Методичні вказівки для практичного заняття та завдання для самостійної роботи з тем "Основні поняття теорії ймовірностей" та " Елементи комбінаторики"

Практичне заняття 1

-2 

Тема: Основні поняття теорії ймовірностей. Елементи комбінаторики( 4 год).   

1. 

Події та випробування.

2. 

Прості та складені випадкові події. 

Прості елементарних подій. Операції над подіями

. 

3. 

Класичне означення ймовірності.

4. 

Елементи комбінаторики в теорії ймовірностей: переставлення, розміщення та 

комбінації.

5. 

Аксіоми теор

і

ї ймовірностей та їх наслідки

. 

6. 

Геометрична ймовірність

.

7. 

Статистична ймовірність .

Приклади розв

’

язування задач

Приклад 1.

Кидають два кубики. 

Знайдіть ймовірність того, що сума випавших очок 

– 

парна

. 

Розв’язування:

Подія А 

- 

випала парна кількість очок.

Ймовірність шукаємо

за 

класичним означенням:

( )

n

m

A

P

=

, 

Де 

m  - 

кількість результатів що сприяє події

n – 

загальна кількість результатів.

Рахуємо загальну кількість результатів.

І кубик

ІІ кубик

1  

1, 2, 3, 4, 5, 6 

2  

1, 2, 3, 4, 5, 6 

3  

1, 2, 3, 4, 5, 6 

4  

1, 2, 3, 4, 5, 6 

5  

1, 2, 3, 4, 5, 6 

6  

1, 2, 3, 4, 5, 6 

І того, усього можливо 36 результатів.

Рахуємо результати, що сприяють появі події

І кубик

ІІ кубик

1  

2, 3, 5  

2  

2, 4, 6 

3  

1, 2, 3  

4  

2, 4, 6 

5  

1, 3, 5 

6  

2, 4, 6 

І того 18 результатів. Значить  

( )

2

1

36

18

=

=

A

P

Приклад  2

.  В  цеху  працюють  6  чоловік  та  4  жінки.  По  табельним  номерам  навмання 

вибирають 5 працівників. Знайти ймовірність того, що серед відібраних 3 жінки.

Розв’язування: Ймовірність шукаємо за класичним означенням:

( )

n

m

A

P

=

Загальна кількість результатів дорівнює кількості способів, якими можна вибрати із 10 

працівників групи по 5 чоловік, тобто:

252

5

*

4

*

3

*

2

*

1

6

*

7

*

8

*

9

*

10

5

10

=

=

=

C

n

Кількість результатів, що сприяє появі події дорівнює добутку числа способів, якими 

можна із 4 жінок вибрати групи по 3 жінки на число способів, якими із 6 чоловіків вибрати 

групу по 2 в кожній. Тобто:

60

*

*

2

*

1

5

*

6

3

*

2

*

1

2

*

3

*

4

2

6

3

4

=

=

=

C

C

m

Отримали 

( )

24

,

0

252

60

=

=

=

n

m

A

P

Завдання на самостійну роботу

Розв

’

яжіть задачі

 1. 

На складі підприємства є 

23 

ЕОМ . Трьом з них присвоєно знак якості. Для потрет 

бухгалтерії потрібно виділити чотири

машини. Знайти ймовірність того , що серед виділених 

машин дві

із знаком якості , якщо машинки вибрано навмання

.  

2. 

Відділ технічног контролю перевіряє вироби трьох видів якості

. 

Імовірність того, що 

виріб першого виду вищого сорту, дорівнює 0,8

; 

для другого і третього сорту , ці

ймовірності 

відповідно дорівнюють 0,9 та 0,6. Взято по одному виробу кожного

виду

. 

Знайти ймовірність 

того , що

а) всі три вироби вищого сорту

; 

б) хоча б один виріб вищого сорту .

3. 

Бібліотека

складається з 10 різних книжок, при чому ціна 5 з них 

– 

по 4 грн. , трьох 

– 

по  1  грн.  ,  двох 

– 

по

3  грн.  Знайти  ймовірність  того,  що  навмання  взятих  дві  книжки 

коштують 5 грн.

Тестові завдання.

