Презентація "Ділення многочленів і теорема Безу"

Ділення многочленів і теорема Безу. Алгебра та початки аналізу · 10 клас. Ділення стовпчиком · Схема Горнера · Знаходження коренів многочлена. Презентацію виконала Тетяна Ігнатьєва. Для учнів 10 класу

Ділимо многочлен стовпчиком. Приклад:                  − (    )        − (    )      − (    )             Перевірка:                  

Ділення з остачею. Основна формула алгебри Степінь остачі    завжди суворо менший за степінь дільника   . Якщо ділимо на лінійний двочлен     , остача — завжди звичайне число    . Практичний приклад              Частка:          Остача:     Перевірка:                      Головне правило: якщо дільник має перший степінь, остача не містить   взагалі — це просто константа.

Теорема. Остача від ділення на (x − a) дорівнює f(a)Французький математик Етьєн Безу (1730–1783) відкрив дивовижно простий зв'язок між значенням многочлена та діленням. Доведення за 1 хвилину1. Запишемо формулу ділення з остачею: 2. Підставимо замість змінної число    : 3. Оскільки       , весь добуток зникає:

Швидка перевірка без ділення. Нехай задано многочлен             . Знайдемо остачу від його ділення на двочлен    . Обчислення за теоремою Безу. Дільник         , отже беремо точку     : Висновок: остача від ділення дорівнює 13. Жодного громіздкого ділення стовпчиком робити не потрібно! Увага: для      підставляємо саме   , а не   !

Наслідки теореми: корені многочлена. Критерій подільностіУмова без остачі    ділиться на      без остачі тоді й лише тоді, коли     . Приклад:     . Означення кореня. Число   є коренем многочлена    , якщо воно перетворює його на нуль. Множник у розкладіКожен знайдений корінь дає лінійний множник      у розкладі многочлена. Обмеження кількості коренів. Степінь і кореніМногочлен степеня   має не більше ніж   дійсних коренів. Приклад: x³ − 2x² − 5x + 6 має рівно 3 корені: 1, −2 і 3. Це не більше ніж 3, як і сказано вище.

Схема Горнера для швидких обчислень. Обчислимо ділення              на     (тобто     ) за допомогою компактної таблиці: Рядок / Ступінь x^4 x^3 x^2 x^1 x^0 (вільний) Коефіцієнти f(x) 2 0 -3 1 -5 Множимо на -2 2 0 + (-4) = \mathbf{-4} -3 + 8 = \mathbf{5} 1 + (-10) = \mathbf{-9} Остача: 13 Алгоритм: зносимо перший коефіцієнт (2). Потім: попередній результат множимо на      і додаємо наступне число зверху. Частка:          Остача:        

Розкладаємо многочлен на множники1 Знаходимо дільники вільного члена  : кандидати        . Дільники:       2 Перевіряємо    :             .     — корінь 3 Ділимо     на     : частка дорівнює      .           4 Квадратний тричлен розкладається за теоремою Вієта: корені    та  .            Теорема про раціональні кореніЦілі корені многочлена з цілими коефіцієнтами завжди є дільниками вільного члена!

Практика: знайдіть кореніЗадано кубічний многочлен:             . Крок 1: Перевіряємо              → корінь    . Крок 2: Перевіряємо               → корінь    . Крок 3: Перевіряємо               → корінь    . Розклад:               Запитання для класу. Чому x = 0 не може бути коренем?Підставимо    :       . Число   є коренем многочлена тільки тоді, коли вільний член дорівнює нулю.

Підсумки уроку1 Ділення многочленів виконується стовпчиком або схемою Горнера аналогічно діленню звичайних чисел.2 Теорема Безу: остача від ділення     на      точно дорівнює значенню   . 3 Корені та розклад: якщо     , то      є множником. Степінь   обмежує число коренів. Пам'ятка на майбутнєСхема розв'язання рівнянь вищих степенів1. Знайти перший корінь серед дільників вільного члена.2. Поділити многочлен на     . 3. Розв'язати утворене простіше рівняння. Завдання додому. Перевірте за теоремою Безу, чи ділиться     на     та на    .