5=4+5𝑑;5𝑑=−5−4;5𝑑=−9; 𝑑=−1,8.𝑎2=𝑎1+𝑑=4−1,8=2,2; 𝑎3=𝑎2+𝑑=2,2−1,8=0,4; 𝑎4=𝑎3+𝑑=0,4−1,8=−1,4;𝑎5=𝑎4+𝑑=−1,4−1,8=−3,2. Відповідь. 2,2; 0,4; -1,4; -3,2. 

Завдання №11. Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії (𝒂𝒏), якщо 𝒂𝟑+𝒂𝟕=𝟑𝟎,    𝒂𝟔+𝒂𝟏𝟔=𝟔𝟎. Розв'язування. 𝑎3+𝑎7=30,   𝑎6+𝑎16=60.  𝑎1+2𝑑+𝑎1+6𝑑=30,   𝑎1+5𝑑+𝑎1+15𝑑=60.  2𝑎1+8𝑑=30,   2𝑎1+20𝑑=60.       𝑎1+4𝑑=15,   𝑎1+10𝑑=30.       −𝑎1−4𝑑=−15,   𝑎1+10𝑑=30.    Отже,  6𝑑=15,𝑑=156=52=2,5.𝑎1+4𝑑=15, 𝑎1=15−4𝑑=15−4∙2,5=15−10=5. Відповідь. 𝒂𝟏=𝟓,  𝒅=𝟐,𝟓. 

Домашнє завдання. Вивчити п.16 Уважно ще раз розгляньте розв'язування задач в презентації;Розв'яжіть №16.18№16.21№16.23№16.25№16.31(1;3)

Бажаю вам не зупинятися на досягнутому, а наполегливо рухатися вперед до нових вершин!«Прогресіо» - рух вперед.