1. Під подією розуміють...

а

) 

результат випробування;

б) виконання певною комплексу умов;

в) невиконання якоїсь умови.

2. 

Під випробуванням розуміють...

а)  експеремент при виконанні якихось умов;

б) подія, результатом якої євипробування;

в) результат випробування.

3. Достовірною називають подію, яка в результаті випробування...

а) може відбутися, а може не відбутися;

б) обов'язково відбудеться;

в)  ніколи не відбудеться.

4. 

Неможливою називають подію, яка в результаті випробування...

а) відбувається обов'язково;

б)  може відбутися, а може не відбутися;

в) ніколи не відбувається.

5. 

Випадковою називають подію, яка в результаті випробування...

а) завжди відбувається;

б) ніколи не відбувається;

в)  може відбутися, а може не відбутися.

6. Події називаються несумісними, якщо поява одній з них...

а)  не виключає появи інших подій у тому ж випробуванні;

б) виключає появу інших подій

у тому ж випробуванні;

в) виключає появу інших подій у різних випробуваннях.

7. Дві події називаються сумісними

,

якщо поява однієї з них...

а) виключає появу другої у тому ж випробуванні;

б)  не виключає появу другої у тому ж випробуванні;

в)  не виключає

появу другої у різних випробуваннях.

8. Події називаються єдиноможливими

,

якщо в результаті випробування...

а)  поява однієї з них є випадковою подією;

б)  поява однієї і тільки однієї з них є достовірною подією;

в) поява однієї зподій є неможливою.

9. Події називаються рівноможливими, якщо...

а) ні одна із подій не є більш можливою, ніж інші;

б) одна з подій є більш можливою, ніж друга;

в) одна з подій є менш можливою, ніж інші.

10. Елементарними називаються події, які є...

а) складними;

б) найпростішими;

в) сумісними.

11. Ймовірністю події А називається відношення...

а) числа подій, які утворюють повну групу, до числа подій які сприяють події А; 

б) числа елементарних рівно можливих подій, які сприяють появі події А, до загального 

числа

всіх єдино можливих ї рівно можливих елементарних подій;

в) числа подій, які сприяють появі події А і утворюють повну групу до загального числа 

подій.

12. Ймовірність достовірної події дорівнює...

а)  нулю;

б)  1/2;

в) одиниці.

13. Ймовірність неможливої події дорівнює.

.. 

а) нулю;

б)  1/2;

в

) 

одиниці.

14. Ймовірність випадкової події дорівнює.....

а) одиниці;

б) нулю;

в) числу, яке міститься між нулем і одиницею.

15.  Розміщеннями  називаються  групи,  які  утворені  зп  елементівпо  к  елементів,  що 

відрізняються між собою...

а)

тільки порядком їх розташування;

б) або складом елементів, або їх порядком;

в) хоч би одним елементом.

16. Перестановками називаються групи

, 

які утворені зп елементів, що відрізняються 

між собою...

а) хоч одним елементом;

б) тільки порядком їх розташування;

в) або складом елементів, або їх порядком.

17.  Комбінаціями  називаються    групи,  які  утворені  з 

n 

елементів  по  к  елементів,  що 

відрізняються між собою...

а) тільки порядком їх розташування;

б) або складом елементів, або їх порядком;

в) хоч одним елементом.

18. Число всіх можливих перестановок дорівнює... 

а) 

P

n

=n!; 

б)

)

1

)...(

1

(

+

−

−

=

k

n

n

n

A

k

n

; 

в) 

!

!

k

n

P

k

n

=

; 

19. Число всіх можливих розміщень дорівнює...

а)

)

)...(

1

(

k

n

n

n

P

k

n

−

−

=

; 

б)

)

1

)...(

1

(

+

−

−

=

k

n

n

n

A

k

n

; 

в)

!

!

k

n

A

k

n

=

; 

20. Число всіх можливих комбінацій дорівнює...

а)

)

1

)...(

1

(

+

−

−

=

k

n

n

n

A

k

n

; 

б)

!

!

k

n

C

k

n

=

; 

в)

kl

k

n

n

n

C

k

n

)

1

)...(

1

(

+

−

−

=

;